2025届高考数学一轮复习作业随机事件的概率新人教B版

PAGEPAGE1随机事务的概率一、选择题1．同时抛掷两枚匀称的骰子，事务“都不是5点且不是6点”的对立事务为()A．一个是5点，另一个是6点B．一个是5点，另一个是4点C．至少有一个是5点或6点D．至多有一个是5点或6点C[设两枚骰子分别为甲、乙，则其点数的可能值包括以下四种可能：甲是5点且乙是6点，甲是5点且乙不是6点，甲不是5点且乙是6点，甲不是5点且乙不是6点，事务“都不是5点且不是6点”为第四种状况，故其对立事务是前三种状况．]2．一商店有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、激励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.05，中二等奖的概率为0.16，中激励奖的概率为0.40，则不中奖的概率为()A．0.55B．0.39C．0.68D．0.61B[中奖的概率为0.05＋0.16＋0.40＝0.61，中奖与不中奖互为对立事务，所以不中奖的概率为1－0.61＝0.39．]3．某地区居民血型的分布为O型49%，A型19%，B型25%，AB型7%．已知同种血型的人可以相互输血，O型血的人可以给任何一种血型的人输血，AB型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能相互输血．现有一血型为A型的病人须要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为()A．19%B．26%C．68%D．75%C[该地区居民血型的分布为O型49%，A型19%，B型25%，AB型7%，能为A型的病人输血的有O型和A型，所以能为该病人输血的概率为49%＋19%＝68%，故选C．]4．从1,2,3,4,5中任取两个数，下列事务中是互斥事务但不是对立事务的是()A．至少有一个是奇数和两个都是奇数B．至少有一个是奇数和两个都是偶数C．至少有一个奇数和至少一个偶数D．恰有一个偶数和没有偶数D[对于A，至少有一个是奇数和两个都是奇数，两个事务有重复，所以不是互斥事务，所以A错误；对于B，至少有一个是奇数和两个都是偶数，两个事务互斥，且为对立事务，所以B错误；对于C，至少有一个奇数和至少一个偶数，两个事务有重复，所以不是互斥事务，所以C错误；对于D，恰有一个偶数和没有偶数，为互斥事务，且还有一种可能为两个都是偶数，所以两个事务互斥且不对立，所以D正确．综上可知，故选D．]5．掷一个骰子的试验，事务A表示“出现小于5的偶数点”，事务B表示“出现小于5的点数”，若eq\x\to(B)表示B的对立事务，则一次试验中，事务A∪eq\x\to(B)发生的概率为()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(5,6)C[掷一个骰子的试验有6种可能结果．依题意P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，∴P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)．∵eq\x\to(B)表示“出现5点或6点”的事务，因此事务A与eq\x\to(B)互斥，从而P(A∪eq\x\to(B))＝P(A)＋P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)．]二、填空题6．我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：年降水量(mm)(100,150)(150,200)(200,250)(250,300)概率0.210.160.130.12则年降水量在(200,300)(mm)范围内的概率是．0．25[设年降水量在(200,300)，(200,250)，(250,300)的事务分别为A，B，C，则A＝B∪C，且B，C为互斥事务，所以P(A)＝P(B)＋P(C)＝0.13＋0.12＝0.25．]7．管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上标记后放回池塘．10天后，又从池塘内捞出100条鱼，其中有标记的有2条．依据以上数据可以估计该池塘内共有条鱼．1500[由题意可得：从池塘内捞出100条鱼，其中有标记的有2条，所以池塘中有标记的鱼的概率为：eq\f(2,100)＝eq\f(1,50)，又因为池塘内具有标记的鱼一共有30条，所以可以估计该池塘内共有eq\f(30,\f(1,50))＝30×50＝1500条鱼．]8．某城市2024年的空气质量状况如下表所示：污染指数T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为稍微污染，则该城市2024年空气质量达到良或优的概率为．eq\f(3,5)[由题意可知2024年空气质量达到良或优的概率为P＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5)．]三、解答题9．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的状况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．商品顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)假如顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？[解](1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为eq\f(200,1000)＝0.2．(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为eq\f(100＋200,1000)＝0.3．(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为eq\f(200,1000)＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为eq\f(100＋200＋300,1000)＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为eq\f(100,1000)＝0.1．所以，假如顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．10．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．[解](1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应的概率为p＝eq\f(44,100)＝0.44．(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1．同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B1)＜P(B2)，∴乙应选择L2．1．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．依据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为()A．0.09B．0.20C．0.25D．0.45D[设[25,30)上的频率为x，由全部矩形面积之和为1，即x＋(0.02＋0.04＋0.03＋0.06)×5＝1，得[25,30)上的频率为0.25．所以产品为二等品的概率为0.04×5＋0.25＝0.45．]2．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采纳随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4)D．eq\f(2,3)C[20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为eq\f(5,20)＝eq\f(1,4)，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为eq\f(1,4)．]3．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数01234≥5概率0.10.160.30.30.10.04(1)至多2人排队等候的概率为；(2)至少3人排队等候的概率为．(1)0.56(2)0.44[记“无人排队等候”为事务A，“1人排队等候”为事务B，“2人排队等候”为事务C，“3人排队等候”为事务D，“4人排队等候”为事务E，“5人及5人以上排队等候”为事务F，则事务A，B，C，D，E，F彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事务G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．(2)法一：(利用互斥事务求概率)记“至少3人排队等候”为事务H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44．法二：(利用对立事务求概率)记“至少3人排队等候”为事务H，则其对立事务为事务G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44．]1．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地随意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为eq\f(7,15)，取得两个绿球的概率为eq\f(1,15)，则取得两个同颜色的球的概率为；至少取得一个红球的概率为．eq\f(8,15)eq\f(14,15)[由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事务，取得两个同色球，只需两互斥事务有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P＝eq\f(7,15)＋eq\f(1,15)＝eq\f(8,15)．由于事务A“至少取得一个红球”与事务B“取得两个绿球”是对立事务，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15)．]2．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5．已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160．(1)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率eq\f(1,20)eq\f(4,20)eq\f(2,20)(2)假定今年6月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．[解](1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个