高考数一轮复习 第九章 第六节 数归纳法突破热点题型 文

第六节数学归纳法考点一用数学归纳法证明等式[例1]用数学归纳法证明：eq\f(12,1×3)＋eq\f(22,3×5)＋…＋eq\f(n2,2n－12n＋1)＝eq\f(nn＋1,22n＋1)(n∈N*)．[自主解答]①当n＝1时，左边＝eq\f(12,1×3)＝eq\f(1,3)，右边＝eq\f(1×1＋1,2×2×1＋1)＝eq\f(1,3)，左边＝右边，等式成立．②假设n＝k(k≥1)时，等式成立．即eq\f(12,1×3)＋eq\f(22,3×5)＋…＋eq\f(k2,2k－12k＋1)＝eq\f(kk＋1,22k＋1)，当n＝k＋1时，左边＝eq\f(12,1×3)＋eq\f(22,3×5)＋…＋eq\f(k2,2k－12k＋1)＋eq\f(k＋12,2k＋12k＋3)＝eq\f(kk＋1,22k＋1)＋eq\f(k＋12,2k＋12k＋3)＝eq\f(kk＋12k＋3＋2k＋12,22k＋12k＋3)＝eq\f(k＋12k2＋5k＋2,22k＋12k＋3)＝eq\f(k＋1k＋2,22k＋3)，所以当n＝k＋1时，命题成立．由①②可得对任意n∈N*，等式成立．【方法规律】用数学归纳法证明等式的方法(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．(2)由n＝k时命题成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝21·1＝2，∴等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)．当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)·…·2k·(2k＋1)(2k＋2)＝2·(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)·(2k＋1)＝2·2k·1·3·5·…·(2k－1)·(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)．所以当n＝k＋1时，等式成立．由(1)(2)知，对任意n∈N*，原等式成立．考点二用数学归纳法证明不等式[例2]已知数列{an}，an≥0，a1＝0，aeq\o\al(2,n＋1)＋an＋1－1＝aeq\o\al(2,n).求证：当n∈N*时，an<an＋1.[自主解答](1)当n＝1时，因为a2是方程aeq\o\al(2,2)＋a2－1＝0的正根，所以a2＝eq\f(\r(5)－1,2)，即a1<a2成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，0≤ak<ak＋1，所以aeq\o\al(2,k＋1)－aeq\o\al(2,k)＝(aeq\o\al(2,k＋2)＋ak＋2－1)－(aeq\o\al(2,k＋1)＋ak＋1－1)＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)>0，又ak＋1>ak≥0，所以ak＋2＋ak＋1＋1>0，所以ak＋1<ak＋2，即当n＝k＋1时，an<an＋1也成立．根据(1)和(2)，可知an<an＋1对任何n∈N*都成立．【互动探究】把题设条件中的“an≥0”改为“当n≥2时，an<－1”，其余条件不变，求证：当n∈N*时，an＋1<an.证明：(1)当n＝1时，因为a2是aeq\o\al(2,2)＋a2－1＝0的负根，所以a2＝eq\f(－1－\r(5),2)，即a1>a2成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，ak＋1<ak，因为aeq\o\al(2,k＋1)－aeq\o\al(2,k)＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)，ak＋1<ak≤0，所以aeq\o\al(2,k＋1)－aeq\o\al(2,k)>0，又ak＋2＋ak＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1，所以ak＋2－ak＋1<0，所以ak＋2<ak＋1，即当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N*时，an＋1<an.【方法规律】应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的n∈N*，不等式eq\f(b1＋1,b1)·eq\f(b2＋1,b2)·…·eq\f(bn＋1,bn)>eq\r(n＋1)成立．解：(1)由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)．由于b>0且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，故eq\f(a2,a1)＝b，即eq\f(bb－1,b＋r)＝b，解得r＝－1.(2)证明：由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，所证不等式为eq\f(2＋1,2)·eq\f(4＋1,4)·…·eq\f(2n＋1,2n)>eq\r(n＋1).①当n＝1时，左式＝eq\f(3,2)，右式＝eq\r(2)，左式>右式，所以结论成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即eq\f(2＋1,2)·eq\f(4＋1,4)·…·eq\f(2k＋1,2k)>eq\r(k＋1)，则当n＝k＋1时，eq\f(2＋1,2)·eq\f(4＋1,4)·…·eq\f(2k＋1,2k)·eq\f(2k＋3,2k＋1)>eq\r(k＋1)·eq\f(2k＋3,2k＋1)＝eq\f(2k＋3,2\r(k＋1))，要证当n＝k＋1时结论成立，只需证eq\f(2k＋3,2\r(k＋1))≥eq\r(k＋2)，即证eq\f(2k＋3,2)≥eq\r(k＋1k＋2)，由均值不等式eq\f(2k＋3,2)＝eq\f(k＋1＋k＋2,2)≥eq\r(k＋1k＋2)成立，故eq\f(2k＋3,2\r(k＋1))≥eq\r(k＋2)成立，所以，当n＝k＋1时，结论成立．由①②可知n∈N*时，不等式eq\f(b1＋1,b1)·eq\f(b2＋1,b2)·…·eq\f(bn＋1,bn)>eq\r(n＋1)成立．考点三“归纳—猜想—证明”问题[例3]已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝eq\f(an,2)＋eq\f(1,an)－1，且an>0，n∈N*.(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；(2)证明通项公式的正确性．[自主解答](1)当n＝1时，由已知得a1＝eq\f(a1,2)＋eq\f(1,a1)－1，aeq\o\al(2,1)＋2a1－2＝0.∴a1＝eq\r(3)－1(a1>0)．当n＝2时，由已知得a1＋a2＝eq\f(a2,2)＋eq\f(1,a2)－1，将a1＝eq\r(3)－1代入并整理得aeq\o\al(2,2)＋2eq\r(3)a2－2＝0.∴a2＝eq\r(5)－eq\r(3)(a2>0)．同理可得a3＝eq\r(7)－eq\r(5).猜想an＝eq\r(2n＋1)－eq\r(2n－1)(n∈N*)．(2)①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立．②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，即ak＝eq\r(2k＋1)－eq\r(2k－1).由ak＋1＝Sk＋1－Sk＝eq\f(ak＋1,2)＋eq\f(1,ak＋1)－eq\f(ak,2)－eq\f(1,ak)，将ak＝eq\r(2k＋1)－eq\r(2k－1)代入上式并整理得aeq\o\al(2,k＋1)＋2eq\r(2k＋1)ak＋1－2＝0，解得：ak＋1＝eq\r(2k＋3)－eq\r(2k＋1)(an>0)．即当n＝k＋1时，通项公式也成立．由①和②，可知对所有n∈N*，an＝eq\r(2n＋1)－eq\r(2n－1)都成立．【方法规律】归纳—猜想—证明类问题的解题步骤(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．(·金华模拟)已知数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥(an＋1)2－1，试比较eq\f(1,1＋a1)＋eq\f(1,1＋a2)＋eq\f(1,1＋a3)＋…＋eq\f(1,1＋an)与1的大小，并说明理由．解：∵函数g(x)＝(x＋1)2－1，在[1，＋∞)上单调递增．于是由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1，进而a3≥(a2＋1)2－1≥24－1>23－1，由此猜想：an≥2n－1.下面用数学归纳法证明这个猜想：①当n＝1时，a1≥21－1＝1，结论成立；②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时结论成立，即ak≥2k－1.当n＝k＋1时，由g(x)＝(x＋1)2－1在区间[1，＋∞)上单调递增知ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1，即n＝k＋1时，结论也成立．由①②知，对任意n∈N*，都有an≥2n－1.即1＋an≥2n，∴eq\f(1,1＋an)≤eq\f(1,2n)，∴eq\f(1,1＋a1)＋eq\f(1,1＋a2)＋eq\f(1,1＋a3)＋…＋eq\f(1,1＋an)≤eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋…＋eq\f(1,2n)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n<1.————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1种方法——寻找递推关系的方法(1)在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的