初中数学竞赛速成

初中数学竞赛速成

篇一：如何抓好初中数学竞赛

如何抓好初中数学竞赛

九江同文中学蔡理政

初中数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使

不同的人在数学上得到不同的发展。怎样才能实现新课程标

准下的这一理念，既强调个性差异又重视学生个性发展，使

学有余力的学生得到充分的发展呢？途径可能有很多，其中

数学竞赛就是被实践证明的行之有效的途径之一，因为数学

竞赛不仅可以激发学生对数学的兴趣，使学生体会学习数学

的快乐，加深对数学的理解，从而更好地培养独立思考、概

括归纳、创新求异的能力，而且对人的发展和完善都是十分

有益的。如果你经历过数学竞赛，你就能领会一位外国数学

大师M♦克莱因的话：“数学是人类最高超的智力成就，也是

人类心灵最独特的创作，音乐能激发和抚慰情怀，绘画使人

赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改

善物质生活，但数学能给予以上一切。”

数学竞赛现在广泛被视为一门独立的学科,在很多地区和

学校正越来越受到重视，同时也被广大家长接受，作为学生

提高自身素质、增强学习兴趣的手段。作为笔者，因为曾担

任数学竞赛辅导的工作，那么就如何普及、近几年竞赛考题

的趋势、内容的分析、如何训练学生解题这四个方面谈点个

人的体会，不当之处，请多指正。

一、无论什么数学竞赛，其本身都是为了培养学生学习数

学的兴趣，促进数学教学改革，从中发现人才。因此必须真

正的做好普及，才能稳固提高。就我市目前情况来看，初中

主要有“希望杯”全国邀请赛和初三年级的“全国联赛”。“希

望杯”又分一试和二试，特别是第一试的试题，难度适中，

内容也与教材很贴近，知识点都是学生已有知识的最近发展

区（或者跳一跳就能够

着）可以为我们做好普及工作、奠基工作。20年来初一、

初二两个年级的试题培训题已累计超3000个，几乎覆盖了

初中数学的全部及初中数学课本外的很多内容。二试试题难

度略大一点，更突出对科学思维能力的培养，但不属于摸不

着够不到的内容。对培养学生学习的兴趣和热情有很大的作

用。这本书中提到的留德博士马维民，当年就是获得了第二

届的铜牌，这一枚铜牌就成了他人生的一个转折点。因为它

给他带来了学习的乐趣、增添了他的信心和勇气，其实这样

的例子我们身边也有不少。但为什么还有很多人逐渐对数学

竞赛失去兴趣呢？原因有多方面的。杨乐院士曾在《中国教

师报》上接受记者采访时谈到一点原因是学生努力程度不

够，他还没尝到成功带来的喜悦，所以我们作为辅导老师，

不能一味地求难题做难题而不注重基础训练，如果一味地加

大难度脱离我们平时的教学，只会扼杀学生的兴趣，使他们

沮丧从而厌恶数学竞赛。只有把数学竞赛与常规教学相结合

才能把数学竞赛普及工作做好，而初一、初二年级的希望杯

竞赛正是这项工作的落实。

数学老师如何让学生对数学感兴趣，对竞赛感兴趣。激发

兴趣，靠应用价值、靠历史的起源、靠数学游戏；发展兴趣,

靠智性、靠不断产生的适合最近发展区的问题；保持兴趣，

靠成功与失败的交错作用、靠问题的挑战、靠个人对数学的

体验、靠数学本身的魅力。

数学竞赛的普及并不是指人人都参加竞赛,而是数学竞赛

有一个良好的环境氛围，是指广大教师、家长能理性的思考,

不仅仅是培养个别数学尖子，而是能激发广大青少年学习数

学的热情。不能“一刀切”，更不能象现在有的媒体宣传的“洪

水猛兽”，而是数学竞赛这座高塔有一个坚实的基础，当然

越到塔顶人数越

少，这也是正常的、自然的。

二、数学竞赛辅导要长期准备，要具有系统性，同时要关

注数学竞赛的基本走势。

作为辅导老师，首先要研究中国数学会普及工作委员会制

订的《初中数学竞赛大纲》，初中三年要根据大纲内容制订

出较系统、易执行的计划。每学期根据学生实际情况，应该

学会哪些内容、增加课本上没有的哪些知识，选取一、二本

权威性的教材。我一般选用《希望杯数学能力培训教程》和

华东师范大学出版社的《奥数教程》。

近几年初中数学竞赛的基本走势包括：

1、试题的价值取向。传统竞赛强调数学形式，关注数学

本身的问题，人为设置陷阱，诱使学生用特殊技巧去应对，

新出现的竞赛题则更加突出数学的本质；注重数学的应用、

数学的情境，关注现实生活中的数据、现象规律，应用题、

情境题是这一趋势的代表：例1（2009年江西预赛）一个

自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km报

废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废。行

驶一定路程后可以交换前、后轮胎，如果交换前、后轮胎要

使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶

km。

2、试题所用的语言。不只是自然语言，符号语言也重视

图形语言，不仅用图形提供停息，要求考生从图形中发现规

律，也可以用图形作答。图形成为数学竞赛的基本语言之一

（包括几何图形、函数图象、统计图等）。

例2（2008年全国联赛江西决赛）将正三角形每条边四

等分，然后过这些分点作平行于其它两边的直线，则以图中

线段为边的菱形个数为（）

A.15

C.21B.18D.

24

3、试题的类型。题型更加丰富，不仅有常规解答题和证明

题，还有发现规律的探索题、图案设计题。通过操作解决问

题的实验题。

例3（2006年“希望杯”初二第二试试题）在2、3两个数

之间，第一次写上2?3=5,第二次在2、5之间和5、3之间

分别写上2?5=7和5?3=4如下所示：第0次操作：23

第1次操作：253

第2次操作：27543第3次操作：……

第k次操作是在上一次操作的基础上，在每两个相邻的数

之间写上这两个数的和的。k

⑴请写出第3次操作后所得到的9个数，并求出它们的和。

⑵经过k次操作后所有数的和记为Sk,第k+1次操作后

所有数的和记为Sk+1,写出Sk+1与Sk之间的关系式；⑶

求S6的值。

4、试题中知识的组合。不要求记忆知识，如有可能，可

以用常识、经验代替知识，有许多初中赛题，如果从知识的

角度分析，不过是小学水平，但必须具备初中的数学素养才

能作答。例4（2009年江西预赛）10个人围成一个圆圈做

游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己

想好的数如

实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁

的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来

的数如图所示，则报3的人心理想的数是方块6。1102

9384756

例5（2005年全国竞赛）有两副扑克牌，每副牌的排列

顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、

方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A,2,3……,

J、Q、K的顺序排列，然后从上到下把

第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把

第四张放在最底层，……如此下去，直至最后只剩下一张牌,

则所剩的这张牌是。

5、试题不在单一知识上做文章，而是强调知识的联系，

特别是在代数、几何、统计等多学科的交汇处挖掘素材，从

而提出具有一定挑战性和综合性的问题，注重几何问题用代

数方法处理，更加注重代数问题的几何意义。

例6（《中学数学参考》第4届中学生数学智能通讯赛八

年级试题）设求证：＜x2?l+?（l?x）2<l+2

简析：本题可以用分析法，但如果构造几何图形，用数形

结合思想解决更巧妙、学生更容易接受。DMC

如图：构造边长为1的正方形ANMD和BCMN,

设MP=x,由图中三角形三边关系不难得出

AC<PC+PA<AM+MC,从而问题得证。ANB

三、数学竞赛尤其是初三全国联赛近几年考察的主要内容

及考察重点、热点是什么，我认为了解这个问题同我们把握

中考命题方向是同样重要的，它可以让老师和学生少走很多

弯路，让我们的辅导和训练有一定的

针对性。

1、数这一模块内容是每年考察的重点，其中包括：质数

和合数、最大公约数与最小公约数、奇数与偶数、完全平方

数、数的整除等，并且每年都有一道与一元二次方程相结合

的整数根问题。

例7（2005年全国联赛）设n为自然数，如果2005能

写成n个正的奇合数之和，就称n为“好数”则这种好数有

111个。

例8（2008年江西卷）555的末尾三位数字是（A）

A.125

B.375C.625D.875

篇二：历年初中数学竞赛试题精选

初中数学竞赛专项训练

1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全

相同，顺序也相同，由此六位数可以被（）整除。A.111

B.1000

C.1001

D.1111

解:依题意设六位数为abcabc,则abcabc=axl05+bxl04

+cxl03+axl02+bxl0+c=axl02(103+1)+bxl0(103

+1)+c(103+1)=(axl03+bxl0+c)(103+1)=1001

(axl03+bxl0+c),而axl03+bxl0+c是整数，所以能被

1001整除。故选C方法二：代入法

2、若S?

1

111

????198019812001

，则S的整数部分是____________________

解：因1981>1982??2001均大于1980,所以S?

122?

1

1980

9*

1980

?90,又1980、22

1981??2000均小于2001,所以S?

122?

12001

9*

200121

?90,从而知S的整数2222

部分为90o

3、设有编号为1、2、3??100的100盏电灯，各有接线开

关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有100个学生，

第1个学生进来时，凡号码是1的倍数的开关拉了一下，接

着第二个学生进来，由号码是2的倍数的开关拉一下，第n

个(n<100)学生进来，凡号码是n的倍数的开关拉一下，

如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100整除的电灯

上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。

解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几

次，由于一开始电灯是关的，

所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方

数才有奇数个约数，所以那些编号为1、22、32、42、52、

62、72、82、92、102共10盏灯是亮的。

4、某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比进

价高a%,后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售

价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是()A.

m(l+a%)(l-b%)元B.ma%(l-b%)元C.m(l+a%)b%元

D.m(l+a%b%)元

解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件m(l+a%)元,

因调整后的零售价为原零售价的b%,所以调价后每件衬衣

的零售价为m(1+a%)b%元。应选C

5、如果a、b、c是非零实数，且a+b+c=O,那么a?b?c?abc

的所有可能的

|a||b||c||abc|值为A.0B.1或-1C.2或-2

解：由已知，a,b,c为两正一负或两负一正。①当a,

b,c为两正一负时：

D.0或-2

()

abcabcabcabc???l??l所以？???0；|a||b||c||abc||a||b||c||abc|

②当a,b,c为两负一正时：

abcabcabcabc

????1?1所以？???0|a||b||c||abc||a||b||c||abc|

由①②知应选A

6、在aABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若

ZB=60°,则值为A.1

2

abcabc

???所有可能的值为Oo|a||b||c||abc|

B.D.

22

ca

的？

a?bc?b

()

C.1

2

解：过A点作AD_LCD于D,在Rt^BDA中，则于NB

=60°,所以DB=

C

Co,AD=

22

在RtaADC中，DC2=AC2—AD2,所以有(a一

C2232

)=b-C,整理得a2+c2=b224

cac2?cb?a2?aba2?c2?ab?bc

+ac,从而有？？？？1

a?bc?b(a?b)(c?b)ac?ab?bc?b2

应选C

7、设aVbVO,a2+b2=4ab,贝！JA.

a?b

的值为a?b

C.2

D.3

()

3

B.

6

解：因为(a+b)2=6ab,(a-b)2=2ab,由于a<b<O,得

a?b??ab,a?b??2ab,故

a?b

?3oa?b

应选A

8.已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+

2002,则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为()A.0B.

1C.2D.3

1解：?a2?b2?c2?ab?bc?ca?[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2],

2

又a?b??Lb?c??Lc?a?2

1

?原式?[(?1)2?(?1)2?22]?3

2

a2b2c2

9、已知abc#,且a+b+c=0,则代数式的值是??

bccaab

A.3B.2C.1D.0

()

解：原式？

?(b?c)?a?(a?c)?b?(a?b)?c

??bcacabaabbcc

??(?)?(?)?(?)

bcacababc

9•9•9•9•1KJ

abc

10、某商品的标价比成本高p%,当该商品降价出售时,

为了不亏损成本，售价的折扣(即

降价的百分数)不得超过d%,则d可用p表示为

解：设该商品的成本为a,则有a(l+p%)(l-d%)=a,

解得d?

11、已知实数z、y、z满足x+y=5及z2=xy+y-9,则

x+2y+3z=_______________

解：由已知条件知(x+1)+y=6,(x+l)y=z2+9,所以

x+1,y是t2—6t+z2+9=0的两个实根，方程有实数解，

则4=(-6)2-4(z2+9)=-4z2>0,从而知z=0,解方

程得x+l=3,y=3o所以x+2y+3z=8

12.气象爱好者孔宗明同学在x(x为正整数)天中观察到:

①有7个是雨天；②有5个下午是晴天；③有6个上午是晴

天；④当下午下雨时上午是晴天。则x等于()A.7B.

8C.9D.10

选Co设全天下雨a天，上午晴下午雨b天，上午雨下午

晴c天，全天晴d天。由题可得关系式a=0①，b+d=6②，

c+d=5③，a+b+c=7④，②+③一④得2d-a=4,即d=2,故

b=4,c=3,于x=a+b+c+d=9。

13、有编号为①、②、③、④的四条赛艇，其速度依次为

每小时vl、v2>v3>v4千米，且满足vl>v2>v3>v4>0,

其中，v水为河流的水流速度（千米/小时），它们在河流中

进行追逐赛规则如下：（1）四条艇在同一起跑线上，同时出

发，①、②、③是逆流而上，④号艇顺流而下。（2）经过1

小时，①、②、③同时掉头，追赶④号艇，谁先追上④号艇

谁为冠军，问冠军为几号？

1小时后，①、②、③号艇与④号艇的距离分别为Si?［（vi?v

水）？（v水？v4）］?l?vi?v4各艇追上④号艇的时间为ti?

100p

100?p

vi?v4v?v42v4

?i?l?

（vi?v水）?（v水?v4）vi?v4vi?v4

对vl>v2>v3>v4有tl?t2?t3,即①号艇追上④号艇用

的时间最小，①号是冠

军。

14.有一水池，池底有泉水不断涌出，要将满池的水抽干,

用12台水泵需5小时，用10台水泵需7小时，若要在2小

时内抽干，至少需水泵几台？解：设开始抽水时满池水的

量为x,泉水每小时涌出的水量为y,水泵每小时抽水量为z,

2小时抽干满池水需n台水泵，则

?x?5y?5?12z①

9*

?x?7y?7?10z②

?x?2y?2nz③？

由①②得？An?22

?x=35z

,代入③得：35z?10z?2nz

?y?5z

1

,故n的最小整数值为23。2

答：要在2小时内抽干满池水，至少需要水泵23台

15.某宾馆一层客房比二层客房少5间，某旅游团48人，

若全安排在第一层，每间4人，房间不够，每间5人，则有

房间住不满；若全安排在第二层，每3人，房间不够，每间

住4人，则有房间住不满，该宾馆一层有客房多少间？

解：设第一层有客房x间，则第二层有(x?5)间，由题可

得

?4x?48?5x①？

3(x?5)?48?4(x?5)②？

由①得：？

?4x?483

,即9?x?12

5?48?5x

?3(x?5)?48

由②得：?,即7?x?ll

48?4(x?5)?

，原不等式组的解集为9

3

?x?ll5

，整数x的值为x?10o答：一层有客房10间。

16、某生产小组开展劳动竞赛后，每人一天多做10个零

件，这样8个人一天做的零件超过200个，后来改进技术，

每人一天又多做27个零