高考数一轮复习 第三章 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数突破热点题型 文

eq\a\vs4\al(第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数)考点一角的集合表示及象限角的判定[例1](1)写出终边在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合；(2)若角θ的终边与eq\f(6π,7)角的终边相同，求在[0,2π)内终边与eq\f(θ,3)角的终边相同的角；(3)已知角α为第三象限角，试确定2α的终边所在的象限．[自主解答](1)∵在(0，π)内终边在直线y＝eq\r(3)x上的角是eq\f(π,3)，∴终边在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(π,3)＋kπ，k∈Z)).(2)∵θ＝eq\f(6π,7)＋2kπ(k∈Z)，∴eq\f(θ,3)＝eq\f(2π,7)＋eq\f(2kπ,3)(k∈Z)．依题意0≤eq\f(2π,7)＋eq\f(2kπ,3)＜2π⇒－eq\f(3,7)≤k＜eq\f(18,7)，k∈Z.∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与eq\f(θ,3)相同的角为eq\f(2π,7)，eq\f(20π,21)，eq\f(34π,21).(3)由α是第三象限角，得π＋2kπ＜α＜eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，∴2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(k∈Z)．∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴．【互动探究】在本例(3)的条件下，判断eq\f(α,2)为第几象限角？解：∵π＋2kπ＜α＜eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，∴eq\f(π,2)＋kπ＜eq\f(α,2)＜eq\f(3π,4)＋kπ(k∈Z)．当k＝2n(n∈Z)时，eq\f(π,2)＋2nπ＜eq\f(α,2)＜eq\f(3π,4)＋2nπ，当k＝2n＋1(n∈Z)时，eq\f(3π,2)＋2nπ＜eq\f(α,2)＜eq\f(7π,4)＋2nπ，∴eq\f(α,2)为第二或第四象限角．【方法规律】象限角和终边相同角的判断及表示方法(1)若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α＜2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断．(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在()解析：选A当k为偶数时，α在第一象限；当k为奇数时，α在第三象限．2．设集合M＝，N＝，那么()A．M＝NB．M⊆NC．N⊆MD．M∩N＝∅解析：选B法一：由于M＝＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N.法二：由于M中，x＝eq\f(k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k＋1是奇数；而N中，x＝eq\f(k,4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N.考点二弧度制的应用[例2]已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？[自主解答](1)∵α＝60°＝eq\f(π,3)，R＝10cm，∴l＝Rα＝10×eq\f(π,3)＝eq\f(10π,3)cm.(2)∵扇形的周长为20cm，∴2R＋l＝20，即2R＋Rα＝20，∴S＝eq\f(1,2)R2α＝eq\f(1,2)R(20－2R)＝－R2＋10R＝－(R－5)2＋25，∴当R＝5时，扇形的面积最大，此时α＝eq\f(20－10,5)＝2，即α＝2弧度时，这个扇形的面积最大．【互动探究】解：设弧形的面积为S，则S＝S扇－S△＝eq\f(1,2)R2α－eq\f(1,2)R2sineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)×102×eq\f(π,3)－eq\f(1,2)×102×eq\f(\r(3),2)＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(\r(3),2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(50π,3)－25\r(3)))cm2.【方法规律】应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.解析：设扇形所在圆的半径为rcm，则扇形的弧长l＝8－2r.由题意得S＝eq\f(1,2)(8－2r)×r＝4，整理得r2－4r＋4＝0，解得r＝2，即l＝4，故|α|＝eq\f(l,r)＝2.答案：22．已知扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12cm，求弧长l.解：设扇形的半径为Rcm，如图．由sin60°＝eq\f(6,R)，得R＝4eq\r(3)cm.故l＝|α|·R＝eq\f(2π,3)×4eq\r(3)＝eq\f(8\r(3)π,3)cm.高频考点考点三三角函数的定义[例3](1)(·江西高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，则y＝________.(2)(·山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为___________．(3)(·日照模拟)已知点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，则角θ是第________象限角．[自主解答](1)r＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(16＋y2)，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，所以sinθ＝eq\f(y,r)＝eq\f(y,\r(16＋y2))＝－eq\f(2\r(5),5)，所以θ为第四象限角，解得y＝－8.(2)如图，连接AP，分别过P，A作PC，AB垂直x轴于C，B点，过A作AD⊥PC于D点．由题意知eq\x\to(BP)的长为2.∵圆的半径为1，∴∠BAP＝2，故∠DAP＝2－eq\f(π,2).∴DP＝AP·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(π,2)))＝－cos2，∴PC＝1－cos2，DA＝APcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(π,2)))＝sin2，∴OC＝2－sin2.故＝(2－sin2,1－cos2)．(3)因为点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，所以sinθcosθ＜0,2cosθ＜0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＞0，,cosθ＜0，))所以θ为第二象限角．[答案](1)－8(2)(2－sin2,1－cos2)(3)二三角函数定义问题的常见类型及解题策略(1)利用定义求三角函数值．在利用三角函数的定义求角α的三角函数值时，若角α终边上点的坐标是以参数的形式给出的，则要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论．任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．(2)三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(sinα，cosα，tanα)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．(3)与向量等问题形成的交汇问题．抓住问题的实质，寻找相应的角度，然后通过解三角形求得解．1．点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动eq\f(2π,3)弧长到达Q点，则点Q的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))解析：选A由三角函数定义可知点Q的坐标(x，y)满足x＝coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，y＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2).2．若三角形的两个内角α，β满足sinαcosβ＜0，则该三角形的形状为________．解析：∵sinαcosβ＜0，且α，β是三角形的两个内角．∴sinα＞0，cosβ＜0，∴β为钝角．故三角形为钝角三角形．答案：钝角三角形3．若角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，则m的值为________．解析：∵r＝eq\r(64m2＋9)，∴cosα＝eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5)，∴m＞0，eq\f(4m2,64m2＋9)＝eq\f(1,25)，∴m＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)—————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1条规律——三角函数值的符号规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2个技巧——三角函数的定义及单位圆的应用技巧(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上异于原点的任一点，如有可能则取终边与单位圆的