高考数一轮复习 第七章 第三节 空间、线、面之间的位置关系突破热点题型 文

第三节空间点、线、面之间的位置关系考点一平面的基本性质及应用[例1](·安徽高考)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S①当0<CQ<eq\f(1,2)时，S为四边形；②当CQ＝eq\f(1,2)时，S为等腰梯形；③当CQ＝eq\f(3,4)时，S与C1D1的交点R满足C1R＝eq\f(1,3)；④当eq\f(3,4)<CQ<1时，S为六边形；⑤当CQ＝1时，S的面积为eq\f(\r(6),2).[自主解答]对于①②，如图1，因为正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，当CQ＝eq\f(1,2)时，PQ＝eq\f(\r(2),2)，这时过A，P，Q三点的截面与正方体表面交于点D1，AP＝D1Q＝eq\f(\r(5),2)，且PQ∥AD1，截面S为等腰梯形，当0<CQ<eq\f(1,2)时，过A，P，Q三点的截面与正方体表面的交点在棱DD1上，截面S为四边形，故①②正确；对于③④⑤，如图2，延长QR交DD1的延长线于点N，连接AN交A1D1于点M，连接MC1.取AD的中点G，作GH∥PQ交DD1于点H，可得GH∥AN，且GH＝eq\f(1,2)AN，设CQ＝teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<t≤1))，则DN＝2t，ND1＝2t－1，eq\f(C1Q,ND1)＝eq\f(RC1,D1R)＝eq\f(1－t,2t－1)，当t＝eq\f(3,4)时，eq\f(RC1,D1R)＝eq\f(1,2)，可得C1R＝eq\f(1,3)，故③正确，当eq\f(3,4)<t<1时，S为五边形，故④错误，当t＝1时，M为A1D1的中点，S为菱形APC1M，AN＝eq\r(5)，AP＝PC1＝eq\f(\r(5),2)，C1N＝eq\r(2)，S的面积＝菱形APC1M的面积＝2S△C1MN＝2×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(6),2)，故⑤正确．[答案]①②③⑤【方法规律】共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA证明：(1)连接EF，CD1，A1B.∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥A1B.又A1B∥CD1，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四点共面．(2)∵四边形EFD1C∴CE与D1F必相交，设交点为P则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA考点二空间两条直线的位置关系[例2]如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确结论的为______(写出所有正确结论的序号)．[自主解答]直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B、B1、N在平面B1C中，点M在此平面外，所以BN、MB1是异面直线．同理AM、DD1[答案]③④【互动探究】在本例中，若M，N分别为BC1，CD1的中点，试判断MN与A1B1的位置关系．解：由于MN与平面DCC1D1相交于N点，C1D1⊂平面DCC1D1，且C1D1与MN没有公共点，所以MN与C1D1是异面直线．又因为C1D1∥A1B1，且A1B1与MN没有公共点，所以A1B1与MN是异面直线．【方法规律】判定空间直线位置关系的三种类型及方法(1)异面直线，可采用直接法或反证法．(2)平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理．(3)垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．如图所示，G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．解析：图(1)中，直线GH∥MN；图(2)中，G、H、N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图(3)中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图(4)中，G、M、N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以图(2)、(4)中GH与MN异面．答案：(2)(4)考点三异面直线所成的角[例3]如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱锥P­ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．[自主解答](1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，故三棱锥P­ABC的体积为V＝eq\f(1,3)·S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4,3)eq\r(3).(2)如图所示，取PB的中点E，连接DE，AE，则DE∥BC，所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，则cos∠ADE＝eq\f(DE2＋AD2－AE2,2DE·AD)＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).即异面直线BC与AD所成角的余弦值为eq\f(3,4).【方法规律】1．找异面直线所成的角的三种方法(1)利用图中已有的平行线平移．(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移．(3)补形平移．2．求异面直线所成角的三个步骤(1)作：通过作平行线，得到相交直线．(2)证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角．(3)算：通过解三角形，求出该角．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选C分别取AB、AA1、A1C1的中点D、E、F，连接DE，EF，DF则BA1∥DE，AC1∥EF.所以异面直线BA1与AC1所成的角为∠DEF(或其补角)，设AB＝AC＝AA1＝2，则DE＝EF＝eq\r(2)，DF＝eq\r(6)，由余弦定理得，cos∠DEF＝eq\f(DE2＋EF2－DF2,2DE·EF)＝eq\f(2＋2－6,2×\r(2)×\r(2))＝－eq\f(1,2)，则∠DEF＝120°.又因为异面直线夹角的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以异面直线BA1与AC1所成的角为60°.——————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————2种方法——异面直线的判定方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两直线不可能平行、相交或证明两直