北京市顺义区2024-2025学年高三数学上学期期中试题

Page20Page20北京市顺义区2024-2025学年高三数学上学期期中试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由并集的定义干脆求解.【详解】，，∴.故选：C2.设，，，则（）A. B. C.5 D.【答案】B【解析】【详解】依据平面对量数量积坐标运算求解即可.【点睛】因为，，，所以.故选：B3.下列每组双曲线中渐近线都为是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】依次求出各双曲线的渐近线方程即可求解.【详解】因为双曲线的焦点在轴上，，，其渐近线方程为，且双曲线的焦点在轴上，，，其渐近线方程为，所以选项A正确；因为双曲线的焦点在轴上，，，其渐近线方程为，但双曲线的焦点在轴上，，，其渐近线方程为，所以选项B错误；因为双曲线的焦点在轴上，，，其渐近线方程为，但双曲线的焦点在轴上，，，其渐近线方程为，所以选项C错误；因为双曲线的焦点在轴上，，，其渐近线方程为，但双曲线的焦点在轴上，，其渐近线方程为，所以选项D错误.故选：A.4.抛物线的准线过双曲线的左焦点，则双曲线的虚轴长为（）A.8 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】先求出抛物线的准线，从而可得双曲线的，依据的关系可得答案.【详解】因为抛物线的准线为，所以由题意可知双曲线的左焦点为，因为，所以，所以双曲线的虚轴长为.故选：B5.给出三个等式：，，．下列函数中不满意任何一个等式的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】对于A，利用对数的运算法则检验即可；对于B，利用指数的运算法则检验即可；对于C，利用三角函数诱导公式检验即可；对于D，举反例逐一推断三个等式即可.【详解】对于A，因为，所以，故A不满意题意；对于B，因为，所以，故B不满意题意；对于C，因为，所以，故C不满意题意；对于D，因为，所以令，则，故；令，则，故；令，则，故；综上：不满意任何一个等式，故D满意题意.故选：D.6.已知和是两个相互垂直的单位向量，，则是和夹角为的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】依据向量公式表示出和夹角的余弦值，再探讨夹角为时的取值，最终依据充分条件和必要条件定义选出答案.【详解】，，，当时，，即和夹角为,故是和夹角为的充分不必要条件故选：A7.圆上的点到直线的距离为，点和在改变过程中，的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】设出点坐标，并利用点在圆上得出，依据点到直线距离公式表达出距离，利用协助角公式化简，进而得出的最小值.【详解】解：由题意，在圆中，圆心，半径，点到直线的距离为设，，，解得：在中，，其中，∴当时，d最小，.故选：C.8.在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，依据三点共线，即共线，可设，用表示出关系，即可解出结果.【详解】.设，则,又，且三点共线，则共线，即，使得，即，又不共线，则有，解得，所以，.故选：D.9.函数图象上存在两点，满意，则下列结论成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依据,在上,可得出,再根联立,得到的值,依据缩小的取值范围,进而代入求值即可.【详解】解:由题知,,均在上,,,,故有:,两等式联立有,解得,,,,,综上选项B正确.故选:B10.已知曲线，则下列说法正确的有几个（）（1）关于原点对称；（2）只有两条对称轴；（3）曲线上点到原点最大距离是1；（4）曲线所围成图形的总面积小于；A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】对于（1）（2），代入即可推断曲线的对称状况；对于（3），利用基本不等式与两点距离公式的几何意义即可推断；对于（4），利用（3）中的结论简单推断.【详解】对于（1），不妨设点在曲线上，则也在该曲线上，所以曲线关于原点对称，故（1）正确；对于（2），易知也都在该曲线上，所以曲线关于轴、轴、对称，故（2）错误；对于（3），因为，所以，即，所以曲线上点到原点最大距离是1，故（3）正确；对于（4），由（3）得，曲线所围成的图形落在圆内，且明显是圆内的部分图形，而圆的面积为，所以曲线所围成图形的总面积小于，故（4）正确；综上：（1）（3）（4）正确，（2）错误，故说法正确的有3个.故选：C.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.，，若，则______．【答案】1【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示和同角三角函数基本关系式进行求解.【详解】由题意，得，则.故答案为：1.12.如图，正六边形的边长为1，______．【答案】-1【解析】【分析】由正六边形性质，结合向量线性运算及数量积运算即可【详解】由正六边形性质，，.故答案为：-1.13.若是奇函数，则有序实数对可以是______．（写出你认为正确的一组数即可）．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】首先依据正弦函数和差角公式将原式化简整理，然后依据奇函数的定义得到参数，应当满意的条件，按等式关系选取答案即可.【详解】已知，，若是奇函数，则即可，可以取，.故答案为：（答案不唯一）14.若函数满意存在使有两个不同的零点，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】画出函数的图象，视察图象即可得到答案.【详解】如图所示，画出函数的图象.结合图象可知，故答案为：.15.已知圆和定点，动点在圆上，为中点，为坐标原点．则下面说法正确的是______．①点到原点的最大距离是4；②若是等腰三角形，则其周长为10；③点的轨迹是一个圆；④的最大值是．【答案】②③④【解析】【分析】利用求轨迹方程的方法求出点的轨迹，再依据点和圆的位置关系确定点到原点的最大距离，再依据几何关系确定的周长，利用余弦定理结合基本不等式得到即可求出的最大值.【详解】设由中点坐标公式得,所以,因为在圆上,所以,即,即,所以点的轨迹是一个圆,方程为,是以为圆心,为半径的圆,所以点到原点的最大距离是,故①错误；因为，所以,若为等腰三角形，若,则,此时三点共线，不满意题意，若,则,满意题意，所以的周长等于，故②正确；由以上过程可知的轨迹是一个圆,方程为,所以③正确；设，当时，，不是最大角，不为时，中，,当且仅当,即时取得等号，所以，故④正确.故答案为：②③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数．（1）求函数的单调增区间；（2）若在上的值域为，求值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由诱导公式、二倍角公式和两角差的正弦公式，化简函数为一个角的三角函数形式，然后结合正弦函数的性质求解；（2）求出的范围，结合正弦函数的性质可求值．【小问1详解】解：已知增区间为：所以，函数的单调增区间为.【小问2详解】解：已知，，即，因为，值域为，.17.设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有（1）求角的大小；（2）从下列条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使唯一确定，并求的面积．条件①：边上的高为；条件②：，；条件③：，．【答案】（1）（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）留意到已知等式右边为，可得.（2）若选择①，结合（1）只能求得b.若选择②，结合（1）和正弦定理，可求得.若选择③，结合（1）和正，余弦定理，可求得b，c.【小问1详解】由题，因.则，因A为三角形内角，所以A.【小问2详解】若选择①，设边上的高为，则，得.因题目条件不足，故无法唯一确定.若选择②，由正弦定理及（1），有.因，又题目条件不足，故无法推断B为钝角还是锐角，则无法唯一确定.若选择③，由正弦定理，及，则又由余弦定理及（1），有，得，.此时唯一确定，.综上选择③时，唯一确定，此时的面积为18.椭圆．（1）点是椭圆上随意一点，求点与点两点之间距离的最大值和最小值；（2）和分别为椭圆的右顶点和上顶点．为椭圆上第三象限点．直线与轴交于点，直线与轴交于点．求．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）设，，计算得到，依据二次函数的性质得到最值.（2）过点作轴于，过点作轴于，设，利用相像计算得到答案.【小问1详解】设，，则，，当时，，当时，.【小问2详解】如图所示：过点作轴于，过点作轴于，设，19.已知椭圆的焦点在轴上，且经过点，左顶点为，右焦点为．（1）求椭圆的离心率和的面积；（2）已知直线与椭圆交于A，B两点．过点作直线的垂线，垂足为．推断直线是否经过定点?若存在，求出这个定点；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）直线经过定点，理由见详解.【解析】【分析】（1）由椭圆经过点，代入椭圆方程求得，结合，解得的值，进而求得离心率和的面积；（2）由直线与椭圆交于A，B两点，则说明斜率存在，所以分，，进行探讨找出直线过得点.【小问1详解】由题意，椭圆经过点，可得，解得，即椭圆，因为，即，所以椭圆的离心率为，又由左顶点为，右焦点为，所以，所以的面积为【小问2详解】由直线与椭圆交于A，B两点所以当时，直线为与椭圆交于A，B两点由解得：令，此时所以所以直线即，令所以直线是经过定点同理若，则令所以直线是经过定点当时，由直线与椭圆交于A，B两点设联立方程组，整理得，则，所以设点，所以的方程为，令，可得，所以直线经过定点，综上可得，直线经过定点.20.已知是函数的一个极值点．（1）求值；（2）推断的单调性；（3）是否存在实数，使得关于的不等式的解集为?干脆写出的取值范围．【答案】（1）（2）函数在上单调递增，在上单调递减.（3）存在，【解析】【分析】（1）求导得到导函数，依据计算得到答案.（2）求导得到，依据导数的正负得到单调区间.（3）先证明，，计算得到，且，得到答案.【小问1详解】，则，，解得.，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.故是函数的极大值点，满意.【小问2详解】，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.【小问3详解】，当，易知，，故.故，满意条件.当时，设，故，故，即，当时，设，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；故，故.，即可以无限接近.综上所述：.【点睛】本题考查了依据极值点求参数，利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算实力，转化实力和综合应用实力，其中放缩的思想是解题的关键.21.已知有限数列A：，，…，（且）各项均为整数，且满意对随意，3，…，N成立．记．（1）若，，求能取到的最大值；（2）若，求证：；（3）若（这里是数列的项数），求证：数列A中存在使得．【答案】（1）33（2）证明见详解（3）证明见详解【解析】【分析】（1）依据题意结合累加法和等差数列求和运算求解；（2）依据（1）中结论，结合数的奇偶性分析证明；（3）令，依据题意利用反证法证明.【小问1详解】∵，则或，设，即，当时，则，故，若能取到最大值，则，此时，若，，则能取到的最大值为.【小问2详解】若，则由（1）可得：，记满意中的i依次为，则，∵均为整数，则为偶数，为奇数，∴为奇数，故.小问3详解】记，则有限数列B：