必修第二册教案第六章平面向量及其应用

第六章平面向量及其应用

课时6.2.3平面向量的运算(03)向量的数量积

本节目标

1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.

2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念.

3.会用向量的数量积判定两个平面向量的垂直关系，以及解决夹角、模等问题.

题型分组

基础过关练

题组一向量的数量积

1.已知平面向量a,b的夹角为g,|a|=3,|b|=2,则(a+b>(a-2b)的值为()

A.-2B.1-3V3C.4D.3V3+1

2.若ei,e2是夹角为料单位向量，且a=2ei+e2,b=-3ei+2e2,则a-b=()

77

A.lB.-4C.--D.-

22

3.已知向量a,b,c和实数儿则下列各式一定正确的是.(填序号)

□a-b=b•a;□(Xa)-b=a,(Xb);□(a+b)•c=a•c+b•c;□(a,b)c=a(b-c).

4.如图，在□ABC中，已知AB=2,AC=6,1BAC=60。,点D,E分别在边AB,AC上，且方=2而，m=5标.

⑴若点F为DE的中点，用向量荏和照表示前；

(2)在(1)的条件下,求瓦?•丽的值.

题组二向量的投影向量

5.已知|a|=6,|b|=3,a-b=-12,e是与b同向的单位向量,则向量a在向量b上的投影向量是()

A.-4eB.4eC.-2eD.2e

6.已知|a|=l,|b|=2,a与b的夹角为60注是与a同向的单位向量，则a+b在a上的投影向量为()

A.eB.2eC.—eD.—e

77

7.设ei,e2为单位向量，且ei,e2的夹角为:，若a=ei+3e2,b=2ei,e是与b同向的单位向量,则向量a在向量b

上的投影向量为.

题组三向量的模

8.已知向量a与b的夹角为60。,闾=2,向=2,则|a+b|等于（）

A.2V3B.2

C.2V2D.4

9.（已知向量a,b的夹角为60。,且同=1,3利=夜,则|划=.

10.在DABC中,AB=1,AC=夜,口：6人©=45。,]\1为BC的中点.

⑴试用希，照表示询；

（2）求前的长.

题组四向量的夹角

11.已知向量a,b满足|a|=l,|b|=2,a・b=l,那么向量a,b的夹角为（)

A.30°B.60°C.120°D.150°

12.已知向量a,b满足a=5,b|=4,b-a=d^l,则a与b的夹角0=（)

A.150°B.120°C.60°D.30°

13.已知间=3,b|=4,向量a+^b与a-^b的夹角为

44()

A.0°B.90°C.30°D.180°

14.如图，在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=3,E为边CD的中点，而=［两，若族•丽=-3,则

cos□DAB=.

DEC

A;R

题组五向量的垂直

15.已知非零向量a,b互相垂直,则下列结论正确的是（）

A.|a|=|b|B.a+b=a-b

C.|a+b=|a-b|D.(a+b)(a-b)=0

16.已知四边形ABCD满足AB=OC,aC-BD=0,则四边形ABCD为（）

A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形

17.已知DABC中，屈2=荏.北+瓦^近+褊.而，则DABC是（）

A.等边三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.钝角三角形

18.已知向量a,b的夹角为60。,间=1,也|=2,若（a+2b）口（xa-b）,则实数x的值为.

能力提升练

题组一向量的投影向量

1.已知a,b是单位向量，且|a+b|=&|a-b|,向量e是与a+b同向的单位向量,则向量a在a+b上的投影向量

为()

2.已知向量a,b满足|a|=l,aDb,向量e是与联同向的单位向量,则向量a-2b在向量a上的投影向量为

()

AV7cC2近

A.eB.—eC.-eD.——e

77

3.已知a,b满足|a|=2/b|=W,ei,e2分别是与a,b同向的单位向量，且a在b上的投影向量的模与b在a上

的投影向量的模相等，则|a-b|=()

A.lB.2C.V7D.7

题组二向量的夹角和模长

4.已知向量彳瓦而，而满足前=屈+而,0面=2」而|=1,E,F分别是线段BC,CD的中点，若赤•酢=[,则向

4

量而与诟的夹角为()

A,-B.-C.—D.—

6336

5.已知向量a,b满足冏=同=1,且其夹角为0,则是“0□&寸的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.侈选)若a,b,c均为单位向量，且a-b=O,(a-c>(b-c)WO,则|a+b-c|的值可能为()

A.V2-1B.lC.V2D.2

7.已知DABC中，同口近话-亚|=2,点M是线段BC（含端点）上一点，且俞•（荏+尼尸1,则|的取值

范围是（）

A.(O,1]D.61]

题组三向量数量积的综合应用

8.已知O为平面上的定点,A,B,C是平面上不共线的三点，若（赤-反）•（布+而尸0,则UABC是

（）

A.以AB为底边的等腰三角形

B.以BC为底边的等腰三角形

C.以AB为斜边的直角三角形

D.以BC为斜边的直角三角形

9.若a,b是非零向量，且adbja用b1,则函数f（x）=（xa+b）-（xb-a）是（）

A.一次函数且是奇函数B.一次函数但不是奇函数

C.二次函数且是偶函数D.二次函数但不是偶函数

10.在四边形ABCD中,AD[]BC,AB=2,AD=5,BC=3,I2]A=6O。,点E在线段CB的延长线上，且AE=BE,点

M在边CD所在直线上，则獭•荻的最大值为（）

B.-24D.-30

11.已知O是DABC所在平面上的一个定点，动点P满足而卓生+乂温%+焉力何。，+8），则动

点P的轨迹一定通过DABC的（）

A.重心B.垂心C.外心D.内心

12.如图,DABC的边BC的垂直平分线交AC于点P,交BC于点Q,若|荏|=3,|而|=5,则（而+而）-（荏-正）

的值为.

13.如图，在口ABC中,CA=1,CB=2,口ACB=60。.

⑴求丽;

（2）已知点D是AB上一点，满足标=示，点E是边CB上一点，满足露=而？.

□当九=|吐求获•丽；

口是否存在非零实数尢使得荏口而?若存在，求出X的值;若不存在,请说明理由.

c

答案全解全析

基础过关练

l.Ca-b=|a|-|b|cos^=3x2x1)=_3,□(a+b),(a-2b)=a2-a-b-2b2=32-(-3)-2><22=4,C.

_TT17

2.C由已知，得eie=|ei||e21cosj,□a・b=(2ei+e2>(-3ei+2e2尸-6|ei|2+2|e2F+eie=-5,故选C.

3.答案□□□

解析由平面向量的交换律可知□正确;由平面向量的运算律知□正确;由平面向量的分配律可知□正

确;令m=a・b,n=b,c,贝!J(a,b)c=mc,a(b・c)=na,a,c均为任意向量，所以(a・b)c=a(b・c)不一定成立，故□错误.

4.解析⑴丽=丽+而=,彳里历

=-|IB+|(XE-XD)

咛网(匹萍)

—>1—>1—>—>

⑵EF=|E*曲砌,

DAB=2ADAC=5AE,

UEF^-AB--AC.

410

^AB^AB-AC

112

=__X4+_X2X6XCOS60r

5.A设向量a与b的夹角为仇则cos贝品二悬二|，则向量a在b上的投影向量为|a|cos0

e=6x（-|）e=-4e.

6.B由题意，得（a+b>a=a2+b，a=l+2xlx1=2.设向量a+b与向量a的夹角为则向量a+b在向量a上的

投影向量为|a+b|cos9e-（°；；）"e=2e,故选B.

7.答案je

解析依题意得同|=咫|=1,且ere2=|ei||e2|cos转，所以a・b=（ei+3e2>2ei=21+6ei，e2=5,所以向量a在向

量b上的投影向量为间cos〈a,b>e=需e=|e.

8.A由题意，得a-b=|a|-|b|cos600=2x2x,=2,贝！J|a+b|=Va2+2。力+b?=74+4+4=2百.故选A.

9.答案3

解析口向量a,b的夹角为60°,|a|=l,|2a-b|=V7,

□(2a-b)2=4a2-4a-b+b2=4xl2-4x1x|b|xcos60°+|b|2=4-2|b|+|b|2=7,

BP|b|2-2|b|-3=0,

解得回=3或|b|=-l(不合题意，舍去),

□|b|=3.

10.解析（1）」M为BC的中点,

DBM=-~BC.

2

---->--->---->--->1--->

DAM=AB+BM=AB+-BC

2

=AB+^(AC^AB)

=|(71B+XC).

⑵由(1)得前|2=；(荏+照)2

4

=^(AB2+AC2+2AB-AC)

=J[l2+(V2)2+2x1xV2xcos45°]

5

q

口丽=今

11.B设向量a,b的夹角为。,

由间=l/b|=2,a-b=l,

又0”旺180°,

所以9=60。.故选B.

12.B由,闷=竭,得b2-2a-b+a2=16-2a-b+25=61,所以a-b=-10,所以cos。=7^=4=』,所以。=120°,故

5x42

选B.

13.B(a+於)(*於)=间2*b|2=32*x42=0,

所以向量a+-b与a--b垂直，即其夹角为90。,故选B.

44

14.答案

O

解析□方=1襦，□/=1而，

□'BF=BA+AF=^AB+-AD.

3

□AE=AD+DE=AD+-AB,

QAE~BF=(AD++|AD)

=^AD2--ABAD--AB2

332

27i

=-x32—x4x3xcosQDAB—x42

332

=3

□cos□DAB

8

15.C对于A选项,|a|=|b|,与a,b互相垂直无关,A错误；

对于B选项,a+b=a-b1Zb=0,与b为非零向量矛盾,B错误；

对于C选项,|a+b|=|a-b|D(a+b)2=(a-b)2|Zla，b=0Ela[Zb,C正确；

对于D选项,(a+b>(a-b)=0da2=b2□间=|b|口/aDb,D错误.

16.C□荏=尻,口|荏|=|反且屈口反，□四边形ABCD是平行四边形.

口箱丽=0,口前□丽，即ACDBD,

□平行四边形的对角线互相垂直，

□四边形ABCD为菱形.故选C.

17.C由桥-荏♦！?=瓦?•玩+Z%函

得荏(AB^AC)=BC•(瓦5-刀)，

即荏•瓜前•画

UABBC+BCBC=O,

□前・港+而)=0,

□□ABC是直角三角形，故选C.

18.答案3

解析由题意可得a-b=l><2xcos60°=l,a2=l,b2=4,

所以(a+2b)・(xa-b尸xa2+(2x-l)a・b-2b2=0,即x+(2x-l)-8=0,解得x=3.

能力提升练

1.C□|a+b|=V2|a-b|,

□(a+b)2=2(a-b)2,

□6a-b=a2+b2=|a|2+|b|2=2,

□a-b=i,

3，

□la+bl^Ca+b)2=Va2+2a-b+b2

=/1+2xi+1=—.

\33

设a与a+b的夹角为0,

则a在a+b上的投影向量为|a|cos0e=

1*1」\(a二+b\\a+b\M3

3

2.A设。为向量a-2b与向量a的夹角，则向量a-2b在向量a上的投影向量为|a-2b|cos9e.

cos

又A，\a-言2b\-\a：\-\1a"-2b\-\a\1\a:-2b\故|a-2bleos0e=|a-2b|-\-a^-2—b\e=e.

3.C设a与b的夹角为仇由题意可得,||a|cos0e2|=||b|cos0e”,即2|cos0|=V3|cos0|,Ccos。=0,又

en［o,7i］,

口8=^即aDb,D|a-b|=^22+(遍)2=夕.故选C.

4.B设向量荏与标的夹角为e.依题意知,四边形ABCD为平行四边形，所以同=反，而=就，所以

BF=BC+CF=AD--AB,DE=DC+CE=AB--AD,因此

22

前.屁=(而弓荏)•(而J而)=，屈.而彳荏2_|而2=］荏.而qx22-1xl2=|荏.历一|=1,所以

荏•前=1,又荏•丽=|福•丽|cos0=2cos0=1,因此cos0=1，又。口［0,兀］，所以0q.故选B.

5.C若贝！J|a-bF=（a-b）2=a2-2a・b+b2=2-2cos0>l,Dcos9<1,

又□()或兀，吗〈把兀，即又出叶

若9□管;n],则-iScos0<1,

□|a-b|2=(a-b)2=a2-2a-b+b2=2-2cos仇口1〈|2上已4,即l<|a-b|<2,

□|a-b|>l.

故是“0口尊寸的充要条件•故选C

6.AB因为a,b,c均为单位向量，且ab=0,(a-c)-(b-c)<0,

所以ab-c(a+b)+c2<0,

所以c(a+b)>l,

所以|a+b-c|=7(a+b-c)2

=Va2+h2+c2+2a-b-2a-c-2b-c

=y/3—2c-(a+6)<A/3—2=1,

结合选项可知,A、B正确.

7.D如图，□布□照,|四-而|=2,口四边形ABDC是矩形，其中通=同+彳?.□前•(荏+就)=1,□根据平

面向量数量积的几何意义，知点M在AD上的投影为点N,且AN=|.因为矩形ABDC的对角线长恒为

2,点N也恒定，所以变化的是对角线BC与AD的夹角，因此，点M在C到CO的中点之间运动(其中O

为两对角线的交点)，此时AM的长从1(此时点M与点C重合)变化到«此时点M趋向于CO的中点),

但3取不到，而1能取到，故|前|口(|,1|.

8.BJOB-OC=CB^OB+OC-2OA=（OB-OA）+（OC-OA）=AB+AC,

□（OB-OC）-（0B+0C-20A）=CB-（AB+AC）=（AB-AC）-（AB+AC）=0,即同2一前2=。,口存日前卜又ABC三

点不共线,DDABC是以BC为底边的等腰三角形.故选B.

9.Af(x)=(xa+b>(xb-a尸(a，b)x2+(|bFTa|2)x-a-b,由a口b,得a-b=O,所以f(x)=(|b闻aF)x.由于|a国b|,所以

向2-间2知,即f(x)=(|b|2-|a|2)x是一次函数，显然也是奇函数.

10.A□□A=60o,AD[lBC,点E在线段CB的延长线上，

□DABE=60°,XAE=BE,

□DABE为边长为2的等边三角形，

□□EAD=120°,CE=5,CE□AD,

□四边形AECD为平行四边形，口比=族.

设丽=1比4口氏

则俞=而+丽=诟+沆=>+1福

M£=AE-AM=AE-AD-tAE=(1-t)AE-AD,

□AMMF=(AD+tAE)-[(l-t)X£-AD]

=-AD2+(t-t2)AE2+(1-2t)AD-AE

=-25+4(t-t2)+(l-2t)x5x2xcos120°

=-4t2+i4t-30

\474

□当tM时，前•砒有最大值，最大值为二.

44

11.C设BC的中点为D,则丝产