2025版新教材高考数学全程一轮总复习第二章函数与基本初等函数第一节函数的概念及其表示学生用书

第一节函数的概念及其表示【课标标准】1.了解构成函数的要素，会求一些简洁函数的定义域.2.在实际情境中，会依据不同的须要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简洁的分段函数，并能简洁应用．必备学问·夯实双基学问梳理1.函数的概念一般地，设A，B是非空的________，假如对于集合A中的________一个数x，依据某种确定的对应关系f，在集合B中都有________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的三要素(1)函数的三要素：________、________和________．(2)两个函数只有当________和________分别相同时，这两个函数才相同．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析式法、列表法、图象法．4．分段函数在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数．[常用结论]1．常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)零次幂的底数不能为0.(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}．(7)y＝tanx的定义域为{xx≠2．分段函数虽由几部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．夯实双基1.思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线．()(2)直线x＝1与函数y＝f(x)的图象的交点最多有两个．()(3)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．()2．(教材改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是()3．(教材改编)下列函数f(x)与g(x)是同一个函数的是()A．f(x)＝x－1，g(x)＝x2B．f(x)＝x2，g(x)＝(x)4C．f(x)＝x2，g(x)＝3D．f(x)＝x，g(x)＝x4．(易错)函数y＝xln(2－x)的定义域为()A．(0，2)B．[0，2)C．(0，1]D．[0，2]5．(易错)已知函数f(x)＝2x，x>0，x+1，x≤0关键实力·题型突破题型一函数的定义域例1(1)[2024·河南信阳月考]函数y＝lnx+1A．(－4，－1)B．(－4，1)C．(－1，1)D．(－1，1](2)[2024·河北衡水中学模拟]若y＝f(x)的定义域为(0，2]，则函数g(x)＝f2xx-A．(0，1]B．[0，1)C．(0，1)∪题后师说求函数定义域的策略巩固训练1(1)函数f(x)＝x+4+A．[－4，＋∞)B．[－4，－3)∪C．(－4，＋∞)D．(－3，＋∞)(2)[2024·商丘模拟]已知函数f(x＋2)的定义域为(－3，4)，则函数g(x)＝fxA．13，4B．13题型二函数的解析式例2(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式．(2)已知f(x)是一次函数，并且f(f(x))＝4x＋3，求f(x)．(3)函数f(x)满意方程2f(x)＋f1x＝2x，x∈R且x≠0.求f(x题后师说求函数解析式的方法巩固训练2(1)已知f1+xx＝x2+1x2A．(x＋1)2(x≠1)B．(x－1)2(x≠1)C．x2－x＋1(x≠1)D．x2＋x＋1(x≠1)(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________．(3)若f(x)对于随意实数x恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，则f(x)＝________．题型三分段函数例3(1)[2024·山东潍坊模拟]设函数f(x)＝x-3，A．10B．9C．7D．6(2)已知函数f(x)＝1x+1，x>-1-2x-题后师说分段函数问题的求解策略巩固训练3(1)[2024·黑龙江哈尔滨模拟]已知函数f(x)＝x+1，x≤0A．0B．1C．1100(2)设函数f(x)＝12x-1x≥01x专题突破❶函数的值域方法一分别参数法例1(1)函数f(x)＝2xx+1A．(－∞，－1)∪1C．(－∞，2)∪(2)函数f(x)＝2x-A．-∞B．-∞C．-∞D．-∞(3)函数y＝x2(4)函数f(x)＝2x方法二配方法例2(1)函数y＝1-(2)函数f(x)＝-2方法三换元法例3(1)函数y＝2x－x-A．-∞，-C．158，(2)函数y＝2x－1－1-方法四单调性法例4(1)函数f(x)＝2x-4＋x2－(2)函数y＝3-方法五基本不等式法例5(1)函数f(x)＝x＋9x(x(2)函数y＝x2+2x+3x第一节函数的概念及其表示必备学问·夯实双基学问梳理1．实数集随意唯一确定2．(1)定义域对应关系值域(2)定义域对应关系夯实双基1．(1)×(2)×(3)×(4)×2．解析：A中函数的定义域不是[－2，2]，C中图象不表示函数，D中函数的值域不是[0，2].故选B.答案：B3．解析：在A中，f(x)定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，∴f(x)与g(x)不是同一函数；在B中，f(x)定义域为R，g(x)定义域为{x|x≥0}，定义域不同，∴f(x)与g(x)不是同一函数；在C中，f(x)与g(x)定义域与对应关系都相同，∴f(x)与g(x)是同一函数；在D中，f(x)与g(x)定义域都是R，但对应关系不同，∴f(x)与g(x)不是同一函数．故选C.答案：C4．解析：由题意知，x≥0且2－x>0，解得0≤x＜2，故其定义域是[0，2)．故选B.答案：B5．解析：∵f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＝－f(1)＝－2，当a>0时，2a＝－2，∴a＝－1(舍去)，当a≤0时，a＋1＝－2，∴a＝－3.答案：－3关键实力·题型突破例1解析：(1)由题意得x+1>0解得x>故选C.(2)由y＝f(x)的定义域为(0，2]，令0＜解得0＜x＜1，∴函数g(x)＝f2x故选D.答案：(1)C(2)D巩固训练1解析：(1)因为f(x)＝x+4+x+4≥0x+3≠0，解得所以函数f(x)＝x+4+1x+3故选B.(2)因为函数f(x＋2)的定义域为(－3，4)，所以f(x)的定义域为(－1，6)．又因为3x－1>0，即x>13，所以函数g(x)的定义域为1故选C.答案：(1)B(2)C例2解析：(1)设u＝x＋1，则x＝u－1(u≥1)．∴f(u)＝(u－1)2＋2(u－1)＝u2－1(u≥1)．即f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.∴a2=4，ab+b=3故所求的函数为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.(3)(构造法)∵2f(x)＋f1x＝2x将x换成1x，则1x换成得2f1x＋f(x)＝2由①②消去f1x，得3f(x)＝4x－2∴f(x)＝43x－23x(x∈R且巩固训练2解析：(1)f1+xx＝x2+1x2+1x＝x+1x2－x+1x＋1.令x+1x＝t(t即f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．故选C.(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，∴2a=1，a+b=∴f(x)＝12x2－32(3)对∀x∈R恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，①所以有3f(－x)－2f(x)＝－5x＋1，②由①②解得f(x)＝x＋1.答案：(1)C(2)12x2－32x＋2(3)例3解析：(1)因为f(x)＝x-则f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(13))＝f(10)＝7.故选C.(2)①当a>－1即a＋1>0时，f(a)＝1a+1则f1a+1＝a+1a+2＝0⇒②当a≤－1即a＋1≤0时，f(a)＝－2a－6.(ⅰ)当－2a－6≤－1，即当－52≤a≤－1时，有f(－2a－6)＝－2(－2a－6)－6＝0⇒a＝－3(ⅱ)当－2a－6>－1时，即a<－52时，有f(－2a－6)＝1-2a-综上，a＝－32答案：(1)C(2)－3巩固训练3解析：(1)因为f(x)＝x+1，所以f1100＝1所以ff1100＝f故选D.(2)由题意知，f(a)＝a，当a≥0时，有12a－1＝a，解得a当a<0时，有1a＝a，解得a＝1(舍去)或a所以实数a的值是a＝－1.答案：(1)D(2)－1专题突破❶函数的值域例1解析：(1)f(x)＝2xx+1＝2x+1-2x+1＝2－2x+1，从而可知函数f故选C.(2)依题意，f(x)＝2x-33x+1＝2x+23-1133x+1＝233x+1-1133x+1＝2故选D.(3)y＝x2-3x2因为x2＋1≥1，所以4x2+1∈0所以y＝x2-3(4)f(x)＝2x-1由2x>0⇒2x＋1>1⇒0<12x+1<1⇒－2<－22x+1<0⇒－1<1－答案：(1)C(2)D(3)[－3，1)(4)(－1，1)例2解析：(1)由题意得－x2＋x＋2≠0，∴x≠－1且x≠2.因为－x2＋x＋2＝－x-122＋94≤所以原函数的值域为(－∞，0)∪4(2)因为-2x2+x+3＝-2答案：(1)(－∞，0)∪49例3解析：(1)函数的定义域是{x|x≥1}，令x-1＝t，则t∈[0，＋∞)，x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2t2－t＋2＝2t-因为t≥0，所以y≥158故选D.(2)令1-2x＝t≥0，则2x＝1－t2，所以y＝－t2－t＝-t+122＋14.又t≥0，所以y答案：(1)D(2)(－∞，0]例4解析：(1)f(x)＝2x-4+x-122＋34，由2x－4≥0，得x≥2，因为f(x(2)因