高中数学：空间向量及其线性运算

高中数学：空间向量及其线性运算

目录

1.空间向量基础知识...................................................................................2

??空间向量的概念...............................................................................2

??运算.........................................................................................3

????共线向量....................................................................................4

????共面向量....................................................................................5

??基本方法...........................................................................................7

????参考答案...........................................................................................9

????巩固练习..........................................................................................11

????参考答案..........................................................................................12

6.【考点梳理】....................................................................................24

6.1.考点一空间向量的概念......................................................................25

6.2.考点二空间向量的线性运算..................................................................25

6.3.考点三共线向量.............................................................................26

6.4.考点四共面向量.............................................................................26

7.【题型归纳】....................................................................................26

7.1.题型一：空间向量的有关概念...............................................................27

7.2.题型二：空间向量的线性运算（加减法）......................................................27

7.3.题型三：空间两个向量共线的有关问题........................................................28

7.4.题型四：空间共面向量定理.................................................................28

8.【双基达标】....................................................................................29

8.1.一、单选题..................................................................................29

9.【高分突破】....................................................................................32

9.1.—：单选题..................................................................................32

9.2.二、多选题..................................................................................34

9.3.三、填空题..................................................................................36

9.4.四、解答题..................................................................................36

10.【答案详解】...................................................................................39

11.【详解】........................................................................................39

12.【详解】........................................................................................39

13.【详解】........................................................................................39

14.【详解】........................................................................................40

15.【详解】........................................................................................40

16.【详解】........................................................................................41

17.【详解】........................................................................................42

18.【详解】........................................................................................42

19.【详解】........................................................................................42

20.【详解】........................................................................................43

21.【详解】........................................................................................43

22.【详解】........................................................................................44

23.【详解】........................................................................................44

24.【详解】........................................................................................44

25.【详解】........................................................................................45

26.【详解】........................................................................................45

27.【详解】........................................................................................45

28.【详解】........................................................................................46

第1页共54页

29.【详解】........................................................................................46

30.【详解】........................................................................................46

31.【详解】........................................................................................46

32.【详解】........................................................................................47

33.【详解】........................................................................................47

34.【点睛】........................................................................................47

35.【详解】........................................................................................48

36.【详解】........................................................................................48

37.【详解】........................................................................................48

38.【详解】........................................................................................49

39.【详解】........................................................................................50

40.【点睛】........................................................................................50

41.【详解】........................................................................................50

42.【详解】........................................................................................51

43.【详解】........................................................................................51

44.【详解】........................................................................................52

45.【详解】........................................................................................52

46.【详解】........................................................................................53

47.【详解】........................................................................................53

1.空间向量基础知识

空间向量的概念

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，用字母a,b,ca-,bf,c-……表示,

空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.

解释

(1)空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示；

(2)向量aa一的起点是AA,终点是BB,则向量aa—也可以记作AB-~ABf,其模记为|a

||a-|或|AB一—||AB-|；

⑶向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量；

(4)向量具有平移不变性.

(5)在空间，零向量、单位向量、相等向量、反向量与在平面的对应向量一样.

【例】下列说法中正确的是().

A,单位向量都相等

B.任一向量与它的相反向量不相等

C.若|a|=|b||a-|=|bf|,则aaf与bb—的长度相等，方向相同或相反

D.若aa—与b是相反向量，则|a|=|b||a-*|=|b-*|

第2页共54页

解析对于AA,单位向量的模相等，但是方向不一定一样，故AA错；

对于BB,零向量与其反向量相等；

对于CC,|a|=|b||a-|=|b—|只能说明两向量的模相等，方向可以是多样的，故CC错;

对于DD,相反向量的模是相等的，故DD是正确的。故选DD.

【练】给出下列命题：

①若空间向量a,ba;b一满足|a|=|b||a^-|=|b^|,则a=baf=b-；

②若空间向量m,n,pm-,r)f,pf满足m=nmf=n—,n=pr)f=p-,则m

=pm->=p->；

③零向量没有方向；

④若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同.

其中假命题的个数是().

A.11B.22C.33D.44

解析对于①，向量方向不相同，则aNba->Wbf,故①错；

对于②，空间向量也具有传递性，故②正确；

对于③，零向量的方向是任意的，故③错；

对于④，相等向量的起点与终点不一定相同，故④错。故选CC.

运算

(1)定义与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图).

0A->-=0B-0C->-=a+bOA_*=OB->+OC_>=a_>+b^,CB-**-=0B-»—0C->*-=a-b

CBf=OBf-OC-=a--bf,OP——Na(入£R)OPf=入a—(人eR)

⑵运算律

①加法交换律:a+b=b+aa->+b->=b->+a->；

②加法结合律Xa+b)+c=a+(b+c)(a->+b->)+c->=a->+(b->+c->)；

③数乘分配律:人(a+b)=A.a+XbX(a~*+b^)=Xa->+Xb^；

运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则.

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注平行六面体法则：在平行六面体ABCD—A1B1C1D1ABCD—A1B1C1D1中，AC1一—AB-fAD

【例】已矢口空间四边形ABCDABCD中，AB—vaABf=a-*,CB——bCB-*=b^,AD——C

ADf=cf,则CD--CDf等于().

A.a+b—caf+bf-c-B.—a—b+c—a--—b^+c->C.—a+b+c—

a^+b-4-c->D.—a+b—c-a—+b——c-

解析CD--=CB-BA-rAD---=b-a+c=-a+b+cCD->=CB->+BA->+AD-*=b->

【练】化简(AB一一CD--HAC-—BD--)(AB--CDfHAC--BDf).

解析(AB-—CD-[-(AC-—BD-一)=AB——CD-—AC——BD-—AB——DC——CA—

—BD——O-(AB--CDfHACf-BD^)=AB^-CD-3Cf+BDf=ABf+DC—+CA—+BDf=0f.

共线向量

1如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向

量，aa—平行于bbf,记作a//ba—〃bf.

2共线向量定理：空间任意两个向量aa-,b(bWO)b-(b-^O-*),a//boaf

〃bf=>存在实数入，使a=入ba_*-=入b~*.

3三点共线：A、B、CA、B、C三点共线=AB->-=入AC—1■—AB-=入AC-；

4与aa—共线的单位向量为±a|a|±a^|a-|.

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【例】如图,在平行六面体ABCDY'B'CD'ABCD-A,BzCDz中，E,FE,F分别是BD,BC'

BD,BC'的中点，判断以下向量是否共线向量，若是，则判断是同向向量还是反向向量：①AB-7B

一与D，C'一—D'C'一；②AD-3D-与BC'--BC'-；③EF--EF—与C'D--C，D

f；④AD'-TXD'—与C'B--C'B-；

解析①AB-vD'C-T\B-=D'C'AB-YB—与D'C'一—D'C'—是同向向

量；②ADAD与BC'BC'是异面直线，AD—7D-与BC'-"BC'f不是共线向量；

③EF〃C'DEF〃C'D且EF=12C'DEF=12CZD,则EF—vT2C'D--EFf=T2C'Df,则EF-

一-EFf与C'D--C'D一是反向向量；

④AD'-v-C'B-YD'-=-C'B-,AD'--AD'—与C'B--C'B一是反向向量.

【练】已知向量aa->,bb->且AB—*-=a+2bAB->=a->+2b^,BC-*-=-5a+6bBC->

=-5a—+6b-,CD—--=7a-2bCDf=7af-2b-,则一定共线的三点为（）.

A.A,B,DA,B,DB.A,B,CA,B,CC.B,C,DB,C,DD.A,C,DA,C,D

解析因为BD-<BC——CD-—5a+6b+7a-2b=2a+4b=2AB--BD^=BC~*

+CD->=-5a->+6b->+7a-*-2b->=2a-*+4b-*=2AB->,

所以AB—YB—与BD--BD—共线，即A,B,DA,B,D三点共线.

共面向量

1定义

一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的.

2共面向量定理

如果两个向量aa-zbb-不共线，pp—与向量aa—,bb一共面的充要条件是存在唯

一实数对(x,y)(x,y),使p=xa+ybp->=xa^+yb^.

3四点共面

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方法1若要证明A、B、C、PA、B、C、P四点共面，只需要证明AP—、AB—二AC—YP-,AB

f,ACf共面，即AP—一xAB—一yAC--AP->=xABf+yAC—.

方法2若要证明A、B、C、PA、B、C、P四点共面，只需要证明OP-vxOA-ryOB-TZOC

^-OPf=xOAf+yOBf+zOCf(其中x+y+z=lx+y+z=l)

则OP一-=xOA一^-H-yOB一TZOC--=xOA一>-i-yOB一>H-(l-x-y)OC一>-OP->=xOA->+yOB->

+zOC->=xOA->+yOB->+(l-x-y)OC->

=0C->,-4-X(0A->―OC--)+y(OB-**-OC->-)=0C->—xCA-**fyCB-*-=OC_*+x(OA->-0C

f)+y(OBf-OC->)=OC->+xCA->+yCB-*,

・•・OP——OC—一xCA—.yCB一一二・OP—-OCf=xCA-+yCBf,CP—-xCA-fyCB-Y・

CPf=xCA一+yCBf,

即CP一百CA一、CB一一CP->,CA—,CB一共面，即A、B、C、PA、B、C、P四点共面.

【例】在下列条件中，使MM与A,B,CA,B,C一定共面的是()

A.0M—-0A一一0B一一0C--OMf=0A--OBf-OCfB.OM--=150A—-130B-

f—120C--0M—=150Af+130Bf+120Cf

C.MA—>TMB—,,H-MC—**-=0->MA_>+MB_>+MC_*=0_*D.OM->H-OA—*,H-OB—*,H-OC—

f-=0-OMf+0Af+0Bf+0Cf=C)f

解析在CC中，由MA-fMB-fMC―—OfMA-+MBf+MCf=0f,得MA一—-MB——

MC--MAf二-MB—HVICf,

贝I」MA-、MB-、MC—一MAf,MBf,MC—为共面向量，即M、A、B、CM、A、B、C四点共面；

对于AA,由OM--=0A-—OB-—OC--OM—=0A--0Bf-OCf,得1一1一1二一1£11一1

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不能得出M、A、B、CM、A、B、C四点共面;

对于BB,由OM—vl5OA——13OB——12OC--OMf=15OAf+13OBf+12OC-*,

得15+13+12^115+13+12^1,

所以M、A、B、CM、A、B、C四点不共面；

对于DD,由OM——bOA—>—OB——0C--=C)fOMf+OAf+OBf+OCf=C)f,得。M—••-=-

(OA——OB——OC-fOMf=-(OAf+OB—+OC->),

其系数和不为11,所以M、A、B、CM、A、B、C四点不共面.

故选：CC.

【练11下列说法中正确的是().

A.平面内的任意两个向量都共线B.空间的任意三个向量都不共面

C.空间的任意两个向量都共面D.空间的任意三个向量都共面

答案CC

【练2】。。为空间中任意一点，A,B,CA,B,C三点不共线，且OP—v340A—T180B--HOC-

--OP—=34OAf+180Bf+tOCf,若P,A,B,CP,A,B,C四点共面，则实数t=t=.

解析由题意得，OP—v34OA--F180B--HOC--OP—=34OA—+180B—+tOC-,

且P,A,B,CP,A,B,C四点共面，

34+18+t=l,34+18+t=l,，t=18/.t=18.

基本方法

【题型1】空间向量的线性运算

【典题1］在平行六面体ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1中，MM为A1C1A1C1与B1D1B1D1的

交点，若AB--=a,AD—,AA1-*-=cAB-*=a-*,AD-*=b-*,AAl-*=c-*,则与BM--BM

f相等的向量是()

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A.12a+12b+c12a->+12b_,,+c->B.-12a+12b+c-12a->+12b_*+c-*C.12a-

12b+c12a-*—12bf+cfD.T2aT2b+cT2afT2bf+cf

解析在平行六面体ABCD-A1B1C1D1ABCDY1B1C1D1中，MM为A1C1A1C1与B1D1B1D1的交点，

AB---=a,AD-*-=b,AA1-^-=cAB—=a—,ADf=b—,AAlf=cf,

；.BM——BB1-TBIM——AA1——12BD——AM——12(BA-TBC-M.BMf=BBL

+B1M-=AAl-*+12BD-=AAl->+12(BA-+BC-)

=T2AB—一12AD—一AA1一2a+12b+c=T2AB—+12AD—+AA1-=T2a—+12bf+c

故选：BB.

巩固练习

1.空间中任意四个点A,B,C,DA,B,C,D,则DA-rCD-—CB--DA—+CD—-CB—等于().

A.DB--DB—B.AC--ACfC.AB--AB—D.BA--BA-

2.已知三棱锥A—BCDA—BCD中，EE是BCBC的中点，贝UAE-T2(AC-TAD--)=AEfT2(AC

一+AD—)=()

A.BD--BD—B.DB--DB-C.12BD一T2BD—D.12DB-T2DB—

3.如图，在四面体ABCDABCD中，E,F,G,HE,F,G,H分另I」为AB,BC,CD,ACAB,BC,CD,AC的中点，则12(AB

—一BC——CD--)=12(AB-+BC-+CDf)=()

A.BF--BF-B.EH--EHfC.FG--FG-D.HG--HG-

4如图，在三棱锥S3BCS3BC中，点E,FE,F分别是SA,BCSA,BC的中点，点GG在棱EFEF上，且

满足EGGF=12EGGF=12,若SA-*=aSAf=af,SB—>=bSB->=b^,SC—*=cSCf=cf,贝USG—>

=SGf=()

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B

A.13aT2b+16c13a-T2b—+16c-B.13a+16b+16c13a-+16b-+l6c

一C.16aT3b+12c16a-—13bf+12c—D.13aT6b+12c13a-T6b-+12c-

9•9••参考答案

答案DD

解析DA-fCD一—CB一—(CD-rDA-T-CB-<CA一—CB-—BA--DA^+CD--CB-

=(CD—+DA—)-CB—=CA--CB—=BA—.

答案DD

解析如图，取CDCD中点FF,连结AFAF,EFEF,

Y三棱锥A-BCDA-BCD中,EE是BCBC的中点，

AE—T2(AC—-AD-]=AE-一AF一<FE一<12DB-T.AEfT2(ACf+AD—)=AE—-AF

-*=FE-*=12DB-*.

故选：DD.

答案DD

解析如图所示:

取ADAD的中点KK,由于12AB—一AE—T2ABf=AE—,12BC-vEH—T2BCf=EH—,

所以12(AB--FBC——CD--)=AE——EH——CG——HC——CG—一HG一T2(ABf+BCf

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+CDf)=AEf+EHf+CGf=HCf+CGf=HGf

故选：DD.

答案BB

解析因为SG-二SE-+EG——12sA—+13EF-—I2sA-+13(ES—+SC-+CF-3SGf=SEf

+EG-=12SA—+13EF-=12SA-+13(ES-+SCf+CF—),

=12SA-+16AS-+13SC-+16CB-V13sA一+13SC-+16(CS-+SB-)=12SA—+16AS—+13SC

f+16CBf=13SAf+13SCf+16(CS-*+SBf)

=13SA一+16SB一+16SC-=13a+16b+16c=13SA-*+16SB-*+16SC-*=13a^+16b^+16c-*.

故选:BB.

【题型2】空间向量共线问题

【典题1】对于空间任意一点00,以下条件可以判定点P,A,BP,A,B共线的是--------_(填序

号).

①0P-vOA——tAB一一(teR,tWO)OPf=0A—+tAB—(tGR,tW0)；②50P——OA-rAB-

-50Pf=0Af+ABf；

③OP一vOA-TAB--(tGR,tWO)OPf=0A-TABf(teR,tWO)；④OP—--OA--FAB-

-OP-=-0A—+AB-*.

解析对于①，：OP—vOA-rtAB--(tGR,tWO)：OP-=OA-+tABf(tGR,tWO),

，OP一—OA-TAB一~(tWO)，OP--0A-=tABf(tWO),，AP-TAB-~(tWO)，AP—=tAB

一(two)，

，.,.点P、A、BP、A、B共线，故①正确；

对于②，•••50P—v0A-rAB一一•.•50P—=0Af+AB-，.'.SOP——OB一—.•.50P—=0B-，；.

0P-\0B-—.'.OPf,0B一共线，

...P,O,B.•.P,O,B共线，点P,A,BP,A,B不一定共线,故②错误；

对于③，•.•OP—vOA——AB—-(tWO)：OPf=OAf+ABf(tWO),，OP——OA—YTAB--(t

WO).,.OP--0A—=fAB—(tWO),

.•.AP-TAB--(tWO)，AP—=fABf(tWO),AP-\AB一Y.AP-,AB一共线，.,.P,A,B.\

P,A,B共线，故③正确；

对于④，0P—•"-=-0A—>rAB—：OP—=-0Af+AB_>，，OP^*-=-OA—0B—>—OA—*-

，OP—=-OA-+OB--OA—,

OP-vVOA——OB-Y.OP—=-20A—+0B—,OP-—OB——20A一一OP—-OB-=-

第10页共54页

20A

.•.BP—v<OA—Y.BPf=eOAf,.•.BP,OA；.BP,OA平行或重合,

故BPQABPQA平行时，点P,A,BP,A,B不共线，故④错误.

故选：①③.

【典题2］如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1中，EE在A1D1A1D1上，且A1E一

—2ED1一一A1E-=2ED1—,FF在对角线A1CA1C上，且A1F——23FC--A1F—=23FC-.若AB—

-=a,AD-*-=b,AA1-*-=cABf=a—,ADf=bf,AAlf=c-.

(1)用a,b,ca—,b~*,Cf表示EB--EB-；(2)求证：E,F,BE,F,B三点共线.

解析(1)EB-vEAl——A1A——AB——23DA-—AA1——AB-<a-c-23bEB-

=EAl->+AlA->+AB->=23DA--AAl-+AB->=a->-c--23b->,

证明：(2)设AB—』，AD——b,AA1——cAB—=a—,ADf=bf,AA1—=c-,

•.,AlE—v2EDl一—:AlEf=2ED1—,A1F——23FC--A1F—=23FC-，,A1E-V23A1D1一

「A1F——25Ale一一AlEf=23AlDlf,AlFf=25AlCf,

，AlE—v23AD-v23b/.AlE->=23AD^=23b^,A1F——25(AC一一AA1--)=25(AB一一

+AD-—AA1--)=25a+25b-25cA1F—=25(AC--AA1—)=25(ABf+AD--AA-)=25a—+25bf

-25c

，EF-YAIF一一AIE-Y25a-415b-25c=25(a-23b-c)/.EF-*=AlF-*-AlE^

=25a--415b-*-25c-*=25(a-*-23b--c--),

又Y•.•由⑴知EB-va-c-23bEB—=a--cf-23b-,

...EF-v25EB-Y.EFf=25EBf,且有公共点EE,

，E,F,B，E,F,B三点共线.

9•?••巩固练习

1.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1,中,M,NM,N分别是C1D1C1D1,ABAB的

中点，EE在AA1AA1上且

AE=2EA1AE=2EA1,FF在CC1CC1上且CF=12FC1CF=12FC1,判断ME-f/IE—与NF-HMF一是否

共线？

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2.如图，四边形ABCDABCD和ABEFABEF都是平行四边形，且不共面，MM,NN分别

是ACAGBFBF的中点.判断CE--CEf与MN-HVINf是否共线.

??.参考答案

答案共线

解析由已知可得：ME——MD1一—FD1A1一—FA1E-HVIEf=MD1—+DlAlf+AlEf

=12BA—一CB——13A1A-v-NB——CB——13C1C——CN——FC-^12BA^+CB-

+13AlA-=-NB-+CB—+13cle-=CN-+FC-=FN—v-NF—vFN-=-NF-.

所以ME-Y-NF--ME-=-NFf,故ME-HVIE-与NF--NF—共线.

答案共线

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解析•.•M,N：M,N分别是ACAC,BFBF的中点,而四边形ABCDABCD,ABEFABEF都是平行四边形,

，MN——MA——AF—一FN——12cA—一AF--F12FB-MNf=MAf+AFf+FN-

=12CA-+AF—+12FB-.

又..'MN——MC——CE——EB-rBN——12cA——CE-—AF一—12FB一—；MNf=MC

f+CEf+EB—+BNf=T2CAf+CE—-AFfT2FB~*,

，12cA—一AF—T12FB——T2cA—一CE一一AF—T2FB-12CA-*+AF^+12FB^=-

12CA—+CE—-AF-T2FB—.

CE——CA--F2AF——FB-v2(MA-rAF-rFN--)=2MN-Y.CE—=CA—+2AF—+FB

f=2(MA-+AFf+FN—)=2MN-*,

，CE—-//MN—Y.CEf〃MNf,即CE--CEf与MN-HVIN一共线.

【题型3】空间向量共面问题

【典题11下面关于空间向量的说法正确的是（）.

A.若向量aa-,bb-*平行，则aa-*,bb—所在的直线平行

B.若向量aa—,bbf所在直线是异面直线，则aa->,bb-不共面

C.若A,B,C,DA,B,C,D四点不共面，则向量AB-,CD-YB-,CD-不共面

D.若A,B,C,DA,B,C,D四点不共面，则向量AB-、AC--；AD-T\B-,AC—,AD-不共面

解析可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面

的，故B,CB,C都不正确.注意向量平行与直线平行的区别，可知AA不正确，可用反证法证明DD是

正确的.

【典题2】如图所示，已知斜三棱柱ABC31B1C1ABCY1B1C1,点MM,NN分别

在AC1AC1和BCBC上，且满足AM-vkACl-YMf=kAClf,BN-—kBC--(04Q)BNf=kBC

一(04<L),判断向量MN--MN—是否与向量AB-,AA1--AB—,AAlf共面.

解析,?AN——AB——BN-vAB——k(AC-fB--)=(l-k)AB-rkAC-，:AN—=AB-

+BNf=AB—+k(AC--AB^)=(l-k)AB-*+kAC-.

AM—-=kACl—•"-=k(AAl——AC->-)AM->=kACl->=k(AAl-*+AC-*),MN->-=AN-―AM—>

〈(l-k)AB-—kAAl一一，MNf=ANf-AMf=(l-k)ABf-kAAL,

，向量MN-HVINf与向量AB-、AA1--ABf,AA1一共面.

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【典题3】如图所示，已知平行四边形ABCDABCD,从平面ACAC外一点00引向量0E一—kOA

->->->_->->

->-OE=kOA/OF->*-=kOB->-OF=kOB**,0G-**-=kOC-»-OG=kOC/0H->*-=kOD-**-OH

—=kODf,求证：

(1)四点E,F,G,HE,F,G,H共面；(2)平面AC〃AC〃平面EGEG.

证明⑴因为四边形ABCDABCD是平行四边形，

所以AC—,■-=AB——AD->—EG->-=0G->―0E--=kOC-»―kOA-*-=kAC->-=k(AB->—AD—

--JAC—=ABf+AD-,EG—=0Gf-0E—=kOC--kOA—=kAC—=k(AB—+AD—)=k(OB一一0A—rOD-

一一OA--)=0F一一OE--FOH一一OE一vEF-rEH-vk(0B--0A-+0Df-0A-)=0F--0E

—+0Hf-OEf=EFf+EHf.

所以E,F,G,HE,F,G,H共面.

(2)EF—一OF一一OE一vk(0B-—OA--)=kAB--EFf=0Ff-OE^=k(OB-*-OA^)=kAB^,

且由第⑴小题的证明中知EG-vkAC--EG—=kACf,

于是EF〃ABEF〃AB,EG〃ACEG〃AC.所以平面EG〃EG〃平面ACAC.

巩固练习

1.(多选)在以下命题中，不正确的命题有()

A.若aa-与bbf共线，bbf与ccf共线，则a与cc一共线

B.若a//baf〃bf,则存在唯一的实数人入，使a=、ba-=A.b->

C.对空间任意一点0。和不共线的三点A,B,CA,B,C,若OP——20A——20B-T0C-Y)P

一=2OA-+2OB—TOC-,则P,A,B,CP,A,B,C四点共面

D.若两个非零空间向量AB-\CD—>~ABf,CDf满足AB-("CD—>-=0-AB—+CDf=0-,

则AB--//CD--AB—〃CDf

2.对于空间任意一点00和不共线得三点A,B,CA,B,C,有如下关系：OP—vl6OA—rl3OB一

―120C--OP—=160A-+13OB-+12OCf,则()

A.四点O,A,B,CO,A,B,C必共面B.四点P,A,B,CP,A,B,C必共面

C.四点O,P,B,CO,P,B,C必共面D.五点O,P,A,B,CO,P,A,B,C必共面

3.已知三个向量a,b,ca-\bf,cf不共面，且p=a+b-cp—=a—+bf-c—,q

=2a-3b-5cq->=2a--3b-*-5c-*,r=-7a+18b+22cl=-7af+18bf+22cf.试问向

量p,q,rp~*,qf,r-*是否共面.

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4.已知E,F,G,HE,F,G,H分别是空间四边形ABCDABCD的边AB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DA的中点，用向

量法证明:E,F,G,HE,F,G,H四点共面.

参考答案

答案ABAB

解析当b=Ofbf=O--,满足aaf与bb—共线，bb—与cc—共线，而aaf与c

c->不一定共线，故AA错误；

当aaf与bb~*均为零向量时，能够保证a//ba-*//b-*,则存在无数多的实数人入，

使得a=Xba-=A.b—,故BB错误；

•.•OP—v2OA—r2OB—TOC—T