概率论与数理统计（慕课版第2版） 教案 张天德 第5、6章 统计量及其分布、参数估计

概率论与数理统计教学教案第5章统计量及其分布授课序号01教学基本指标教学课题第5章第1节总体、样本及统计量课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本矩及样本方差的概念教学难点统计量、样本均值、样本矩及样本方差参考教材作业布置课后习题大纲要求理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本矩及样本方差的概念。教学基本内容一．总体与样本1．总体与个体：把研究对象的全体称为总体，构成总体的每个成员称为个体.2．有限总体与无限总体：若总体中的个体数是有限的，此总体称为有限总体；否则称为无限总体.3．样本容量：在相同的条件下从总体中随机地抽取n个个体，记为，我们将称为来自总体X的一个样本，n称为样本容量.4.简单随机样本：若样本QUOTE与所考察的总体具有相同的分布，且QUOTE相互独立，则称为来自总体X的容量为n的简单随机样本，简称样本.5．若QUOTE为来自总体X的一个样本，则的分布函数为.6．若总体X为离散型随机变量，其分布律为PX=xi=p(xi)，QUOTEx.7．若总体X为连续型随机变量，其概率密度为，则样本的概率密度为.二．统计量1．统计量：设为取自某总体的样本，若样本函数中不含有任何未知参数，则称T为统计量.统计量的分布称为抽样分布.2．几个常见统计量：设是总体X的样本，常用的统计量有（1）样本均值：；（2）样本方差：；（3）样本标准差：；（4）样本k阶（原点）矩：；（5）样本k阶中心矩：.3．性质：设总体X具有二阶矩，即,为来自总体X的样本，和分别是样本均值与样本方差，则（1）（2）（3）.三．例题讲解例1．从某班级的英语期末考试成绩中，随机抽取10名同学的成绩，分别为：100，85，70，65，90，95，63，50，77，86.求样本均值，样本方差及二阶原点矩.例2．设总体为来自该总体的简单随机样本,为样本均值，求.

授课序号02教学基本指标教学课题第5章第2节抽样分布课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点分布、分布和分布的概念及性质、分位数的概念并会查表、正态总体的某些常用抽样分布。教学难点分布、分布和分布的性质，正态总体某些常用抽样分布参考教材作业布置课后习题大纲要求1．了解分布、分布和分布的概念及性质，了解分位数的概念并会查表计算。2．了解正态总体的某些常用抽样分布。教学基本内容一．抽样分布1.χ2（1）设是来自标准正态总体N(0,1)的样本，则称统计量服从自由度为n的χ2分布，记为.（2）χ2(n)分布的概率密度为（3）设则有，.（4）若且X与Y独立，则.2.t分布（1）设X~N(0,1),Y~χ2(n)，且X与Y相互独立，则称随机变量服从自由度为n的T分布，记为T~t(n).t（2）t分布的概率密度为.3.F分布（1）设U~χ2(n1),V~χ2(n2（2）分布的概率密度为.（3）若F~F(n1,4.上侧α分位数（点）（1）设有随机变量X,对给定的α0<α<1,若存在实数xα满足P{X>xα}=α（2）标准正态分布、自由度为n的卡方分布、自由度为n的t分布、自由度为的F分布的上侧α分位数分别记为uα、、、，图像如下图所示.即有（1）X~N(0,1)，则（2），则；（3），则；（4），则.四大抽样分布的上侧α分位数（5）性质（i）由标准正态分布和t分布的对称性有：u1−α=−u（ii）由F分布的定义可以得到：.（iii）由于n比较大时t分布近似N（0,1），一般的，当时，有.二．正态总体的抽样分布1．来自单一正态总体N(μ,σ定理：设是来自正态总体N(μ,σ2)的一个样本，（1），即；（2）；（3）.2．来自两个正态总体N(μ1,定理：设与分别是来自两个相互独立的正态总体N(μ1,σ12)和N(（1）；（2）；（3）当σ12=σ2例5.4，分别为来自X和Y的样本，例5.5设QUOTEX1,X2,⋯,X15例5.6某公司生产瓶装洗洁精，规定每瓶装500毫升，但是在实际罐装的过程中，总会出现一定的误差，误差要求控制在一定范围内.假定灌装量的方差σ²=1，如果每箱装25瓶这样的洗洁精，试问25瓶洗洁精的平均灌装量和标准值500毫升相差不超过0.3毫升的概率是多少？例5.7设总体X服从正态分布N(72，100)，为使样本均值大于70的概率不小于90%，则样本容量应取多少?例5.8在设计导弹发射装置时,重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差.对于一类导弹发射装置,弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布N(μ,σ2)，这里100平方米，现在进行了21次发射试验，用表示这21次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差，试估计不超过170.85平方米的概率.概率论与数理统计教学教案第6章参数估计授课序号01教学基本指标教学课题第6章第1节点估计课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点点估计、估计量与估计值的概念、估计量的无偏性、有效性和一致性的概念、、估计量的相合性、矩估计法（一阶、二阶距）和最大似然估计法。教学难点矩估计法（一阶、二阶距）和最大似然估计法。参考教材作业布置课后习题大纲要求1．理解参数的点估计、估计量与估计值的概念；了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性；会利用大数定律证明估计量的相合性。2．掌握矩估计法（一阶、二阶距）和最大似然估计法。教学基本内容一．矩估计法1.矩估计法的基本思想是替换原理，即用样本矩去替换相应的总体矩，这里的矩可以是原点矩也可以是中心距。我们知道，矩是由随机变量的分布唯一确定的，而样本来源于总体，由大数定律，样本矩在一定程度上反映总体矩的特征。2．矩估计法：用样本矩来估计总体矩的估计方法称为矩估计法.3．矩估计法的步骤：设总体X的分布中包含m个未知参数1，2，…，m，为来自总体X的样本，如果总体的k阶原点矩存在，并设，相应的k阶样本原点矩为，以替代，即可得到关于1，2，…，m的方程组 方程组的解，称为参数k的矩估计量.4．若代入一组样本观测值，则称为参数k的矩估计值.二．最大似然估计法 1．最大似然估计的步骤： 若总体X的分布中含有k个未知待估参数1，2，…，k，则似然函数为解似然方程组，或者对数似然方程组，即可得到参数的最大似然估计。2．定理：若为参数的最大似然估计，为参数的函数，则是的最大似然估计.三．点估计的评价标准1.无偏性：设是未知参数的估计量，若，则称为的无偏估计。2.有效性：设均为参数的无偏估计量，若则称有效。3.相合性（一致性）：设为未知参数的估计量，若对任意的，都有，即依概率收敛于参数，则称为的相合（一致）估计。4.定理：设为的估计量，若,则为的相合（一致）估计.四．例题讲解例1．设X为某零配件供应商每周的发货批次，其分布律为其中是未知参数，假设收集了该供应商8周的发货批次如下：3，1，3，0，3，1，2，3，求的矩估计值.例2．设某种钛金属制品的技术指标为X其概率密度为其中未知参数，为来自总体X的简单随机样本，求的矩估计量.例3．已知某种金属板的厚度X在(a,b)上服从均匀分布，其中a,b未知，设抽查了n片金属板，厚度分别为，试用矩估计法估计a,b.例4．设袋中放有很多的白球和黑球，已知两种球的比例为1:9，但不知道哪种颜色的球多，现从中有放回地抽取三次，每次一球，发现前两次为黑球，第三次为白球，试判断哪种颜色的球多。例5．求出例2中未知参数的最大似然估计量.例6．，其中是未知参数，设是样本观测值，求的最大似然估计.例7．设某工厂生产的手机屏幕分为不同的等级，其中一级品率为p，如果从生产线上抽取了20件产品，发现其中有3件为一级品，求：（1）p的最大似然估计；（2）接着再抽5件产品都不是一级品的概率的最大似然估计.例8．设样本来自正态总体XN(，2)，其中，2未知，求和2的最大似然估计。例9．设总体X的k阶矩存在，证明:不论X服从什么分布，样本的k阶矩是的无偏估计。例10．已知，都是总体方差的估计量，问哪个估计量更好？例11．设总体的概率密度为，其中是未知参数,为来自总体X的简单样本，选择适当常数c，使得是的无偏估计.例12．设某种产品的寿命X服从指数分布，其概率密度为，其中为未知参数，是来自总体的样本，设有的估计量，，问哪一个最优？例13．设是总体X的样本均值，则当作为总体期望E(X)的估计量时，是E(X)的相合估计量。例14．试证明是的相合估计量.授课序号02教学基本指标教学课题第6章第2节区间估计课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点置信区间、区间估计、单个正态总体的均值和方差的置信区间、两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。教学难点置信区间、区间估计、单个正态总体的均值和方差的置信区间、两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。参考教材作业布置课后习题大纲要求1．掌握建立未知参数的（双侧和单侧）置信区间的一般方法；2．了解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。教学基本内容一．区间估计的概念1．置信区间：设为总体的未知参数，若对于给定的（0<<1），存在统计量和，使得,则称随机区间为参数的置信度（或置信水平）为1-的置信区间，分别称为置信下限和置信上限。 2．枢轴量:称满足下述三条性质的量Q为枢轴量.（1）是待估参数和估计量的函数；（2）不含其他未知参数；（3）其分布已知且与未知参数无关。3．求置信区间的一般步骤:（1）根据待估参数构造枢轴量Q,一般可由未知参数的良好估计量改造得到；（2）对于给定的置信度1-，利用枢轴量Q的分位点确定常数a，b，使；（3）将不等式恒等变形为，即可得到参数的置信度为1-的置信区间.二．正态总体参数的区间估计1.单个正态总体的情形：设总体，是取自总体的样本(1)已知，均值的置信区间：的置信度为的置信区间为.(2)未知，均值的置信区间：的置信度为的置信区间为.(3)已知，方差的置信区间：的置信度为的置信区间为.(4)未知，方差的置信区间：的置信度为的置信区间为.2.两个正态总体的情形：设总体，总体，与独立，样本来自总体，样本来自.(1)，已知，均值差的置信区间：的置信度为1-的置信区间为.(2)，未知，但，均值差的置信区间：的置信度为1-的置信区间为.(3)，未知，方差比的置信区间：的置信度为1-的置信区间为.以上关于正态总体参数的区间估计的讨论可以列表1和表2如下：表1单个正态总体参数的区间估计表待估参数条件枢轴量置信区间s2已知s2未知2m已知m未知表6.2两个正态总体参数的区间估计表待估参数条件枢轴量置信区间已知未知，但其中已知未知三．单侧置信区间1．单侧置信区间：设为总体的未知参数，对于给定的（0<<1），若存在统计量，使得,则称随机区间为参数的置信度为1-的单侧置信区间，称为单侧置信下限；若存在统计量，使得,则称随机区间为参数的置信度为1-的单侧置信区间，称为单侧置信上限。2．单侧置信区间的求法：单侧置信区间的求法与双侧置信区间相同，例如，设X1，…，Xn来自正态总体XN(，2)，其中2已知，未知,利用枢轴量，如下图，构造即恒等变形则可得的置信度为1-的单侧置信下限为.四．例题讲解例1．设X1，…，Xn为来自正态总体XN(，2)，其中2已知，未知,试求出的置信度为1-的置信区间。例2．某工厂生产一种特殊的发动机套筒，假设套筒直径X（mm）服从正态分布，现从某天的产品中随机抽取40件,测得直径的样本均值为5.426（mm），求m的置信度为0.95的置信区间.例3．为估计某种汉堡的脂肪含量，随机抽取了10个这种汉堡，测得脂肪含量（%）如下：25.2，21.3，22.8，17.0，29.8，21.0，25.5，16.0，20.9，19.5.假设该种汉堡的脂肪含量（%）服从正态分布，求平均脂肪含量m的置信度为0.95的置信区间.例4．已知某种钢丝的折断力服从正态分布，从一批钢丝中任意抽取了10根，测得折断力数据（单位：k