素养提升17⇒磁场中的三类动态圆模型

磁场中的三类动态圆模型模型一放缩圆模型适用条件速度方向一定，速度大小不同粒子源发射速度方向一定，速度大小不同的带电粒子进入匀强磁场中，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化适用条件轨迹圆圆心共线如图所示（图中只画出粒子带正电的情景），速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上界定方法以入射点P为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法【例1】（2024·甘肃兰州一模）如图所示，直角三角形ABC区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，∠B＝90°，∠C＝30°。某种带电粒子（重力不计）以不同速率从BC边上D点垂直BC边射入磁场，速率为v1时粒子垂直AC边射出磁场，速率为v2时粒子从BC边射出磁场，且运动轨迹恰好与AC边相切，粒子在磁场中运动轨迹半径分别为r1、r2，运动时间分别为t1、t2。下列说法正确的是（）A.粒子带正电 B.r1∶r2＝2∶1C.v1∶v2＝3∶1 D.t1∶t2＝1∶4答案：C解析：由题意再结合左手定则可知粒子带负电，故A错误；根据题意做出粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，由图中几何关系可得r1＝r2＋r2sin30°，可知粒子在磁场中运动的半径之比r1∶r2＝3∶1，故B错误；根据洛伦兹力充当向心力有Bqv＝mv2r，解得粒子在磁场中运动时的速度为v＝Bqrm，由此可知粒子在磁场中运动的速度之比等于轨迹半径之比，即v1∶v2＝r1∶r2＝3∶1，故C正确；根据粒子在磁场中运动的轨迹可知，速率为v1时在磁场中偏转了30°，速率为v2时在磁场中偏转了180°，而同一种粒子在相同磁场中运动的周期T＝2πmqB相同，则可知粒子在磁场中运动的时间之比等于偏转角度之比，即t1∶t（多选）一有界匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中射线bc足够长，∠abc＝135°，其他地方磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率，不计粒子重力和粒子之间的相互作用，以下说法正确的是（）A.从ab边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等B.从a点入射的粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长C.粒子在磁场中的最长运动时间不大于πD.粒子在磁场中的最长运动时间小于3解析：AD画出带电粒子在磁场中运动的动态分析图，如图所示当粒子都从ab边射出，则运动轨迹都是半圆周，运动时间都相等，为πmqB，当粒子都从bc边射出，则速度越大，轨道半径越大，对应的圆心角越大，运动时间越长，运动时间大于πmqB，故A正确，B、C错误；当粒子的速度足够大，半径足够大时，ab的长度l远小于r，这时圆心角大小趋近于270°，因此粒子在磁场中最长运动时间小于3模型二旋转圆模型适用条件速度大小一定，方向不同粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径R＝mv0轨迹圆圆心共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝mv界定方法将一半径R＝mv0qB的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“【例2】如图所示，在荧光板MN的上方分布了水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。距荧光板d处有一粒子源S，能够在纸面内不断均匀地向各个方向发射速度大小为v＝qBdm、电荷量为q、质量为m的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒子源发射粒子的总个数为N，则（A.粒子能打到板上的区域长度为2dB.打到板上的粒子数为512C.从粒子源出发到板的最短时间πD.同一时刻发射的粒子打到荧光板上的最大时间差为7答案：D解析：根据洛伦兹力充当向心力，有qvB＝mv2R，粒子运动的半径R＝mvBq＝d，粒子运动到荧光板的两种临界情况如图，SC垂直于MN，由几何关系可知，则左侧最远处A与C的距离为3d，右侧最远处B与C的距离为d，所以粒子能打在板上的区域长度是（3＋1）d，故A错误；在磁场中运动时间最长和最短的粒子运动轨迹示意图如图粒子做完整圆周运动的周期T＝2πdv，由几何关系可知最短时间t2＝16T＝πd3v＝πm3qB，故C错误；粒子在磁场中最长时间t1＝34T＝3πd2v＝3πm2qB，则Δt＝t1－t2＝7πd6（多选）如图所示，挡板MN位于水平面x轴上，在第一、二象限y≤L区域内存在磁感应强度为B的矩形匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。在MN上O点放置了粒子发射源，能向第二象限各个方向发射速度大小为v0＝qBL2m的带正电同种粒子，已知粒子质量为m、电荷量为q，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收，以下说法正确的是 （A.所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径均为LB.粒子在磁场中运动的最长时间为πC.所有粒子运动的区域面积为38πLD.所有粒子运动的区域面积为（解析：AC由洛伦兹力提供向心力有qBv0＝mv02r，代入数据解得r＝L2，A正确；粒子在磁场中运动的最长时间为t＝T＝2πmqB，B错误；所有粒子运动的区域面积为图中阴影部分面积，由几何关系有S＝12πr2＋14π（2r）2＝3模型三平移圆模型适用条件速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝mv0轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与所有入射点的连线平行界定方法将半径R＝mv0qB的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“【例3】（多选）如图所示，在等腰直角三角形BAC内充满着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出）。一群质量为m、电荷量为＋q、速度为v的带正电粒子垂直AB边射入磁场，已知从AC边射出且在磁场中运动时间最长的粒子，离开磁场时速度垂直于AC边。不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列判断中正确的是（）A.等腰三角形BAC中AB边的长度为2B.粒子在磁场中运动的最长时间为πC.从AB中点射入的粒子离开磁场时的位置与A点的距离为mvD.若仅将磁场反向，则粒子在磁场中运动的最长时间不变答案：AB解析：依题意可知当粒子在磁场中运动时间最长时，轨迹圆的圆心在A点，且其轨迹与BC边相切，根据几何关系可知ABsin45°＝r，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有qvB＝mv2r，联立可得AB＝2mvqB，故A正确；粒子在磁场中匀速圆周运动的周期为T＝2πrv，根据选项A分析，粒子轨迹所对应的圆心角度为90°，则有T＝90°360°T＝πm2qB，故B正确；由几何关系可知，离开磁场时的位置与A点的距离必然小于轨迹半径r＝mvqB，故C错误；若仅将磁场反向，则粒子在磁场中将向上偏转，不会出现圆心角为90°的轨迹，故最长时间将变小，故D跟踪训练·巩固提升1.（多选）（2024·湖南岳阳模拟）如图所示，在圆心为O、半径为R的半圆形区域内（不含边界）有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN为直径。大量带正电荷的同种粒子以不同的速率从O点在纸面内沿与ON成30°角的方向射入磁场。粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子受到的重力以及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（）A.粒子在磁场中运动的最长时间为5B.若粒子恰好从圆弧边界离开磁场，则粒子的速度大小为qBRC.若粒子恰好从O点正上方的P点离开磁场，则粒子的速度大小为3D.选择合适的速度，粒子可能从M点离开磁场解析：AC当粒子的速度较小时，粒子从MN边界离开磁场，其轨迹对应的圆心角为300°，此时粒子在磁场中运动的时间最长，最长时间t＝300°360°×2πmqB＝5πm3qB，故A正确；如图所示，当粒子做圆周运动的轨迹与半圆形磁场边界相切时（设切点为Q），粒子恰好从圆弧边界射出，根据几何知识可知，粒子的轨迹半径r1＝R2，设粒子的速度大小为v1，有qv1B＝mv12r1，解得v1＝qBR2m，故B错误；设当粒子恰好从P点离开磁场时，粒子的轨迹半径为r2，根据几何关系有32r2＝R2，设粒子的速度大小为v2，有qv2B＝mv22r2，解得v2＝3qBR3m，故2.（多选）（2024·内蒙古赤峰模拟）如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的部分边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、dc的延长线通过圆弧的圆心，Ob长为R。一束质量为m、电荷量大小为q的粒子流，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中M、N是圆弧边界上的两点。不计粒子的重力及它们之间的相互作用。则下列说法中正确的是 （）A.粒子带负电B.从M点射出粒子的速率一定小于从N点射出粒子的速率C.从M点射出粒子在磁场中运动时间一定小于从N点射出粒子所用时间D.在磁场中运动时间最短的粒子用时为2解析：BD由题意，画出从M、N两点射出的粒子运动轨迹图，如图所示，由此可知，粒子带正电；粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可得qvB＝mv2r＝m4π2T2r，解得r＝mvqB，T＝2πmqB；由图可知，从M点射出粒子的轨迹半径小于从N点射出粒子轨迹半径，则有从M点射出粒子的速率一定小于从N点射出粒子的速率；由图可知，从M点射出粒子的轨迹所对圆心角大于从N点射出粒子轨迹所对圆心角，由t＝θ2πT可知，从M点射出粒子在磁场中运动时间一定大于从N点射出粒子所用时间，A、C错误，B正确；如图，当弦与bc圆弧边界相切时，弦切角最小，Ob等于R，由几何关系知，此时圆周运动对应的圆心角为120°，则最短时间为3.（多选）（2024·安徽宿州一模）如图所示，边长为L的正三角形ABC区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为＋q的同种粒子自A点沿角平分线射入磁场，若以初速度v0射入，经过时间t，粒子从AC边界距A点L3处射出磁场，不计粒子的重力，则（A.粒子圆周运动的周期为3tB.粒子的初速度等于2v0时，在磁场中运动的时间仍为tC.粒子的初速度小于3v0时，离开磁场时的速度反向延长线均垂直于AB边D.粒子的初速度大于3v0时，离开磁场时速度的偏转角大于π解析：BC粒子若以初速度v0射入，设其轨迹半径为r，圆心为O，轨迹对应的圆心角为θ，粒子运动轨迹如图所示，根据几何关系可得θ＝60°，则有t＝60°360°T，解得粒子圆周运动的周期为T＝6t，故A错误；根据洛伦兹力提供向心力qvB＝mv2r，可得r＝mvqB，粒子的初速度等于2v0时，粒子轨迹半径变为原来的2倍，粒子从AC边射出，粒子轨迹对应的圆心角不变，粒子在磁场中运动的时间不变，所以粒子在磁场中运动的时间为t，故B正确；粒子的初速度等于3v0时，粒子轨迹半径变为原来的3倍，粒子刚好从C点离开磁场，如图所示，粒子射入时速度方向与AC边夹角为30°，则粒子离开磁场时的速度反向延长线垂直于AB边，所以粒子初速度小于3v0时，均从AC边射出，离开磁场时的速度反向延长线均垂直于AB边，故C正确；粒子的初速度大于3v0时，粒子从BC边离开磁场，轨迹对应的弦长变短，所以粒子轨迹对应的圆心角小于π3，由于粒子轨迹对应的圆心角等于速度方向偏向角4.（多选）（2024·安徽蚌埠模拟）如图所示，a、b是直线上间距为4d的两点，也是半圆直径的两个端点，c位于ab上，且ac＝d，直线上方存在着磁感应强度大小为B、垂直于半圆平面的匀强磁场（未画出），其中半圆内部没有磁场。一群比荷为k的同种带电粒子从ac之间以相同的速率垂直于ab射入圆弧区域，所有粒子都能通过b点，不计粒子间的相互作用和粒子的重力，则 （）A.粒子的速率为2dBkB.粒子的速率为dBkC.从c点射入的粒子在磁场中运动的时间为2D.从c点射入的粒子在磁场中运动的时间为4解析：AD画出粒子的运动轨迹如图甲所示，由几何关系可知，四边形dObO1为夌形，粒子运动的轨道半径R＝2d，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝mv2R，粒子速率v＝2dBk，故A正确，B错误；从c如图乙所示，由几何关系，粒子运动轨迹圆心正好在圆周ab上，粒子在磁场中转过的角度为240°，则运动时间t＝240°360°T＝4πm3qB＝45.（多选）（2024·河南郑州模拟）如图所示，矩形ABCD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AB边长为d，BC边长为2d，O是BC边的中点，E是AD边的中点，在O点有一粒子源，可以在纸面内向磁场内各个方向射出质量均为m、电荷量均为q、有同种电性的带电粒子，粒子射出的速度大小相同，速度与OB边的夹角为60°的粒子恰好从E点射出磁场，不计粒子的重力，则（）A.粒子带正电B.粒子运动的速度大小为qBdC.粒子在磁场中运动的最长时间为πD.磁场区域中有粒子通过的面积为4+π4解析：BD速度与OB的夹角为60°的粒子恰好从E点射出磁场，由粒子运动的轨迹根据左手定则可判断，粒子带负电，A错误；由此粒子的运动轨迹结合几何关系可知，粒子做圆周运动的半径r＝d，由牛顿第二定律qvB＝mv2r，则粒子运动的速度大小为v＝qBdm，B正确；由于粒子做圆周运动的速度大小相同，因此在磁场中运动的轨迹越长，时间越长，分析可知，粒子在磁场中运动的最长弧长为四分之一圆周，因此最长时间为四分之一周期，即最长时间为πm2qB，C错误；由图可知磁场区域有粒子通过的面积为图中AOCDA区域的面积，即为d2＋14πd26.（多选）如图所示，在直角坐标系xOy的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在y轴上S处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量均为m、电荷量均为q的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知OP＝3OS＝3d，粒子带负电，粒子所受重力及粒子间的相互作用均不计，则 （）A.粒子的速度大小为qBdB.从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为3∶2C.沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为32D.从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为π解析：AD根据几何关系可得SP＝（SO）2＋（OP）2＝2d，所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点，可知粒子做圆周运动的半径r满足2r＝SP＝2d，可得r＝d，根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝mv2r，解得v＝qBdm，故A正确；从x根据几何关系，粒子在磁场中做圆周运动的圆心角分别为α＝3π4，θ＝π3，从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为tmaxtmin＝α2πTθ2πT＝αθ＝94，故B错误；沿平行x轴正方向射入的粒子，其圆心在O点，离开磁场时的位置到O点的距离为r，即沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为d，故7.如图所示，在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为mv02qR、方向垂直平面xOy向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为 A.πR6vC.πR3v解析：C粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qv0B＝mv02r，解得r＝2R，如图所示，当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于sinα＝FEr，要使圆心角α最大，则FE应最长，经分析可知，当粒子从y轴上的D'点射入、从x轴上的E'点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长，有sinαm＝OE'r，解得αm＝π6，从D'点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间最长，且tm＝π62π×28.空间存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面，线段MN是屏与纸面的交线，长度为4L，其左侧有一粒子源S，可