高中数学大纲

高

中

数

学

大

纲

中学数学学习方法

一、课内重视听讲，课后与时复习。

新学问的接受，数学实力的培育主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学

习效率，寻求正确的学习方法。上课时要紧跟老师的思路，主动绽开思维预料

下面的步骤，比较自己的解题思路与老师所讲有哪些不同。特殊要抓住基础学

问和基本技能的学习，课后要与时复习不留疑点。首先要在做各种习题之前将

老师所讲的学问点回忆一遍，正确驾驭各类公式的推理过程，庆尽量回忆而不

采纳不清晰马上翻书之举。仔细独立完成作业，勤于思索，从某种意义上讲，

应不造成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以

解出，应让自己冷静下来仔细分析题目，尽量自己解决。在每个阶段的学习中

要进行整理和归纳总结，把学问的点、线、面结合起来交织成学问网络，纳入

自己的学问体系。

二、适当多做题，养成良好的解题习惯。

要想学好数学，多做题目是难免的，熟识驾驭各种题型的解题思路。刚起先要

从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习

题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决实力，驾驭一般的解题规律。对

于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一

起比较找出自己的错误所在，以便与时更正。在平常要养成良好的解题习惯。

让自己的精力高度集中，使大脑兴奋，思维灵敏，能够进入最佳状态，在考试

中能运用自如。实践证明：越到关键时候，你所表现的解题习惯与平常练习无

异。假如平常解题时随意、马虎、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平常

养成良好的解题习惯是特别重要的。

三、调整心态，正确对待考试。

首先，应把主要精力放在基础学问、基本技能、基本方法这三个方面上，因为

每次考试占绝大部分的也是基础性的题目，而对于那些难题与综合性较强的题

目作为调剂，仔细思索，尽量让自己理出头绪，做完题后要总结归纳。调整好

自己的心态，使自己在任何时候冷静，思路有条不紊，克服浮躁的心情。特殊

是对自己要有信念，恒久激励自己，除了自己，谁也不能把我打倒，要有自己

不垮，谁也不能打垮我的骄傲感。

在考试前要做好打算，练练常规题，把自己的思路绽开，切忌考前去在保证正

确率的前提下提高解题速度。对于一些简洁的基础题要有十二分把握拿全分；

对于一些难题，也要尽量拿分，考试中要学会尝试得分，使自己的水平正常甚

至超常发挥。

由此可见，要把数学学好就得找到适合自己的学习方法，了解数学学科的特点,

使自己进入数学的广袤天地中去。

高一数学第一册上

第一章集合与简易逻辑

-集合

1.1集合

1.2子集、全集、补集

1.3交集、并集

1.4含肯定值的不等式解法

1.5一元一次不等式解法

阅读材料集合中元素的个数

二简易逻辑

1.6逻辑联结词

1.7四种命题

1.8充分条件与必要条件

小结与复习

复习参考题一

其次章函数

—函数

2.1函数

2.2函数的表示法

2.3函数的单调性

2.4反函数

二指数与指数函数

2.5指数

2.6指数函数

三对数与对数函数

2.7对数

阅读材料对数的独创

2.8对数函数

2.9函数的应用举例

阅读材料自由落体运动的数学模型

实习作业建立实际问题的函数模型

小结与复习

复习参考题二

第三章数列

3.1数列

3.2等差数列

3.3等差数列的前n项和

阅读材料有关储蓄的计算

3.4等比数列

3.5等比数列的前n项和

探讨性学习课题：数列在分期付款中的应用

小结与复习

高一数学第一册下

第四章三角函数

一随意角的三角函数

4.1角的概念的推广

4.2弧度制

4.3随意角的三角函数

阅读材料三角函数与欧拉

4.4同角三角函数的基本关系式

4.5正弦、余弦的诱导公式

二两角和与差的三角函数

4.6两角和与差的正弦、余弦、正切

4.7二倍角的正弦、余弦、正切

三三角函数的图象和性质

4.8正弦函数、余弦函数的图象和性质

4.9函数（36）的图象

4.10正切函数的图象和性质

4.11已知三角函数值求角

阅读材料潮汐与港口水深

小结与复习

复习参考题四

第五章平面对量

-向量与其运算

5.1向量

5.2向量的加法与减法

5.3实数与向量的积

5.4平面对量的坐标运算

5.5线段的定比分点

5.6平面对量的数量积与运算律

5.7平面对量数量积的坐标表示

5.8平移

阅读材料向量的三种类型

二解斜三角形

5.9正弦定理、余弦定理

5.10解斜三角形应用举例

实习作业解三角形在测量中的应用

阅读材料人们早期怎样测量地球的半径?

探讨性学习课题：向量在物理中的应用

小结与复习

复习参考题五

高二数学其次册上

第六章不等式

6.1不等式的性质

6.2算术平均数与几何平均数

6.3不等式的证明

6.4不等式的解法举例

6.5含有肯定值的不等式

阅读材料n个正数的算术平均数与几何平均数

小结与复习

复习参考题六

第七章直线和圆的方程

7.1直线的倾斜角和斜率

7.2直线的方程

7.3两条直线的位置关系

阅读材料向量与直线

7.4简洁的线性规划

探讨性学习课题与实习作业：线性规划的实际应

川

7.5曲线和方程

阅读材料笛卡儿和费马

7.6圆的方程

小结与复习

复习参考题七

第八章圆锥曲线方程

8.1椭圆与其标准方程

8.2椭圆的简洁几何性质

8.3双曲线与其标准方程

8.4双曲线的简洁几何性质

8.5抛物线与其标准方程

8.6抛物线的简洁几何性质

阅读材料圆锥曲线的光学性质与其应用

小结与复习

复习参考题八

高二数学其次册下A

第九章直线、平面、简洁几何体

9.1平面

9.2空间直线

9.3直线与平面平行的判定和性质

9.4直线与平面垂直的判定和性质

9.5两个平面平行的判定和性质

9.6两个平面垂直的判定和性质

9.7棱柱

9.8棱锥

阅读材料柱体和锥体的体积

探讨性学习课题：多面体欧拉定理的发觉

阅读材料欧拉公式和正多面体的种类

9.9球

小结与复习

复习参考题九

第十章排列、组合和二项式定理

10.1分类计数原理与分步计数原理

10.2排列

10.3组合

阅读材料从集合的角度看排列与组合

10.4二项式定理

小结与复习

复习参考题十

第十一章概率

11.1随机事务的概率

11.2互斥事务有一个发生的概率

11.3相互独立事务同时发生的概率

阅读材料抽签有先有后，对个人公允吗?

高二数学其次册下B

第九章直线、平面、简洁几何体

9.1平面的基本性质

9.2空间的平行直线与异面直线

9.3直线和平面平行与平面和平面平行

9.4直线和平面垂直

9.5空间向量与其运算

9.6空间向量的坐标运算

9.7直线和平面所成的角与二面角

9.8距离

阅读材料向量概念的推广与应用

9.9棱柱与棱锥

探讨性学习课题：多面体欧拉定理的发觉

阅读材料欧拉公式和正多面体的种类

9.10球

小结与复习

复习参考题九

第十章排列、组合和二项式定理

10.1分类计数原理与分布计数原理

10.2排列

10.3组合

阅读材料从集合的角度看排列与组合

10.4二项式定理

小结与复习

复习参考题十

第十一章概率

11.1随机事务的概率

11.2互斥事务有一个发生的概率

11.3相互独立事务同时发生的概率

阅读材料抽签有先有后，对各人公允吗?

小结与复习

复习参考题十一

高三数学第三册（理科）

第一章概率与统计

1.1离散型随机变量的分布列

1.2离散型随机变量的期望与方差

1.3抽样方法

1.4总体分布的估计

阅读材料累积频率分布

1.5正态分布

1.6线性回来

阅读材料回来直线方程的推导

实习作业通过抽样调查，探讨实际问题

小结与复习

复习参考题一

其次章极限

2.1数学归纳法与其应用举例

阅读材料不完全归纳法与完全归纳法

探讨性学习课题：杨辉三角

2.2数列的极限

2.3函数的极限

2.4极限的四则运算

阅读材料无穷等比数列的和

2.5函数的连续性

小结与复习

复习参考题二

第三章导数

3.1导数的概念

3.2几中常见函数的导数

阅读材料改变率举例

3.3函数的和、差、积、商的导数

3.4复合函数的导数

3.5对数函数与指数函数的导数

阅读材料近似计算

3.6函数的单调性

3.7函数的极值

3.8函数的最大值与最小值

3.9微积分建立的时代背景和历史意义

小结与复习

复习参考题三

第四章数系的扩充一复数

4.1复数的概念

4.2复数的运算

4.3数系的扩充

探讨性学习课题：复数与平面对量、三角函数的

联系

小结与复习

复习参考题四

高三数学第三册（文科）

第一章统计

1.1抽样方法

1.2总体分布的估计

1.3总体期望值和方差的估计

实习作业通过抽样调查探讨实际问题

小结与复习

复习参考题一

附录随机数表

其次章导数

2.1导数的背景

2.2导数的概念

2.3多项式函数的导数

2.4函数的单调性与极值

2.5函数的最大值与最小值

2.6微积分建立的时代背景和历史意义

探讨性学习课题：杨辉三角

小结与复习

复习参考题二

中学数学基本公式

基本性质：

r((a)(b))

2(a)()(a)(M)(a)(N);

3(a)0(a)(M)(a)(N);

4(a)(M'n)(a)(M)

三角函数的和差化积公式

a+B=2(a+B)/2・(。-6)/2

a—B=2(a+B)/2・(a—6)/2

a+B=2(a+B)/2・(a—6)/2

a—B=-2(a+B)/2・(a—0)/2

三角函数的积化和差公式

a•B=1/2[(a+B)+(a—B)]

a•B=1/2[(a+B)—(a—B)]

a•B=1/2[(a+B)+(a—B)]

a•B=-1/2[(a+B)-(a-3)]

倍角公式

22[1-0^2]

2(厂2-(厂2=2(厂2-1=1-20^2

半角公式

(2)=7((1)/2)(2)7((1)/2)

(2)=V((l)/2)(2)J((1)/2)

⑵=J(⑴/(⑴)(2)7((1)/((D)

⑵=J(⑴/(⑴)⑵J(⑴/(⑴)

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…(1)/2

1+3+5+7+9+11+13+15+--+(21)2-

2+4+6+8+10+12+14+-+(2n)(1)5

r2+2'2+3*2+4*2+5'2+6*2+7"2+8"2+-'2(l)(21)/6

r3+2'3+3*3+4"3+5"3+6"3+—n"32(1)2/4

l*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+-(1)(1)(2)/3

正弦定理2R注：其中R表示三角形的外接圆半径

余弦定理b'2^2'2-2注：角B是边a和边c的夹角

圆的标准方程(厂2+(厂2=-2注：()是圆心坐标

圆的一般方程x'2-20注：D"2'2-4F>0

抛物线标准方程厂2=2y-22x"2=2x"22

直棱柱侧面积*h斜棱柱侧面积’*h

正棱锥侧面积l/2c*h'正棱台侧面积1/2(')h'

圆台侧面积1/2(')()1球的表面积4*r2

圆柱侧面积*2*h圆锥侧面积l/2*c**r*l

中数学重点学问与结论分类解析

一、集合与简易逻辑

1.集合的元素具有确定性、无序性和互异性.

2.对集合A、8,A8=0时，必需留意到“极端”状况：A=0或3=0；求

集合的子集时是否留意到0是任何集合的子集、0是任何非空集合的真子集.

3.对于含有〃个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集

的个数依次为2",2"-1,2"-2.2"-1,

4.“交的补等于补的并，即C“(A/8)=G,ACVB"；"并的补等于补的交，

n

即C(AB)=C〃ACvB.

5.推断命题的真假关键是“抓住关联字词”；留意："不'或'即'且'，

不'且‘即'或'".

6.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点

是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”.

7.四种命题中"‘逆'者'交换'也"、"'否'者'否定'也”.

原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.反证法分为

三步：假设、推矛、得果.

留意：血题的查定是“命题的韭鱼题，也就是，条佳丕变」仅查定绩也所

得命题”，但查愈题是“既查定愿翕题的条件隹为条.住.，...又查定原血题的结迨

隹为结论.的所得龛题”.

8.充要条件

二、函数

mImr

1.指数式、对数式，。：=劣，产，"N

a"

/=N=log„N=b(a>0,a丰1,N>0),

a°=1，log„1=0，log„a=1，Ig2+lg5=l，log«x=lnx，iog=，

°log.,a

fl

logb"=—\ogb.

ma

2.(1)映射是“'全部射出‘加‘一箭一雕’”；映射中第一个集合A中的元

素必有像，但其次个集合8中的元素不肯定有原像(A中元素的像有且仅有下

一个，但8中元素的原像可能没有，也可随意个)；函数是“非空数集上的映

射”，其中“值域是映射中像集8的子集”.

(2)函数图像与x轴垂线至多一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有,

也可随意个.

(3)函数图像肯定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不肯定能成为函

数图像.

3.单调性和奇偶性

(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.

偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.

留意：(1)确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点

对称.确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等.对于偶函数而言

有:f(-x)=/(X)=/(|X|).

(2)若奇函数定义域中有0,则必有/(())=().即Oef(x)的定义域时，

〃0)=0是为奇函数的必要非充分条件.

(3)确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法(取值、作

差、鉴定)、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值

法等等.

(4)既奇又偶函数有无穷多个(/(x)=0,定义域是关于原点对称的随意

一个数集).

(7)复合函数的单调性特点是：“同性得增，增必同性；异性得减，减必

异性”.

复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.复合函数要考

虑定义域的改变。(即复合有意义)

4.对称性与周期性(以下结论要消化汲取，不行强记)

(1)函数y=f(x)与函数的图像关于直线X=0(y轴)对称.

推广一：假如函数y=/(x)对于一切xeR,者口有/(。+》)=/(〃一可成立,

则y=/(x)的图像关于直线x=厘(由'”和的一半x=("+x)；S—x)确定”)

22

对称.

推广二：函数y=f(a+x),尸/9-力的图像关于直线广一(由

a+x=8-x确定)对称.

(2)函数y=/(x)与函数y=-/(x)的图像关于直线y=0(x轴)对称.

(3)函数y=/(x)与函数尸-〃-力的图像关于坐标原点中心对称.

推广：曲线/(x,y)=O关于直线y=x+b的对称曲线是f(y-b,x+b)-O;

曲线/(x,y)=O关于直线y=-x+b的对称曲线是./'(-y+O,-x+))=O.

(5)类比“三角函数图像”得：若y=/(x)图像有两条对称轴

x=a,x=b(a丰b),则＞=/(x)必是周期函数，且一周期为T=2|a-6|.

假如y=f(x)是R上的周期函数，且一个周期为T,则

/(X±A?T)=/(X)(/7GZ).

特殊：若f(x+a)=-f{x}{a0)恒成立，则T=2a.若

/(x+a)=—'―("0)恒成立，贝!jT=2a.若f(x+a)=-一匚(叱0)恒成立，则

/(x)f(x)

T=2a.

三、数列

1.数列的通项、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前

〃项和公式的关系：4=恬(〃；1)»(必要时请分类探讨).

一々

留意：an-(an-an_x)+{an_x-an_2)++(a2-a^+a［；an=---------••—•.

an-\an-2a\

2.等差数列{%}中:

(1)等差数列公差的取值与等差数列的单调性.

Q

(2)〃=q+(n-l)d=am+(〃-in)d；p+q=in+n^>ap+aq=am+an.

⑶{"四、{h“}也成等差数列.

(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.

(5)%+%++am,ak+ak+l++ak+m_v仍成等差数列.

c〃(q+a“),n(n-l)ddS,

(6)S=——!-----,S-na+----------d,Sc=—n2+(a,——)〃,a=2-nt,

n2nA2n22"2n-l

y-=f(n)=>今=f(2n-1).

(7)ap=q,%=p(p*q)ncip”=O;=q,S«=p(pXq)=5*学=—(p+q);

S,“+.=S,„+S„+mnd.

(8)“首正”的递减等差数列中，前〃项和的最大值是全部非负项之和；

“首负”的递增等差数列中，前〃项和的最小值是全部非正项之和；

(9)有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在必定联系，由数列的总

项数是偶数还是奇数确定.若总项数为偶数，则“偶数项和”一“奇数项和”

二总项数的一半与其公差的积；若总项数为奇数，则''奇数项和”一“偶数项

和”=此数列的中项.

(10)两数的等差中项惟一存在.在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑

选用“中项关系”转化求解.

(11)判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、

和式法、图像法(也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式).

3.等比数列｛叫中：

（1）等比数列的符号特征（全正或全负或一正一负），等比数列的首项、

公比与等比数列的单调性.

xn

（2）an=axq"-=amq"-';p+q=m+bp-bq=bm-hn.

⑶｛1%|｝、｛%（1）„,｝、｛0｝成等比数列；｛q,｝、｛〃,｝成等比数列n他也｝成

等比数列.

（4）两等比数列对应项积（商）组成的新数列仍成等比数列.

（5）q+%++a,”M«+a*+i++ak+m-\>成等比数列.

叫（4=1）/叫（4=1）

（6）■=忙也=4。臼）（#]）=_'小旦（#】）.

\-q\-q[\-q\-q

特殊：a"-/?"-（«-b）（a"-'+a7b+a'-V++abn-2+b'-'）.

m

⑺Sm+n=Sm+qS„=Sll+q-Sm.

（8）“首大于1”的正值递减等比数列中，前〃项积的最大值是全部大于

或等于1的项的积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前”项积的最小值是

全部小于或等于1的项的积；

（9）有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必定联系，由数列的总

项数是偶数还是奇数确定.若总项数为偶数，则“偶数项和”=“奇数项和”

与“公比"的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”=“首项”加上“公比”

与“偶数项和”积的和.

（10）并非任何两数总有等比中项.仅当实数a涉同号时，实数“涉存在等

比中项.对同号两实数〃力的等比中项不仅存在，而且有一对G=±瘀.也就是

说，两实数要么没有等比中项（非同号时），假如有，必有一对（同号时）.在

遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中项关系”转化求解.

（11）判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、

和式法（也就是说数列是等比数列的充要条件主要有这四种形式）.

4.等差数列与等比数列的联系

（1）假如数列｛%｝成等差数列，则数列｛Ag（A""总有意义）必成等比数列.

（2）假如数列｛%｝成等比数列，则数列｛1呜|*｝（心0,"1）必成等差数列.

（3）假如数列他｝既成等差数列又成等比数列，则数列｛4｝是非零常数数列；

但数列｛4｝是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.

（4）假如两等差数列有公共项，则由他们的公共项顺次组成的新数列也是

等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.

假如一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成新数列，则常选

用“由特殊到一般的方法”进行研讨，且以其等比数列的项为主，探求等比数

列中那些项是他们的公共项，并构成新的数列.

留意：（1）公共项仅是公共的项，其项数不肯定相同，即探讨。“=粼.但

也有少数问题中探讨=勿，这时既要求项相同，也要求项数相同.（2）三（四）

个数成等差（比）的中项转化和通项转化法.

5.数列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差数列求和公式（三种形式），

②等比数列求和公式（三种形式），

③1+2+3++"=鼻（”+1）,12+22+32++〃2=工〃（〃+1）（2〃+1）,

26

1+3+5++（2〃-1）="2,1+3+5++（2〃+1）=（〃+1）2.

（2）分组求和法：在干脆运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同

类项”先合并在一起，再运用公式法求和.

（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其

共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性

的作用求和(这也是等差数列前〃和公式的推导方法).

(4)错位相减法：假如数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数

列的通项相乘构成，则常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数

列的和”求解(留意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的

项数减一的差”！)(这也是等比数列前〃和公式的推导方法之一).

(5)裂项相消法：假如数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项

分裂后相关联，则常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

①—1

n(n+1)n〃+1

②一L-一一L_),

n(n+k)Knn+k'

特殊声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，

必要时分类探讨.

(6)通项转换法。

四、三角函数

1.a终边与6终边相同(a的终边在。终边所在射线上)=a=e+2k兀(kwZ).

a终边与。终边共线(a的终边在。终边所在直线上)。.

a终边与。终边关于x轴对称oa=-0+2k7r(keZ).

a终边与。终边关于y轴对称oa=7r-0+2k7r(k.

a终边与。终边关于原点对称oa=〃+6+2k兀(keZ).

一般地：a终边与。终边关于角夕的终边对称oa=2/7-6+2Z乃(ZeZ).

a与当的终边关系由“两等分各象限、一二三四”确定.

2.弧长公式：/=|a|R,扇形面积公式：S=：/R=3|a|R2,1弧度(1)*57.3.

3.三角函数符号特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正.

留意：sin15°=cos75°=娓二◎,sin75°=cos15°=巫彳逝,

44

tan15=cot75=2-6，tan75=cot15=2+石，sinl80=^=^.

4.三角函数线的特征是：正弦线“站在x轴上（起点在x轴上）”、余弦线“躺

在x轴上（起点是原点）”、正切线“站在点A（l,0）处（起点是A）”.务必重

视“三角函数值的大小与单位圆上相应点的坐标之间的关系，‘正弦'<=>'纵

坐标'、'余弦'<=>'横坐标'、‘正切'o'纵坐标除以横坐标之商'”；

务必记住：单位圆中角终边的改变与sintz土cosa值的大小改变的关系.a为锐

角=sina<a<tana.

5.三角函数同角关系中，平方关系的运用中，务必重视“依据已知角的范围和

三角函数的取值，精确确定角的范围，并进任定号”;

6.三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，符号看象限.

7.三角函数变换主要是：角、函数名、次数、系数（常值）的变换，其核心是

“角的变换”！

角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其

倍角的变换、两角与其和差角的变换.

如a=（a+£）-/?=（&_£）+/?,2a=（a+j3）+（a-J3）,2a=（/3+a）-（/3-a）,

a+B=2.彗,守=卜一雪一修叫等.

常值变换主要指“1”的变换：

1=sin2x+cos2x=sec2x-tan2x=tanx-cotx=tan]=siny=cosO=等.

三角式变换主要有：三角函数名互化（切割化弦）、三角函数次数的降升（降

次、升次）、运算结构的转化（和式与积式的互化）.解题时本着“三看”的基

本原则来进行：“看角、看函数、看特征”，基本的技巧有:巧变角，公式变形运

用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次.

留意：和（差）角的函数结构与符号特征；余弦倍角公式的三种形式选用;

降次（升次）公式中的符号特征."正余弦'三兄妹一sinx±cos^sinxcosxJ的

联系”（常和三角换元法联系在一起

，=sinx±cosxG[-＞/2,5/2],sinxcosx=）.

协助角公式中协助角的确定：asinx+bcos冗=J/+〃sin（x+6）（其中。角所

在的象限由a,6的符号确定，。角的值由tan0=2确定）在求最值、化简时起

a

着重要作用.尤其是两者系数肯定值之比为1或G的情形.Asinx+Bcosx=C有

实数解OA2+B2NC2.

8.三角函数性质、图像与其变换：

（1）三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、有界性和周期性

留意：正切函数、余切函数的定义域；肯定值对三角函数周期性的影

响：一般说来，某一周期函数解析式加肯定值或平方，其周期性是：弦减半、

切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加肯定值，其周期性不变；其

他不定.$13y=sin2x,j=|sinx|的周期都是乃，但＞=卜2乂+|«»乂y=|sinjc|+|cos^的周期为

%,的周期不变，问函数，y=sin/,y=sin|4y=cos五，是周期函数吗？

（2）三角函数图像与其几何性质：

（3）三角函数图像的变换：两轴方向的平移、伸缩与其向量的平移变换.

（4）三角函数图像的作法：三角函数线法、五点法（五点横坐标成等差数

列）和变换法.

9.三角形中的三角函数：

（1）内角和定理：三角形三角和为乃，随意两角和与第三个角总互补，随

意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形。三内角都是锐角。＞三内角

的余弦值为正值。任两角和都是钝角。随意两边的平方和大于第三边的平方.

（2）正弦定理：3=&=f=27?（7?为三角形外接圆的半径）.

sinAsinBsinC

留意：己知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则

务必留意可能有两解.

（3）余弦定理：♦+/-2bccosAcosA='+<~---1等，

2bc2bc

常选用余弦定理鉴定三角形的类型.

（4）面积公式：S=ga%=gabsinC=^~.

ZZ4K

五、向量

1.向量运算的几何形式和坐标形式，请留意：向量运算中向量起点、终点与其

坐标的特征.

2.几个概念：零向量、单位向量（与AB共线的单位向量是+也，特殊：

（普+与U（普-禺））、平行（共线）向量（无传递性，是因为有0）、相

\AB\\AC\\AB\\AC\

等向量（有传递性）、相反向量、向量垂直、以与一个向量在另一向量方向上的

投影（0在6上的投影是=加05<4,。>=$^€11）.

11忖

3.两非零向量平行（共线）的充要条件

a//b<^>a=Ab<=>（a-h）2=（|6f||/?|）2o%/+y%=。•

两个非零向量垂直的充要条件

a±hoah=0<=>|a+h\=\a-h\o玉/+y%=。•

特殊：零向量和任何向量共线.a=一是向量平行的充分不必要条件!

4.平面对量的基本定理：假如e和。是同一平面内的两个不共线向量，则对

该平面内的任一向量a,有且只有一对实数4、右，使力+4分

5.三点A、B、C共线=AB、AC共线；

向量P4P8、PC中三终点48、C共线=存在实数a、力使得：

PA=aPB+j3PCS.a+j3=l.

22

6,向量的数量积：|a|=(a)=a-a9a-b=\a\\b\cos0=xix2+y1y2,

cos0=ab为毛+y％

⑷助斤:即F

a在匕上的投影=\a\cos<a,b>=—=号+）'通•

网衍I

留意：<a,b>为锐角o"•">（）且a、b不同向;

<a,b>为直角=a力=0且外人N。；

<a,Z?>为钝角=a/<0且a、人不反向；

4力<0是<a,b>为钝角的必要非充分条件.

向量运算和实数运算有类似的地方也有区分：一个封闭图形首尾连接而成的

向量和为零向量，这是题目中的自然条件，要留意运用；对于一个向量等式，

可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个

向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量；向量的“乘法”

不满意结合律，即及5・1）#@・5］，切记两向量不能相除（相约）.

7.\\a\-\b\\<\a±b\<\a\+\b\

留意：ayb同向或有0O|a+〃|=|a|+N||a|-|b||=|a-〃|;

a、〃反向或有0<^\a-b\=\a\+\b\>\\a\-\b\\=\a+b\;

。、人不共线=||a|-|b||<|a±Z?|<|a|+闻.（这些和实数集中类似）

_内+%2

8.中点坐标公式「丁，加尸=叫+后。.为3的中点.

r-2

AABC中，AB+AC过8c边中点；（也+&）1（&.生）；

\AB\\AC\|AB||AC|

与A映线的单位向量是土迫.PG=J（P4+PB+PC）=G为A4BC的重心;

\AB\3

特殊PA+PB+PC=0oP为AABC的重心.

PAPB=PBPC=PCPAoP为AABC的垂心;

+_ACL）（AH0）所在直线过AABC的内心（是ABAC的角平分线所在

|AB|\AC\

直线）

\AB\PC+\BC\PA+\CA\PB=O^PA4BC的内心.

2

SABC=||AB||AC|sinA=g亦即AC『一（A5.AC）.

六、不等式

1.（1）解不等式是求不等式的解集，最终务必有集合的形式表示；不等式解集

的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.

（2）解分式不等式纲>〃（”（））的一般解题思路是什么？（移项通分，分子

g（x）

分母分解因式，X的系数变为正值,标根与奇穿过偶弹回）；

（3）含有两个肯定值的不等式如何去肯定值？（一般是依据定义分类探讨、

平方转化或换元转化）;

（4）解含参不等式常分类等价转化，必要时需分类探讨.留意：按参数探

讨，最终按参数取值分别说明其解集，但若按未知数探讨，最终应求并集.

2.利用重要不等式a+bN2疝以与变式（竽f等求函数的最值时，务必

留意a,1R+（或a,6非负），且“等号成立”时的条件是积或和a+8其中

之一应是定值（一正二定三等四同时）.

3.常用不等式有：耳正N乎NJ茄之生（依据目标不等式左右的运算

a+b

结构选用）

a、b、e,cr+b'+c2>ab+be+ca（当且仅当a=A=c时，取等号）

4.比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性

质法、综合法、分析法

5.含肯定值不等式的性质:

a、b同号或有0U>Ia+匕HaI+闻NIIaI-闻1=1a-b|;

a、b异号或有0<^\a-b\=\a\+\b\>\\a\-\b\\^a+b\.

留意：不等式恒成立问题的常规处理方式？(常应用方程函数思想和“分

别变量法”转化为最值问题).

6.不等式的恒成立，能成立,恰成立等问题

(1).恒成立问题

若不等式/(x)>A在区间O上恒成立,则等价于在区间D上/(%)mjn>4

若不等式/(x)<B在区间。上恒成立,则等价于在区间。上/(%)_<B

(2).能成立问题

若在区间。上存在实数x使不等式/(x)>A成立，即/(x)>A在区间。

上能成立，，则等价于在区间。上A

若在区间。上存在实数x使不等式/(x)<3成立，即/(x)<8在区间。

上能成立，，则等价于在区间。上的〃x)m1n<5.

(3).恰成立问题

若不等式f(x)>A在区间。上恰成立，则等价于不等式,f(x)>A的解集

为。.

若不等式/(x)<8在区间。上恰成立，则等价于不等式/(x)<8的解集

为，

七、直线和圆

1.直线倾斜角与斜率的存在性与其取值范围；直线方向向量的意义(“=〃")或

2(0,1)(2^0))与其直线方程的向量式((x-%,>-%)=%(。为直线的方向向

量)).应用直线方程的点斜式、斜截式设直线方程时，一般可设直线的斜率为

h但你是否留意到直线垂直于x轴时，即斜率左不存在的状况?

2.知直线纵截距6,常设其方程为旷=丘+8或x=0；知直线横截距与,常设其

方程为x=，"y+Xo(直线斜率k存在时，m为k的倒数)或y=0.知直线过点

(公,%),常设其方程为丁=女。-%)+%或x=x().

留意：(1)直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一

般式、向量式.以与各种形式的局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,

还有截矩式呢？)

与直线l.Ax+By+C^0平行的直线可表示为Ax+By+Cx=0；

与直线l:Ax+By+C=0垂直的直线可表示为Bx-Ay+C,=0；

过点P(x°,y°)与直线/:Ar+5j+C=0平行的直线可表示为：

A(x-Xo)+B(y->o)=O；

过点P(x0,%)与直线l-.Ax+By+C^0垂直的直线可表示为：

B(x-x0)-A(^-yo)=O.

(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等=直

线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数。直线的斜率为1或直线

过原点；直线两截距肯定值相等。直线的斜率为±1或直线过原点.

(3)在解析几何中，探讨两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合,

而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.

3.相交两直线的夹角和两直线间的到角是两个不同的概念：夹角特指相交

两直线所成的较小角，范围是而其到角是带有方向的角，范围是(0,7).

注：点到直线的距离公式

,|Ar()+By()+C|

特殊：4U=左4=-1(匕、心都存在时)o442+4生=0；

4〃/20m2(…2都存在时)O健箜2；

卜’2重合O｛，=/3、自都存在时)O｛於=静或BG=B2C,'

4.线性规划中几个概念：约束条件、可行解、可行域、目标函数、最优解.

5.圆的方程：最简方程M+y2=R2；标准方程(i)2+(i)2=用；

一般式方程f+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0);

参数方程收世嚼(6为参数)；

IV-SillC/

直径式方程0-%)(%-々)+(>-%)(旷-％)=0.

留意：

(1)在圆的一般式方程中，圆心坐标和半径分别是

(~^~2),R=2JD2+E-4F.

(2)圆的参数方程为“三角换元”供应了样板，常用三角换元有：

x?+>2=1-»x=cos6,y=sin。，x2+/=2-^x=V2cos6»,y=>/2sin(?,

x2+j2<1->x=rcos0,y=rsin0(0<r<1),

x2+y2<2—>x=rcos。,y=rsin0[0<r<>/2).

6.解决直线与圆的关系问题有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思

路，等价转化求解，重要的是发挥“圆的平面几何性质(如半径、半弦长、弦

心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)的作用！”

2

(1)过圆/+_/=*上一点尸(为,％)圆的切线方程是：xxa+yy0=R,

222

过圆(x-a)+(y-b)=R上一点P(x0,y0)圆的切线方程是：

2

(x-d)(x0-a)+(y-a)(y0-a)=/?,

22

过圆V+丁+6+Ey+F=0(D+E-4F>0)上一点P(x0,%)圆的切线方程

是：xro+y%+g(x+Xo)+号(y+%)+F=O•

假如点P(%,%)在圆外，则上述直线方程表示过点P两切线上两切点的

“切点弦”方程.

假如点P（x0,y。）在圆内，则上述直线方程表示与圆相离且垂直于0产（。1

为圆心）的直线方程，|0/M=R2（1为圆心01到直线的距离）.

7.曲线G：/（x，y）=O与C,:g（x,y）=O的交点坐标o方程组加的解；

y）-u

过两圆Ci:F（x,y）=0、C2:g（x,y）=0交点的圆（公共弦）系为f{x,y）+Ag（x,j）=0,

当且仅当无平方项时，/（x,y）+4g（x,y）=0为两圆公共弦所在直线方程.

八、圆锥曲线

1.圆锥曲线的两个定义，与其“括号”内的限制条件,在圆锥曲线问题中，假

如涉与到其两焦点（两相异定点），则将优先选用圆锥曲线第肯定义；假如涉与

到其焦点、准线（肯定点和不过该点的肯定直线）或离心率，则将优先选用圆

锥曲线其次定义；涉与到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余

弦定理等几何性质的应用.

（1）留意：①圆锥曲线第肯定义与配方法的综合运用；

②圆锥曲线其次定义是：“点点距为分子、点线距为分母"，椭圆=

点点距除以点线距商是小于1的正数，双曲线O点点距除以点线距商是大于1

的正数，抛物线。点点距除以点线距商是等于1.③圆锥曲线的焦半径公式如

下图：

2.圆锥曲线的几何性质：圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特

殊点线、圆锥曲线的改变趋势.其中e=C,椭圆中立=0二百、双曲线中

aa

a

重视“特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值与其'顶点、焦点、

准线等相互之间与坐标系无关的几何性质'”，尤其是双曲线中焦半径最值、

焦点弦最值的特点.

留意：等轴双曲线的意义和性质.

3.在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“函数方程思想”和“数形结合思

想”两种思路，等价转化求解.特殊是：

①直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解，当出现一

元二次方程时，务必“判别式20”，尤其是在应用韦达定理解决问题时,必需

先有“判别式20”.

②直线与抛物线（相交不肯定交于两点）、双曲线位置关系（相交的四种状

况）的特殊性，应谨慎处理.

③在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与“弦”相关，"平行弦''问题

的关键是“斜率”、“中点弦''问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角

形"或"点差法”、"长度（弦长）”.问题关键是长度.（弦长）公式

2

«™|AB|=/"一八'+日一人产，\ABhVl+^\x2-x2

|AB|=-必1=或“小小直角三角形”.

④假如在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，则可选择应用“斜率”

为桥梁转化.

4.要重视常见的寻求曲线方程的方法（待定系数法、定义法、直译法、代点法、

参数法、交轨法、向量法等），以与如何利用曲线的方程探讨曲线的几何性质

（定义法、几何法、代数法、方程函数思想、数形结合思想、分类探讨思想和

等价转化思想等），这是解析几何的两类基本问题，也是解析几何的基本动身点.

留意：①假如问题中涉与到平面对量学问，则应从已知向量的特点动身，考

虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形

式进行“摘帽子或脱靴子”转化.

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹

方程时应留意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合（如

角平分线的双重身份）、”方程与