江苏省海安市2024-2025学年高一数学上学期学业质量监测试卷

Page9江苏省海安市2024-2025学年高一数学上学期学业质量监测试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已如集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C2.已知为角终边上一点，则（）A. B.1 C.2 D.3【答案】B3.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A4.图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面.已知某测绘爱好小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬）在某地利用一表高为的圭表按图1方式放置后，测得日影长为，则该地的纬度约为北纬（）（参考数据：，）A. B. C. D.【答案】B5.若，的终边（均不在y轴上）关于x轴对称，则（）A. B.C. D.【答案】A6.设P为函数图象上一点，O为坐标原点，则的最小值为（）A.2 B. C. D.【答案】D7.，，，则（）A. B. C. D.【答案】B8.函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设，则（）A. B. C. D.【答案】BD10.下图是某厂实施“节能减碳”措施前后，总产量y与时间x（月）的函数图象，则该厂（）A.前3个月的月产量逐月增加 B.第5月的月产量比第4个月少C.第6月月产量与第5个月持平 D.第3个月结束后起先减产，直至停产【答案】ACD11.已知且.下列选项中，满意为定值（与a，x的取值均无关）的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】ABC12.已知函数的图象在区间上是一条连绵不断的曲线，则下列结论正确的是（）A.若，则内至少有一个零点B.若，则在内没有零点C.若在内没有零点，则必有D.若在内有唯一零点，，则在上是单调函数【答案】AC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.的值为______.【答案】1114.写出一个同时具有下列性质①②的函数______.（注：不是常数函数）①；②.【答案】15.某工厂生产的产品中有正品和次品，其中正品重/个，次品重/个.现有10袋产品（每袋装100个），其中1袋装的全为次品，其余9袋装的全为正品.将这10袋产品从1～10编号，从第i号袋中取出i个产品，则共抽出______个产品；将取出的产品一起称重，称出其重量，则次品袋的编号为______.【答案】①.55②.816.若正数a，b满意，则的最大值为______.【答案】##0.25四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2），【小问1】时，集合，．；【小问2】若“”是“”的充分不必要条件，则，集合，，解得，实数的取值范围是，．18.已知函数的图象时两条相邻对称轴之间的距离为，将的图象向右平移个单位后，所得函数的图象关于y轴对称.（1）求函数的解析式；（2）若，求值.【答案】（1）（2）【小问1】由题意可知，，即，所以，，将的图象向右平移个单位得，因为的图象关于轴对称，所以，，所以，，因为，所以，所以；【小问2】，所以，，，所以．19.设函数.（1）若函数的图象C过点，直线与图象C交于A，B两点，且，求a，b；（2）当，时，依据定义证明函数在区间上单调递增.【答案】（1），（2）证明见解析【小问1】由题意得，，设，，由题意得，即的两根为或，所以，所以，整理得，，解得，或（舍；故，；小问2】证明：当，时，，设，则，，，所以，所以在区间，上单调递增．20.为宣扬2024年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣扬栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣扬栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上全部水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.（1）当时，求海报纸的面积；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可运用纸量最少（即矩形的面积最小）？【答案】（1）（2）当海报纸宽为，长为，可运用纸量最少．【小问1】宣扬栏（图中阴影部分）的面积之和为，直角梯形的高为，则梯形长的底边，海报上全部水平方向和竖直方向的留空宽度均为，，，故海报面积为．【小问2】直角梯形的高为，宣扬栏（图中阴影部分）的面积之和为，，海报上全部水平方向和竖直方向的留空宽度均为，海报宽，海报长，故，当且仅当，即，故当海报纸宽为，长为，可运用纸量最少．21.已知函数（，且）.（1）求的值，并证明不是奇函数；（2）若，其中e是自然对数的底数，证明：存在不为0的零点，并求.注：设x为实数，表示不超过x的最大整数.参考数据：，，，.【答案】（1），证明见解析（2）证明见解析，【小问1】证明：，，，，不是奇函数；【小问2】，，（5），（5），存在不为0的零点．22.已知函数，，.（1）若函数与的图象的一个交点的横坐标为2，求a；（2）若，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【小问1】依据