高中数学苏教版必修四教学案第2章22向量的线性运算

向量的线性运算

第1课时向量的加法

预

习

导入门答辩——辨析问题解疑惑

引

区新知自解——自读教材找关键

知识点1向量的加法

入n答料

在大型生产车间里，一重物被天车从4处搬运到8处，如下图.它的实

际位移AB,可以看作水平运动的分位移AC与竖直运动的分位移AD的

合位移.

问题1：依据物理中位移的合成与分解，你认为AB,AD,Ad之间

有什么关系？

提示：AB=AC+AD.

问题2：A力与之间有什么关系？

提示：AD^CB.

问题3：向量A5,AC,Cfi之间有什么关系？

提示：AB^AC+CB.

新加a*

1.向量加法的定义

求两个向量和的运算叫做向量的加法.

2.向量加法的运算法那么

(1)三角形法那么：

向量a和6,在平面内任取一点0,作04=a,AB=b,那么向量05,户_J

OaA

叫做a与b的和，记作a+b,即a+6=0A+=03.

(2)平行四边形法那么：

两个不共线的非零向量a,6,作。/i=a,OC^b,以。耳,0C

邻边作。物比；那么以。为起点的对角线上的向量。8=a+b,如

图.这个法那么叫做两个向量求和的平行四边形法那么.

知识点2向量加法的运算律

人口本科

问题1：如图，*=4月+前=8+"同理衣=4/+反=

b+a.由此你能得出什么结论？

AaB

提示：a+b=b+a.

问题2：如图，AD=AB+BC+CD=a+Z>+c；AD=AB+

5/=a+(b+c)；AD^AC+CD^(a+b)+c.由此你又能得出什

么结论？

提示：a+b+c=a+(Z>+c)=(a+/>)+c.

向量加法的交换律和结合律

(1)交换律：a+b=b+a；

(2)结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；

(3)a+O=O+a=a；

(4)a+(—a)=(—a)+a=0.

［归纳.升华.领悟1------------------------->

1.向量加法的三角形法那么是从位移求和引出的，使用三角形法那么特殊要留意“首尾相

接"，和向量是从第一个向量的起点指向其次个向量的终点，当两个向量平行(或共线)时，三角

形法那么同样适用.

2.向量加法的平行四边形法那么是从力的合成引出的，使用该法那么关键是将向量a,6的

起点移到同一点4并以a,6为邻边作平行四边形如，那么向量即为a+&

课

堂

突破考点总结规律

互

动II

高考为标提炼技法

区把握热点考向贵在学有所悟

考点1向量的加法运算

［例1］化简以下各式：

(1)PB+OP+BO；

(2)CAB+MB)+BO+OM；

(3)AB+BC+CD+DE.

［思路点拨］多个向量相加，可以利用向量加法的三角形法那么求解，也可直接运算.

［精解详析］(1)而+丽+丽=(而+丽)+丽=丽+丽=0；

(2)(AB+MB)+BO+OM^(AB+BO)+(OM+MB)^AO+OB^AB；

(3)AB+BC+CD+DE^AC+CD+DEAD+DE-AE.

［一点通］在进行向量加法运算时，利用运算律转化为“顺次首尾相接的形式相加"，即

+=A力的形式，计算简捷且不易出错.

〃〃/题做条例

1.在平行四边形485中，BC+CD+DA^.

解析：BC+CD+DA=(BC+CD)+DA=BD+DA=BA.

答案：BA

2.以下各式中结果为。的是.

①4*++Ci；②血+加+5。+0〃；

③O/i+OC+BO+CO；®AB+CA+BD+DC.

解析：①原式=AC+CA=0；

②原式=(AB+BO)+(OM+MA)=AO+OA=0,

③原式=(83+O/i)+(6。+。6)=ZU+0=54.

④原式=(AB+BZ))+(DC+C4)=AD+DA-0.

故①②④符合.

答案：①②④

3.化简或计算：

MCD+BC+AB；

(2)AB+DF+CD+BC+FA.

解：(1)CD+BC+AB=(AB+BO+CD

AC+CD=AD.

(2)AB+DF+CD+BC+FA

=(AB+BC)+(CD+DF)+FA

=AC+CF+FA

=AF+FA=0.

向量加法法则的应用

［例2］四边形力的是平行四边形，昆〃是对角线镇上的两点，且FD

=必(如下图).4E

求证：四边形4g是平行四边形.

■”■■■■■■*

［思路点拨］要证明四边形/物是平行四边形，可证明45=。。或AO=BC.

［精解详析］:•四边形川底是平行四边形，

：.FC//AE,FC=AE,

又•.•尸d,A£方向相同，尸6=49，

'：DF=EB,且在一条直线上，加与E4方向相同，

/.DF=EB,

VAB^AE+EB,DCDF+FC,

：.AB^DC,：.AB//DC,AB=DC,

四边形缪是平行四功形.

［一点通］解决此类问题应留意以下两点：

(1)要留意向量加法的三角形法那么及平行四边形法那么的应用条件；

(2)要留意方向相同且长度相等的有向线段所表示的向量是相等向量.

〃〃，匾.班靠钟，'〃〃

4.如图，正六边形故迹中，BA+CD+EF=./——弋

解析：由于氏4，故氏4+丽+后/=丽+。后+为户c/\F=

CF\—/

BA

答案：CF

5.在正六边形仔'中，AB=a,AF=b,求AC,AD,AE.

解：如下图，连结尾交力。于点。,连结眼由平面几何学问得四边形四方1和四边形ABCO

均为平行四边形.

依据向量的平行四边形法那么，有

A0=AB+AF=a+b,

故有AD=2AO=2a+26.

在平行四边形/式》中,

AC=AB+AO=a+a+b=2a+6.

而万心=Z)=b£=a+6,

由三角形法那么得ZE=AF+FE=b+a+b=a+2b.

考点3向量加法在实际问题中的应用

［例3］小雨滴在无风时以4m/s的速度匀速下落.一阵风吹来，使得小雨滴以3m/s的速

3

度向东移动.那么小雨滴将以多大的速度落地？方向如何？（提示：tan370=/

［思路点拨］依据题意作出示意图，然后利用向量解决.

［精解详析］

法一：如图，设0.表示小雨滴无风时下落的速度，。后表示风的速度,

0A,仍为邻边作平行四边形的龙，那么加就是小雨滴实际飞行的速度.

在Rt△%C中，|市|=4m/s,|衣|=3m/s,

所以=y]I0A2+IAC三5m/s.

AC3

且tanZA0C=———=亍，即//。光37°.

\0A\4

所以小雨滴实际飞行速度为5m/s,方向约为东偏南53°.

法二：如图，设。4表示小雨滴无风时下落的速度，4方表示风的速度,

以创，48为两边作三角形”IE,那么0万就是小雨滴实际飞行的速度.

在Rt△如6中，

0A=4m/s,AB=3m/s,

所以103I=y]\0A\2+\AB|2=5m/s.

AB3

所以tanZA0B=即/4施A37°.

I0A「4,

所以小雨滴实际飞行的速度为5m/s,方向约为东偏南53°.

［一点通］利用向量解题，其关键是通过向量的运算建立向量与未知量的关系，然后求解并

作出实际答复，解决时要留意作图的精确?????性.

〃〃，墨瓶,亲钝“〃/

6.一条宽为mkm的河，水流速度为2km/h,船在静水中的航速为4km/h,该船要从河的

一边驶向对岸，为使行程最短，应怎样支配行驶方向？用时多少？

解：如图，设4。为水流速度，4万为最大航速，以〃'和和为邻边D、~笊

A

作平行四边形4曲.依据题意/匹例，在RtA4"和平行四边形I的中，DB\=\AC=2,

|AD|=4,NABg90°,

所以IABI='皿2一|西2=2升,

.yI-41

sinNBAD=.—,

AD「2o'

所以/%%=30°.

设所用时间为t（h）,那么t=^i=1（h）.

2弋32

答：船沿着与水流方向成120。的方向行驶可使行程最短，用时0.5小时.

7.在“3•11”大地震后，一架救援直升飞机从4地沿北偏东600方向飞行了40km到6地,

再由3地沿正北方向飞行40km到达。地，求此时直升飞机与4地的相对位置.

解：如下图，设48、8心分别是直升飞机两次位移，那么ad表示［北c

两次位移的合位移.即=+/

在Rt中，

）DB1=20km,|AD=20^/5km,"。东

在RtZX/切中，

IAC\='、而『+加）=40mkm,NCAD=6Q°,

即此时直升飞机位于/地北偏东30°,

且距离力地40馅km处.

［方法•规律•小结］

向量加法法那么的应用

对于向量求和的三角形法那么与平行四边形法那么，要留意它们的应用条件.当两个向量不

共线时，它们是全都的.但当两个向量共线时，三角形法那么仍旧适用，而平行四边形法那么就

不适用了.向量加法遵循三角形法那么和平行四边形法那么，因此，向量加法的三角形法那么和

平行四边形法那么实际上就是向量加法的几何意义.

用三角形法那么求两个向量和的步骤是：

第一步：将其中一个向量平移，使两个向量中的一个向量的起点与另一个向量的终点重合；

其次步：将剩下的起点与终点相连，并指向终点，那么该向量即为两向量的和.

训

练

随堂练

提课下练

能

速

，提

时检测

课下限

练，让

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能

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分层

四)

升(十

量提

课下力

题

填空

一、

C=

D+B

+C

AB

0A+

简：

1.化

D=

+C

OC

D=

+C

BC

B+

=0

BC

D+

+C

0B

C=

+B

CD

B+

+A

：0A

解析

OD.

。

：0

答案

是.

范围

取值

a+6的

那么|

=5,

,|引

a|=8

假设|

2.

；

值13

最大

+引取

，|a

同向时

a与6

：当

解析

值3.

最小

+引取

，a

向时

与6反

当a

,13]

：[3

答案

序

确的

，正

论中

下结

在以

，那么

向量