概率论与数理统计（慕课版第2版）课件 第1章 第3讲 概率的公理化定义与运算性质

概率论与数理统计第3讲概率的公理化定义与运算性质第1章随机事件与概率01概率的公理化定义02概率的运算性质本讲内容历史上概率的三次定义③公理化定义②统计定义①古典定义概率的最初定义.基于频率的定义.1933年由苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出.

研究随机现象，我们不仅要关心会出现哪些事件，更关心这些事件出现的可能性大小，所谓事件的概率就是度量事件出现可能性大小的数值.3概率的公理化定义什么是概率？01

概率论的公理化定义通过规定概率应具备的基本性质来定义4历史上概率的三次定义📝古典定义不足：仅适用于等可能概型.📝统计定义概率的统计定义:在大量重复试验中，若事件A

发生的频率稳定在某一常数p的周围，件A发生的概率，并记不足：不精确不严格不便使用.📝公理化定义概率.01

概率论的公理化定义则称该常数p为事5📝概率的公式化定义（1）非负性（2）规范性

设随机试验E

的样本空间为S，若对E

的每一事件A

都有一个实数P(A)与之对应，并且满足下列三条公理，则称P(A)为事件A的概率.对每一个事件A，有01

概率论的公理化定义它给出了概率所必须满足的最基本的性质，为建立严格的概率理论提供了一个坚实的基础.601

概率论的公理化定义有（3）可列可加性对任意个两两互不相容事件.01概率的公理化定义02概率的运算性质本讲内容8概率的运算性质三条公理（1）非负性（2）规范性基本性质（3）可列可加性加法公式.对任意个两两互不相容事件02

概率的运算性质有9加法公式若事件A,B互斥，则，若事件A1,A2,⋯,An

两两互斥，则，📝性质102

概率的运算性质

对任一事件A，有

如果正面计算事件

A的概率不容易，而计算其对立事件的概率较易时，可以使用性质2.ＡA10逆事件公式📝性质2📢注02

概率的运算性质设Ａ、B是两个事件，若,则有11减法公式📝性质302

概率的运算性质📢注对任意两个事件A,B,有AB对任意两个事件A、B，有再由性质3得证.12广义加法公式📝性质402

概率的运算性质右端共有项.13推广：一般：02

概率的运算性质

设有50件产品，其中有3件不合格品，从中任取4件，求至少有一件不合格品的概率.📚例114解法1设A表示至少有一件不合格品，Ai

表示恰好有i件不合格品，则：性质102

概率的运算性质

15解法2因为

表示全是合格品，则性质2计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件的概率较易时，可以利用性质2.02

概率的运算性质

某班级有k(k≤365)个人，求k

个人的生日均不相同的概率.求“至少有两人同生日”的概率.恰有k

个盒子中各有一球16（“分房模型”的应用）02

概率的运算性质📚例2对某高校学生移动支付使用情况进行调查，使用支付宝的用户占45%，使用微信支付的用户占35%，同时使用两种移动支付的占10%.求至少使用一种移动支付的概率和只使用一种移动支付的概率.📚例317解记“使用支付宝”为事件A，“使用微信支付”为事件B，而“只使用一种移动支付”可表示为且易知则“至少使用一种移动支付”可以示为A∪B，02

概率的运算性质18至少使用一种移动支付的概率：只使用一种移动支付的概率：02

概率的运算性质📚例4A,B是两个事件，已知19解求而因此02

概率的运算性质📚例520解则事件A,B,C都不发生的概率为?02

概率的运算性质21📚例6设(1)若A,B互斥，则则(2)若02

概率的运算性质因为A,B互不相容,所以.22📚例7若A,B为任意两个事件，则（）解02

概率的运算性质

2302

概率的运算性质📚例8设A与B互为对立事件，判断以下等式是否成并说明理由.解

2402

概率的运算性质

2502

概率的运算性质从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？下面的算法错在哪里？错在同样的“4只配成两双”算了两次.97321456810从5双中取1双，从剩下的8只中取2只📚例92602

概率的运算性质从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？97321456810正确答案请思考：还有其它解法吗？📚例9

2702

概率的运算性质📚例10解或

2802

概率的运算性质

📚例11解

2902

概率的运算性质

由P(A)=0.6，P(B)=0.7

知AB≠φ，（否则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.3>1）从而由加法定理得P(AB)=P(A)+P(B)－P(A∪B)📚例12解

设A，B是两事件且P(A)=0.6，P(B)=0.7.问（1）在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？3002

概率的运算性质（1）由0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即A∩B时，P(AB)取到最大值，最大值为P(AB)=P(A)=0.6，（2）当A∪B=S时，P(AB)取最小值，最小值为

P(AB)=0.6+0.7－1=0.3.3102

概率的运算性质📚例13(1)只订A报的；(2)只订A与B报的；(3)只订一种报的；

某城市有A,B,C三种报纸.在居民中,订A报的占45%,订B报的占35%,订C报的占30%,同时订A与B报的占10%,同时订A与C报的占8%,同时订B与C报的占5%,同时订A,B与C报的占3%,求下列概率：

3202

概率的运算性质(4)恰好订两种报的；(5)至少订一