素养提升24⇒动量观点在电磁感应中的应用

动量观点在电磁感应中的应用题型一动量定理在电磁感应中的应用若导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动，当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时常用动量定理求解。单棒模型情景示例1水平放置的平行光滑导轨，间距为L，左侧接有电阻R，导体棒初速度为v0，质量为m，电阻不计，匀强磁场的磁感应强度为B，导轨足够长且电阻不计，从开始运动至停下来求电荷量q－BILΔt＝0－mv0，q＝IΔt，q＝m求位移x－B2L2vRΔt＝0－mv0，x＝应用技巧初、末速度已知的变加速运动，在用动量定理列出的式子中q＝IΔt，x＝vΔt；若已知q或x也可求末速度情景示例2间距为L的光滑平行导轨倾斜放置，倾角为θ，由静止释放质量为m、接入电路的阻值为R的导体棒，当通过横截面的电荷量为q或下滑位移为x时，速度达到v求运动时间－BILΔt＋mgsinθ·Δt＝mv－0，q＝IΔt，－B2L2vRΔt＋mgsinθ·Δt＝mv－0，应用技巧用动量定理求时间需有其他恒力参与。若已知运动时间，也可求q、x、v中的任意一个物理量【例1】（2023·重庆高考7题）如图所示，与水平面夹角为θ的绝缘斜面上固定有光滑U形金属导轨。质量为m、电阻不可忽略的导体杆MN沿导轨向下运动，以大小为v的速度进入方向垂直于导轨平面向下的匀强磁场区域，在磁场中运动一段时间t后，速度大小变为2v。运动过程中杆与导轨垂直并接触良好，导轨的电阻忽略不计，重力加速度为g。杆在磁场中运动的此段时间内（）A.流过杆的感应电流方向从N到MB.杆沿轨道下滑的距离为32C.流过杆感应电流的平均电功率等于重力的平均功率D.杆所受安培力的冲量大小为mgtsinθ－mv答案：D解析：根据右手定则，判断知流过杆的感应电流方向从M到N，故A错误。依题意，设杆切割磁感线的有效长度为L，电阻为R；杆在磁场中运动的此段时间内，杆受到重力、轨道支持力及沿轨道向上的安培力作用，根据牛顿第二定律可得mgsinθ－F安＝ma，F安＝BIL，I＝BLvR，联立可得杆的加速度a＝gsinθ－B2L2vmR，可知，杆在磁场中运动的此段时间内做加速度逐渐减小的加速运动；若杆做匀加速直线运动，则杆运动的距离为s＝v+2v2·t＝32vt，根据v－t图像围成的面积表示位移，可知杆在时间t内速度由v达到2v，杆真实运动的距离大于匀加速过程运动的距离，即大于32vt，故B错误。由于在磁场中运动的此段时间内，杆做加速度逐渐减小的加速运动，杆的动能增大。由动能定理可知，重力对杆所做的功大于杆克服安培力所做的功，根据P＝Wt可得安培力的平均功率小于重力的平均功率，也即流过杆的感应电流的平均电功率小于重力的平均功率，故C错误。杆在磁场中运动的此段时间内，根据动量定理，可得mgtsinθ－I安＝m·2v－mv，双棒模型【例2】（多选）如图所示，两根光滑足够长且电阻不计的平行金属导轨MNPQ和M1N1P1Q1，固定在绝缘水平面上，MN与M1N1距离为2l，PQ与P1Q1距离为l。金属棒a和b的质量分别为2m和m、长度分别为2l与l，金属棒a、b分别垂直放在导轨MN、M1N1和PQ，P1Q1上，静止在导轨上。整个装置处于竖直向下的、磁感强度为B的匀强磁场中。现金属棒a获得水平向右的初速度v0，两棒运动时始终保持平行且金属棒a总在MNM1N1上运动，金属棒b总在PQP1Q1上运动，经过足够长时间后，下列说法正确的是（）A.流过金属棒a的电荷量是2B.金属棒a和b均做加速度相同的匀加速直线运动C.金属棒a和b均做速度相等的匀速直线运动D.回路中感应电动势为零解析：AD因金属棒a向右运动，其受安培力向左，则金属棒a做减速运动，金属棒b受安培力向右做加速运动，则经过一段时间后，两棒稳定时均做匀速运动，此时回路的感应电流为零，感应电动势为零，则B·2lva＝Blvb，即2va＝vb，选项C错误，D正确；根据a＝BILm，则aa＝BI·2l2m，ab＝BIlm，所以aa＝ab，金属棒a做匀减速直线运动，金属棒b做匀加速直线运动，两者加速度大小相同，选项B错误；对金属棒a，由动量定理得－BI·2lΔt＝2mva－2mv0，对金属棒b，由动量定理得BI·lΔt＝mvb，解得q＝IΔ【例3】（2023·湖南高考14题）如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为L，两导轨及其所构成的平面均与水平面成θ角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现将质量均为m的金属棒a、b垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为R。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g。（1）先保持棒b静止，将棒a由静止释放，求棒a匀速运动时的速度大小v0；（2）在（1）问中，当棒a匀速运动时，再将棒b由静止释放，求释放瞬间棒b的加速度大小a0；（3）在（2）问中，从棒b释放瞬间开始计时，经过时间t0，两棒恰好达到相同的速度v，求速度v的大小，以及时间t0内棒a相对于棒b运动的距离Δx的大小。答案：（1）2mgRsinθB2L2（2）2gsinθ（3）解析：（1）棒a匀速运动时，对棒a分析，由平衡条件有mgsinθ＝BI1L由法拉第电磁感应定律有E1＝BLv0由欧姆定律有I1＝E联立解得v0＝2mgR（2）当棒a匀速运动时，释放棒b，由右手定则及左手定则可知，棒b受到沿导轨向下的安培力，则释放棒b的瞬间，对棒b，由牛顿第二定律有mgsinθ＋BI1L＝ma0又BI1L＝mgsinθ解得a0＝2gsinθ。（3）释放棒b后，由于棒b中产生的感应电动势对于回路来说，与棒a中产生的感应电动势方向相反，所以两棒所受安培力均减小，对棒a，由动量定理有（mgsinθ－F）t0＝mv－mv0对棒b，由动量定理有（mgsinθ＋F）t0＝mv结合（1）问结果联立解得v＝gt0sinθ＋mgR设棒a速度为vi时产生的感应电动势为Ea，则Ea＝BLvi同理设棒b速度为vj时产生的感应电动势为Eb，则Eb＝BLvj棒中电流为I＝Ei－两棒所受安培力的大小均为F＝BIL＝B对棒b，由动量定理有mgsinθ＋B2L对方程两侧求和，即Σmgsinθ＋B2L2又ΣΔt＝t0，Σ（vi－vj）Δt＝Δx，ΣΔv＝v解得Δx＝2m题型二动量守恒定律在电磁感应中的应用1.在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它们不受摩擦力，且受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律解题比较方便。2.双棒模型（不计摩擦力）双棒无外力双棒有外力示意图F为恒力双棒无外力双棒有外力动力学观点导体棒1受安培力的作用做加速度减小的减速运动，导体棒2受安培力的作用做加速度减小的加速运动，最后两棒以相同的速度做匀速直线运动导体棒1做加速度逐渐减小的加速运动，导体棒2做加速度逐渐增大的加速运动，最终两棒以相同的加速度做匀加速直线运动动量观点系统动量守恒系统动量不守恒能量观点棒1动能的减少量＝棒2动能的增加量＋焦耳热外力做的功＝棒1的动能＋棒2的动能＋焦耳热【例4】（多选）（2023·辽宁高考10题）如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为d和2d，处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。已知导体棒MN的电阻为R、长度为d，导体棒PQ的电阻为2R、长度为2d，PQ的质量是MN的2倍。初始时刻两棒静止，两棒中点之间连接一压缩量为L的轻质绝缘弹簧。释放弹簧，两棒在各自磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内。整个过程中两棒保持与导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计。下列说法正确的是（）A.弹簧伸展过程中，回路中产生顺时针方向的电流B.PQ速率为v时，MN所受安培力大小为4C.整个运动过程中，MN与PQ的路程之比为2∶1D.整个运动过程中，通过MN的电荷量为BLd答案：AC解析：弹簧伸展过程中，根据右手定则可知，回路中产生顺时针方向的电流，选项A正确；任意时刻，设电流为I，则PQ受安培力FPQ＝BI·2d，方向向左，MN受安培力FMN＝2BId，方向向右，可知两棒系统受合外力为零，动量守恒，设PQ质量为2m，则MN质量为m，PQ速率为v时，则2mv＝mv'，解得v'＝2v，回路的感应电流I＝2Bdv'＋B·2dv3R＝2BdvR，MN所受安培力大小为FMN＝2BId＝4B2d2vR，选项B错误；因为v'＝2v，两棒运动时间相同，故xMNxPQ＝21，选项C正确；两棒最后停止时，弹簧处于原长位置，此时两棒间距增加了L，由上述分析可知，MN向左位置移动2【例5】（2024·河南三门峡模拟）如图所示，两平行光滑金属直轨道MN、M'N'位于同一水平面上，两轨道之间的距离L＝0.50m，NN'端与两条位于竖直面内的半圆形光滑金属轨道NP、N'P'平滑连接，两半圆轨道的半径均为R＝0.50m，其中两金属轨道的电阻不计。直轨道的右侧虚线区域有竖直向下、磁感应强度B＝0.5T的匀强磁场，且其右边界与NN'重合。质量为m＝0.2kg、长度为d＝0.5m的金属棒ab以某一初速度v0水平向右进入磁场。磁场中原来静止一个与ab完全相同的导体棒cd，两棒在磁场中始终未相撞，且cd出磁场前，两棒已经共速。cd出磁场后恰好能沿轨道通过半圆形轨道的最高点PP'，求：（g＝10m/s2）（1）ab棒的初速度大小v0；（2）从ab棒进入磁场到两者共速的过程中，通过导体棒横截面的电荷量q；（3）从ab棒进入磁场到两者共速的过程中，导体棒cd上产生的热量Q。答案：（1）10m/s（2）4C（3）2.5J解析：（1）根据题意可知，由于cd棒恰好经过圆周轨道最高点，由牛顿第二定律有F向＝mg＝m解得v＝gR＝5m/s根据机械能守恒定律，cd棒从出磁场到最高点有2mgR＝12mv共2－解得v共＝5m/s根据动量守恒定律，ab和cd两棒组成的系统在磁场中满足动量守恒，则mv0＝2mv共解得v0＝10m/s。（2）对cd棒由动量定理有BILt＝mv共－0即BqL＝mv共解得q＝4C。（3）对两导体棒及导轨组成的回路，由能量守恒定律有12mv02＝12×2m解得Q总＝12mv02－12×2由于导轨不计电阻，两金属棒完全相同，则有Q＝12Q总＝2.5J跟踪训练·巩固提升1.绝缘水平面上放置两个互相平行的足够长的金属导轨，间距为d，电阻不计，其左端连接一阻值为R的电阻。导轨处于方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。质量为m、长度为d、阻值为R与导轨接触良好的导体棒MN以速度v0垂直导轨水平向右运动直到停下。不计一切摩擦，则下列说法正确的是 （）A.导体棒运动过程中所受安培力先做正功再做负功B.导体棒在导轨上运动的最大距离为2C.整个过程中，电阻R上产生的焦耳热为12mD.整个过程中，导体棒的平均速度大于v解析：B导体棒向右运动过程中一直受到向左的安培力作用，即安培力一直做负功，故A错误；由动量定理可知－IdB·Δt＝0－mv0，其中I·Δt＝ΔΦΔt2R·Δt＝ΔΦ2R，ΔΦ＝Bdx，解得x＝2mv0RB2d2，故B正确；导体棒的阻值与左端所接电阻的阻值相等，故电阻R上产生的焦耳热应该为14mv02，故C错误2.（多选）如图所示，空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，足够长的光滑平行金属导轨水平放置，导轨左右两部分的间距分别为l、2l。质量分别为m、2m的导体棒a、b均垂直导轨放置，导体棒a接入电路的电阻为R，其余电阻均忽略不计。a、b两棒分别以v0、2v0的初速度同时向右运动，两棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触，a总在窄轨上运动，b总在宽轨上运动，直到两棒达到稳定状态，从开始运动到两棒稳定的过程中，下列说法正确的是 （）A.a棒加速度的大小始终等于b棒加速度的大小B.稳定时a棒的速度为1.5v0C.电路中产生的焦耳热为32mD.通过导体棒a的某一横截面的电荷量为m解析：AC分别计算a、b棒的加速度，由F安＝BIL和F安＝ma0，可得a0＝BILm，a、b棒串联，电流相等，a、b棒长度分别为l、2l，质量分别为m、2m，则a、b棒加速度大小相等，故A正确；因为导轨光滑，水平方向只受到安培力作用，对a棒，根据动量定理有Fa·t＝BIl·t＝mva－mv0，同理，对b棒有－Fbt＝－BI×2l·t＝2mvb－2m·2v0，稳定时无电流，即Blva＝B·2lvb，得va＝2vb，联立解得va＝2v0，vb＝v0，故B错误；由能量守恒可知，动能的损失量等于焦耳热，初动能Ek0＝12mv02＋12×2m×（2v0）2，末动能Ek＝12m×（2v0）2＋12×2m×v02，则电路中产生的焦耳热为Ek0－Ek＝32mv02，故C正确；对a应用动量定理有BIl·Δt＝mva－mv0，又q＝I·Δt，v3.（多选）（2024·江西抚州模拟）如图，足够长的平行光滑金属导轨M、N固定在绝缘水平桌面上，导轨间距离为L，垂直导轨平面有竖直向下的匀强磁场，以CD为分界线，左边磁感应强度大小为2B，右边为B，两导体棒a、b垂直导轨静止放置，a棒距CD足够远，已知a、b棒质量均为m，长度均为L，电阻均为r，棒与导轨始终接触良好，导轨电阻不计，现使a获得一瞬时水平速度v0，在两棒运动至稳定的过程中（a棒还没到CD分界线），下列说法正确的是（）A.a、b系统机械能不守恒B.a、b系统动量守恒C.a棒稳定时的速度为0.2v0D.导体棒a产生的焦耳热为2解析：ACa获得水平速度后切割磁感线产生感应电动势，两导体棒会发热，系统部分机械能转化为内能，故a、b系统机械能不守恒，故A正确；通过两导体棒的电流大小相等方向相反，根据左手定则及安培力公式有F安＝BIL，可知两导体棒受到的安培力方向相反，但是由于两导体棒所在磁场的磁感应强度大小不等，故受到的安培力大小不等，故a、b系统所受合外力不为零，系统动量不守恒，故B错误；a棒稳定时回路中感应电动势为零，故有2BLva＝BLvb，整个过程对a、b分别由动量定理有－2BILt＝mva－mv0，BILt＝mvb，联立解得va＝0.2v0，整个过程由能量守恒定律可知回路中产生的总热量为Q＝12mv02－12mva2－12mvb2，导体棒a产生的焦耳热为Qa＝12Q，解得Q4.（多选）（2024·广东佛山模拟）游乐园中的过山车因能够给游客带来刺激的体验而大受欢迎。为了保证过山车的进站安全，过山车安装了磁力刹车装置，将磁性很强的磁铁安装在轨道上，正方形导体框安装在过山车底部。磁力刹车装置的工作原理可简化为如图所示的模型：质量m＝5kg，边长L＝2m、电阻R＝1.8Ω的单匝导体框abcd沿着倾角为θ的光滑绝缘斜面由静止开始下滑x0＝4.5m后，下边框bc进入匀强磁场区域时导体框开始减速，当上边框ad进入磁场时，导体框刚好开始做匀速直线运动。已知磁场的上、下边界与导体框的上、下边框平行，磁场的宽度也为L＝2m，磁场方向垂直斜面向下﹑磁感应强度大小B＝3T，sinθ＝0.4，取重力加速度大小g＝10m/s2，则 （）A.上边框ad进入磁场时，导体框的速度大小v为1m/sB.上边框ad进入磁场时，导体框的速度大小v为0.5m/sC.下边框bc刚进入磁场时，导体框的加速度大小a0为20m/s2D.导体框从下边框bc进入磁场到上边框ad进入磁场所用的时间t为0.75s解析：ACD当导体框的上边框进入磁场时，下边框切割磁感线产生的感应电动势E＝BLv，导体框中的感应电流I＝ER，导体框的下边框在磁场中受到的安培力大小FA＝BIL，导体框刚好做匀速直线运动，根据受力平衡有mgsinθ＝FA，解得v＝1m/s，故A正确，B错误；导体框沿斜面由静止开始到下边框进入匀强磁场的过程中，根据机械能守恒定律有mgx0sinθ＝12mv02，当导体框的下边框进入磁场时，导体框的下边框在磁场中受到的安培力大小FA0＝B2L2v0R，对导体框受力分析﹐根据牛顿第二定律有FA0－mgsinθ＝ma0，解得a0＝20m/s2，故C正确；导体框从下边框进入磁场到上边框进入磁场的过程中，取沿斜面向下为正方向，根据动量定理有mgtsinθ－IF安＝mv－mv0，IF安＝∑BILΔt＝BLq，q＝ΔΦ5.（2023·全国甲卷25题）如图，水平桌面上固定一光滑U形金属导轨，其平行部分的间距为l，导轨的最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计。导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电阻为R、长度也为l的金属棒P静止在导轨上。导轨上质量为3m的绝缘棒Q位于P的左侧，以大小为v0的速度向P运动并与P发生弹性碰撞，碰撞时间极短。碰撞一次后，P和Q先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点。P在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，P与Q始终平行。不计空气阻力。求：（1）金属棒P滑出导轨时的速度大小；（2）金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量；（3）与P碰撞后，绝缘棒Q在导轨上运动的时间。答案：（1）12v0（2）mv02（解析：（1）Q与P发生弹性碰撞，由动量守恒定律有3mv0＝mvP＋3mvQ由机械能守恒定律有12×3mv02＝12mvP2联立解得vQ＝12v0，vP＝32根据题述，P、Q落到地面上同一地点，结合平抛运动规律可知，金属棒P滑出导轨时的速度大小为vP'＝vQ＝12v0（2）由能量守恒定律可得，金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量为Q＝12mvP2－12mvP'2（3）P在导轨上做变速运动，设速度大小为v时金属棒中产生的感应电动势大小为e，电流大小为i，在Δt时间内速度变化量为Δv，则由法拉第电磁感应定律有e＝Blv由闭合电路欧姆定律有i＝e金属棒P所受的安培力F＝Bil＝B由动量定理有FΔt＝mΔv即B2l2vRΔ方程两侧求和得ΣB2l2vRΔt即B2l2RΣvΔt又ΣvΔt＝x，ΣΔv＝vP－vP'＝v0联立解得x＝m对绝缘棒Q有x＝vQt解得与P碰撞后，绝缘棒Q在导轨上运动的时间为t＝2mR6.（2024·安徽合肥模拟）如图所示，平行光滑金属导轨由水平部分和倾斜部分平滑连接而成。导轨水平部分的一段处于B＝0.50T、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场（图示虚线）中。在磁场中离左边界l＝0.40m处垂直于水平导轨放置导体棒a，在倾斜导轨高h＝0.2m处垂直于导轨放置导体棒b，将导体棒b由静止释放，结果发现导体棒a以1m/s的速度从磁场右边界离开。已知导体棒a、b的质量均为m＝0.01kg，阻值均为R＝0.10Ω，棒的长度均等于导轨间距L＝0.20m，不计导轨电阻，导体棒在运动过程中始终垂直于导轨且接触良好，g取10m/s2，忽略磁场边界效应。求：（1）安培力对导体棒a做的功；（2）导体棒a刚出磁场时，导体棒b的速度大小及两棒之间的距离；（3）整个过程中，安培力对导体棒b做的功。答案：（1）0.005J（2）1m/s，0.2m（3）－0.02J解析：（1）导体棒a在安培力的作用下由静止向右加速运动，根据动能定理，安培力对导体棒a做的功W1＝12mv12（2）导体棒b在倾斜部分运动时，由机械能守恒定律有mgh＝12m代入数据解得v0＝2m/s导体棒b进入磁场与导体棒a通过磁场相互作用直到导体棒a出磁场，由动量守恒定律有mv0＝mv1＋mv2代入数据解得v2＝1m/s即导体棒a出磁场时，两棒已获得共同速度，此过程中，对导体棒b运用动量定理有－BLIΔt＝mv2－mv0通过的电荷量为q＝IΔt＝BL代入数据解得Δx＝0.2m两棒之间的距离为x1＝l－Δx＝0.4m－0.2m＝0.2m。（3）导体棒b进入磁场与导体棒a通过磁场相互作用后获得共同速度的过程中，安培力对导体棒b做的功W2＝12mv22－12导体棒a从磁场中出来时，导体棒b与磁场右边界相距x2＝0.2m此时对导体