高中数学人教B版2019必修第一册教案函数及其表示方法

第三章函数

3.1函数的概念与性质

3.1.1函数及其表示方法教学设计

函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，

在解决实际问题汇总发挥重要作用。函数是贯穿高中数学课程的主线。本单元的学习，可以帮助学生建立

完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合

之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，

解决问题。

【教学目标】

1、在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概

念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和

值域。

2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数

图象的作用。

3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

【核心素养】

1、数学抽象：两个变量关系中提出函数概念.

2、直观想象：用图像法表示函数

3、数学运算：对函数的定义域、值域的计算。

4、数据分析：函数定义域和应用数据的有效性。

【教学重点】

1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.

3.了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.

【教学难点】

1、求函数的定义域和值域

回顾初中所学的函数，在情境与问题中感受高中函数表达方式与初中的不同。

一、函数的概念

我们已经学习过一些函数的知识，例如已经总结出：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量;

在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应,

那么就称y是x的函数.

再例如，我们知道y=2x是正比例函数，y=-3x-l是一次函数，y=-2是反比例函数，y=x?+2x-3是二次

函数，等等。

【情境与问题】

（1）国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100,近些年来中国创新指数的

I方法

情况如下表所示。

:同，

20082009201020112012201320142015

中国创新指数116,5125.5131.8139.6148.2152.6158.217、摩］

沿B

以y表示年度值，i表示中国创新指数的取值，则i是y的的函数吗？如果

是，这个函数用数学符号可以怎样表示？

（2）利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如下【值组

图所示。医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果（如根据两个峰值的间距来得出

心率等）.

值得注意的是，这种函数的表示中，自变量与因变量用什么字母来表示是无关紧要的，例如函数

f(x)=2x+1,xeR与y=2s+l,seR

应该看成同一个函数.习惯上，人们总用X表示自变量，y表示因变量.

更一般地，如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值,

两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数.例如

y=&，xeR与g(x)=|x|,xeR

表示同一个函数.

在表示函数时，如果不会产生歧义，函数的定义域通常省略不写，此时就约定：函数的定义域就是使

得这个函数有意义的所有实数组成的集合。

在上述约定下，以下表达式都可以表示函数f(x)=2x+l,xeR：

f(x)=2x+l,

y=2x+l.

【典型例题】

例1求下列函数的定义域：

111

(1)f(x)=,(2)g(x)=-^-----

Vx+1xx+2

解(1)因为函数有意义当且仅当

x+l>0

解得X>-1,所及函数的定义域为

(-1,+oo)

(2)因为函数有意义当且仅当

x#0

x+2/)

解得X/)且x力-2,因此函数的定义域为

(-00,-2)U(-2,0)U(0,+oo)

以下都是求函数定义域常用的依据：

(1)分式中分母不能为零;

(2)二次根式中的被开方数要大于或等于零.

例2设函数g(x)=日的值域为S,分别判断-血和3是否是S中的元素.

解由于VTHK)恒成立，所以而无解，因此-啦WS.

当Jx+1=3时,可解得x=8,即g(8)=3,所以3ds.

例2的解法，实质上是在用方程判断一个数是否属于函数的值域.

1

例3已知f(x)=不！

(1)求f(-1),f(0)和f(2)；

(2)求函数f(x)的值域.

【尝试与发现】

*=3

判断方程

f(4)=7317714

1,

f(o)=^-=i

o+l

9/

5

(2)(方法一)因为xK),所以X2+G1恒成立，从而可知

又因为当x的绝对值逐渐变大时，函数值会逐渐接近于0,但不会等于0,因此所求函数的值域为(0,

1

(方法二)假设t是所求值域中的元素，则关于x的方程蕨彘演，即应该有解，反一1

即胡法QW1.因此所求值域为(0,1].

例3(2)中的方法一实质上用的是不等式的性质.

二、函数的表示方法

前面我们所接触到的函数y=f(x)中，绝大多数f(x)都是用代数式(或解析式)来表示的，例如f

(x)=2x+l,这种表示函数的方法称为解析法.

前面给出的关于中国创新指数的函数，实际上是用列表的形式给出了函数的对应关系，这种表示函数

的方法称为列表法.如果将这个函数记为i=f(y),则从表格中可以看出

f(2013)=152.6,f(2015)=171.5

另外，如果将这个函数的定义域记为D,值域记为S,则有

D={2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015),

S=H165125.5,131.8,139.6,148.2252.635821765}

前面给出的与心电图有关的函数，实际上是用图的形式给出了函数的对应关系.

一般地，将函数y=f(x),xeA中的自变量x和对应的函数值y,分别看成平面直角坐标系中点的横

坐标与纵坐标，则满足条件的点(x,y)组成的集合F称为函数的图像，即

F={(x,y)|y=f(x),xeA).

这就是说，如果F是函数y=f(x)的图像，则图像上任意一点的坐标(x,y)都满足函数关系y=f(x)；

反之，满足函数关系y=f(x)的点(x,y)都在函数的图像F上.

用函数的图像表示函数的方法称为图像法.

从理论上来说，要作出一个函数的图像，只需描出所有点即可.但是，很多函数的图像都由无穷多个点

组成，描出所有点并不现实.因此，实际作图时，经常先描出函数图像上一些有代表性的点，然后再根据有

关性质作出函数图像，这称为描点作图法.

例如，我们知道，一次的数y=-x+l的图像是一条直线，又易知图像过点(0,1)和(1,0),所以容

易作出其图像如下图所示.

【典型例题】

例4北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水价：年用水量不超过1801n3的部分，水价为5元/irf；

超过180m3但不超过260m3的部分，水价为7元/n?.如果北京市一居民年用水量为xnP,其要缴纳的水费为

f(x)元。假设gxW260,试写出f(x)的解析式，并作出f(x)的图像.

解如果xe[0,180],则f(x)=5x；

如果xe(180,260],按照题意有

f(x)=5x80+7(x-180)=7x-360.

因此

f(x)=5x,xe[0,180J

7x-360,xe(180,260]

注意到f(x)在不同的区间上，解析式都是一次函数的形式，因此y=f(x)在每个区间上的图像都是

直线的一部分，又因为

f(180)=5x180=900,

f(260)=7x60-360=1460,

由此可作出函数图像如下所示.

如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数.

【尝试与发现】

函数Dx£Q

=0,x《Q被称为秋利克雷函数，你能说出这个函数的定义域、值

例5段x为仕总一个头数，y是个超江x的最大整数，判断区神对回天东是否是出数。如果是，I乍出这个函

数的图像；如果不是，说明理由。

【尝试与发现】

依照题意填写下表，然后判断对应关系是否是函数。

6.895x—1.5

因为任何一个实数x,都必定在某个形如[n,n+1)的区间内.因此给定一个x,有唯一的y与之对应,

所以这种对应关系是函数。

由上可看出，在每一个区间[n,n+1)内，函数的图像是直线的一部分，由此可作出这个函数的图像如

下图所示。

例5中的函数通常称为取整函数，记作

y=[x],

其定义域是旦，值域是万一'一'—」

这个函数早在18世纪就被“数学王子”高斯提出，因此也被称为高斯取整函数.

在以后的学习中，我们还会碰到值域只有一个元素的函数，这类函数通常称为常数函数.也就是说，常

数函数中所有自变量对应的函数值都相等.例如f(x)=7,xeR是一个常数函数，它的值域是山，图像是

一条垂直于y轴的直线.

例6已知函数y=《，指出这个函数的定义域、值域，并作出这个函数的图像.

解函数的定义域为［0,+oo).由y=4在yK)时有解可知，函数的值域为［0,+8).

通过描点作图法，可以作出这个函数的图像如下图所示.

由上可以看出，函数可以通过多种方式表示，而且函数的解析式也具有多种形式.在确定函数的解析式

时，可以借助方程或方程组的知识，使用待定系数法完成，如例7所示.

例7已知二次函数的图像过点(-1,4),(0,1),(1,2),求这个二次函数的解析式.

解设函数解析式为y=ax?+bx+c(a#)),则

a-b+c=4,