专题1.4 基本不等式及其应用【九大题型】-2025年高考数学一轮复习【举一反三】专练（新高考专用）含解析

专题1.4基本不等式及其应用【九大题型】-2025年高考数学一轮复习【举一反三】专练（新高考专用）专题1.4基本不等式及其应用【九大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1基本不等式及其应用】 2【题型2直接法求最值】 3【题型3配凑法求最值】 4【题型4常数代换法求最值】 4【题型5消元法求最值】 4【题型6齐次化求最值】 5【题型7多次使用基本不等式求最值】 5【题型8利用基本不等式解决实际问题】 5【题型9与其他知识交汇的最值问题】 81、基本不等式及其应用考点要求真题统计考情分析(1)了解基本不等式的推导过程

(2)会用基本不等式解决最值问题

(3)理解基本不等式在实际问题中的应用2020年天津卷：第14题，5分2021年乙卷：第8题，5分2022年I卷：第12题，5分2023年新高考I卷：第22题，12分基本不等式及其应用是每年高考的必考内容，从近几年的高考情况来看，对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题；同时要注意基本不等式在立体几何、平面解析几何等内容中的运用.【知识点1基本不等式】1.两个不等式不等式内容等号成立条件重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)当且仅当“a=b”时取“=”基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0,b>0)当且仅当“a=b”时取“=”eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2．基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．3．常见的求最值模型(1)模型一：，当且仅当时等号成立；(2)模型二：，当且仅当时等号成立；(3)模型三：，当且仅当时等号成立；(4)模型四：，当且仅当时等号成立.4．利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.【题型1基本不等式及其应用】【例1】（2023·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数a,b,c满足a<b<c且abc<0，则下列不等关系一定正确的是（

）A．ac<bc B．ab<acC．bc+c【变式1-1】（2023·湖南长沙·一模）已知2m=3n=6，则m，A．m+n>4 B．mn>4C．m2+n【变式1-2】（2024·山东枣庄·一模）已知a>0,b>0，则“a+b>2”是“a2+bA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-3】（2023·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD=a，BD=b，用该图形能证明的不等式为（

）．A．a+b2≥abC．a+b2≤a【题型2直接法求最值】【例2】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数fx=3−x−2x，则当x<0时，A．最大值3+22 B．最小值C．最大值3−22 D．最小值【变式2-1】（2023·北京东城·一模）已知x>0，则x−4+4x的最小值为（A．－2 B．0 C．1 D．2【变式2-2】（22-23高三下·江西·阶段练习）3+1x2A．93 B．7+42 C．83【变式2-3】（23-24高二下·山东潍坊·阶段练习）函数y=3−4x−x（x>0A．−1 B．1 C．−5 D．5【题型3配凑法求最值】【例3】（2023·山西忻州·模拟预测）已知a>2，则2a+8a−2的最小值是（A．6 B．8 C．10 D．12【变式3-1】（2024·辽宁·一模）已知m>2n>0，则mm−2n+mA．3+22 B．3−22 C．2+32【变式3-2】（2023·河南信阳·模拟预测）若−5<x<−1，则函数fx=xA．最小值1 B．最大值1 C．最小值−1 D．最大值−1【变式3-3】（23-24高三下·河南·开学考试）已知a>0,b>0，则a+2b+4a+2b+1的最小值为（A．6 B．5 C．4 D．3【题型4常数代换法求最值】【例4】（2024·江苏南通·二模）设x>0，y>0，1x+2y=2，则A．32 B．22 C．3【变式4-1】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知正实数x，y满足1x+2y=1A．8 B．9 C．10 D．11【变式4-2】（2024·广东湛江·一模）已知ab>0，a2+ab+2b2=1A．8−227 B．223 C．【变式4-3】（2023·广东广州·模拟预测）已知正实数x，y满足2x+y=xy，则2xy−2x−y的最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．9【题型5消元法求最值】【例5】（2024·陕西西安·三模）已知x>0,y>0，xy+2x−y=10，则x+y的最小值为．【变式5-1】（2023·上海嘉定·一模）已知实数a、b满足ab=−6，则a2+b【变式5-2】（2024·天津河东·一模）若a>0,b>0,ab=2，则a+4b+2b3b【变式5-3】（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数x，y，z满足x2+xy+yz+xz+x+z=6，则3x+2y+z的最小值是【题型6齐次化求最值】【例6】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知x>0，则x2−x+4xA．5 B．3 C．−5 D．−5或3【变式6-1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知x，y为正实数，且x+y=1，则x+6y+3xy的最小值为（

A．24 B．25 C．6+42 D．【变式6-2】（23-24高二上·安徽六安·阶段练习）设a+b=1,b>0，则1|a|+9|a|A．7 B．6 C．5 D．4【变式6-3】（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知x为正实数，y为非负实数，且x+2y=2，则x2+1xA．34 B．94 C．32【题型7多次使用基本不等式求最值】【例7】（2023·河南·模拟预测）已知正实数a，b，满足a+b≥92a+2bA．5 B．52 C．52 【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）已知a为非零实数，b，c均为正实数，则a2b+aA．12 B．24 C．22【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知a>0，b>0，c>1，a+2b=2，则1a+2A．92 B．2 C．6 D．【变式7-3】（23-24高三下·浙江·开学考试）已知a、b、c、d均为正实数，且1a+2b=A．3 B．2C．3+22 【题型8利用基本不等式解决实际问题】【例8】（23-24高二下·北京房山·期中）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为xm(1)用含有x的代数式表示a；(2)当x的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？【变式8-1】（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初投资的x百万元在第m（1≤m≤8，且m∈N*）年产生的利润（单位：百万元）Gm=mx(1)比较f42与(2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值.【变式8-2】（23-24高一上·河南开封·期末）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为1的空白.记纸张的面积为S，排版矩形的长和宽分别为x，y.(1)用x，y表示S;(2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小?并求最小面积.【变式8-3】（23-24高一上·四川成都·期末）如图所示，一条笔直的河流l（忽略河的宽度）两侧各有一个社区A,B（忽略社区的大小），A社区距离l上最近的点A0的距离是2km,B社区距离l上最近的点B0的距离是1km，且A0B现规划了如下三项工程：工程1：在点P处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；工程2：将直角三角形AA0P地块全部修建为面积至少1工程3：将直角三角形BB0P记这三项工程的总造价为W亿元.(1)求实数a的取值范围；(2)问点P在何处时，W最小，并求出该最小值.【题型9与其他知识交汇的最值问题】【例9】（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知ΔABC内接于单位圆，且1+tan（1）求角C（2）求△ABC面积的最大值．【变式9-1】（23-24高三上·山东青岛·期末）《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qiandu);阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bienao)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵ABC−A1B(1)求证:四棱锥B−A(2)若C1C=BC=2,当鳖膈C1【变式9-2】（2024·广东珠海·一模）已知A、B、C是ΔABC的内角，a、b、c分别是其对边长，向量m=a+b,c，n=（1）求角A的大小；（2）若a=2，求ΔABC面积的最大值.【变式9-3】（2024·黑龙江大庆·一模）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，过点1,32（1）求椭圆的方程；（2）求线段AB的垂直平分线在y轴上的截距的取值范围．一、单选题1．（2023·全国·三模）已知a>0，b>0，且a+b=1，则下列不等式不正确的是（

）A．ab≤14 C．1a+12．（2024·甘肃定西·一模）x2+7A．27 B．37 C．473．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知a>0，b>0，a+b=2，则（

）A．0<a≤1 B．0<ab≤1 C．a2+b4．（2024·浙江嘉兴·二模）若正数x,y满足x2−2xy+2=0，则x+y的最小值是（A．6 B．62 C．225．（2024·四川成都·模拟预测）若a,b是正实数，且13a+b+12a+4b=1A．45 B．23 C．1 6．（2024·陕西西安·模拟预测）下列说法错误的是（

）A．若正实数a,b满足a+b=1，则1aB．若正实数a,b满足a+2b=1，则2C．y=x2D．若a>b>1，则ab+1<a+b7．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元(m≠n)，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为a1,aA．a1=a2 B．a1<a8．（2024·四川成都·三模）设函数fx=x3−x，正实数a,b满足fa+fA．2+22 B．4 C．2+2 二、多选题9．（2023·全国·模拟预测）已知实数x,y，下列结论正确的是（

）A．若x+y=3，xy>0，则xB．若x>0，xy=1，则12xC．若x≠0且x≠−1，则yD．若x2−y210．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅a%，第二次涨幅b乙：第一次涨幅a+b2%，第二次涨幅丙：第一次涨幅ab%，第二次涨幅ab其中a>b>0，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有（

）A．方案甲和方案乙工资涨得一样多 B．采用方案乙工资涨得比方案丙多C．采用方案乙工资涨得比方案甲多 D．采用方案丙工资涨得比方案甲多11．（2024·全国·模拟预测）已知a>0，b>0且1a+4A．ab有最小值4 B．a+b有最小值9C．2ab+a有最小值25 D．16a三、填空题12．（2024·全国·模拟预测）已知x>1，y>0，且x+2y=2，则113．（2024·上海奉贤·二模）某商品的成本C与产量q之间满足关系式C=Cq，定义平均成本C=Cq，其中C=14．（2024·全国·模拟预测）记maxx1,x2,x3表示x1四、解答题15．（2023·甘肃张掖·模拟预测）已知正实数x，y满足等式1x(1)求xy的最小值；(2)求3x+y的最小值．16．（2023·全国·模拟预测）已知x,y,z∈0,+∞，且(1)求证：yx(2)求x217．（2023·陕西安康·模拟预测）已知函数fx(1)当a=2,b=3时，求不等式fx(2)设a>0,b>1，若fx的最小值为2，求118．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）2020年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=4−2m+1.已知生产该产品的固定成本为8万元，生产成本为16万元/万件，厂家将产品的销售价格定为8+16x(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？19．（2023·全国·模拟预测）已知x，y，z∈0,+(1)若x+y=1，证明：4x(2)若x+y+z=1，证明yx专题1.4基本不等式及其应用【九大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1基本不等式及其应用】 2【题型2直接法求最值】 4【题型3配凑法求最值】 5【题型4常数代换法求最值】 7【题型5消元法求最值】 8【题型6齐次化求最值】 9【题型7多次使用基本不等式求最值】 11【题型8利用基本不等式解决实际问题】 13【题型9与其他知识交汇的最值问题】 161、基本不等式及其应用考点要求真题统计考情分析(1)了解基本不等式的推导过程

(2)会用基本不等式解决最值问题

(3)理解基本不等式在实际问题中的应用2020年天津卷：第14题，5分2021年乙卷：第8题，5分2022年I卷：第12题，5分2023年新高考I卷：第22题，12分基本不等式及其应用是每年高考的必考内容，从近几年的高考情况来看，对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题；同时要注意基本不等式在立体几何、平面解析几何等内容中的运用.【知识点1基本不等式】1.两个不等式不等式内容等号成立条件重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)当且仅当“a=b”时取“=”基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0,b>0)当且仅当“a=b”时取“=”eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2．基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．3．常见的求最值模型(1)模型一：，当且仅当时等号成立；(2)模型二：，当且仅当时等号成立；(3)模型三：，当且仅当时等号成立；(4)模型四：，当且仅当时等号成立.4．利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.【题型1基本不等式及其应用】【例1】（2023·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数a,b,c满足a<b<c且abc<0，则下列不等关系一定正确的是（A．ac<bc B．ab<acC．bc+c【解题思路】由不等式的性质判断A、B，根据基本不等式可判断C、D.【解答过程】因为a<b<c且abc<0，所以a<0<b<c或对A：若a<0<b<c，则ac<bc，若a<b<c<0，则ac>bc，A错误；对B：∵b<c，a<0，∴ab>ac，B错误；对C：由a<0<b<c或a<b<c<0，知bc>0且b<c，∴对D：当a<0<b<c时，有ba<0当a<b<c<0，则ba>0且a<b，∴故选：C.【变式1-1】（2023·湖南长沙·一模）已知2m=3n=6，则m，A．m+n>4 B．mn>4C．m2+n【解题思路】根据对数的运算判断A，根据不等式的性质判断BCD.【解答过程】∵2m=3n对于A，∵m+n=mn<m+n对于B，∵mn=m+n>2mn对于C，∵m+n>4,∴16<(m+n)2=对于D，∵(m−1)故选：C.【变式1-2】（2024·山东枣庄·一模）已知a>0,b>0，则“a+b>2”是“a2+bA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据基本不等式与不等式的性质，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答过程】若a>0，b>0，a+b>2，则a2若a2+b2>2，可能a=综上所述，“a+b>2”是“a2故选：A．【变式1-3】（2023·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD=a，BD=b，用该图形能证明的不等式为（

）．A．a+b2≥abC．a+b2≤a【解题思路】由△ABC为等腰直角三角形，得到OC=a+b2，OD=OB−BD，然后在Rt△OCD【解答过程】解：由图知：OC=1在Rt△OCD中，CD=O所以OC≤OD，即a+b2故选：C.【题型2直接法求最值】【例2】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数fx=3−x−2x，则当x<0时，A．最大值3+22 B．最小值C．最大值3−22 D．最小值【解题思路】由基本不等式即可求解.【解答过程】由题意当x<0时，fx=3+−x故选：B.【变式2-1】（2023·北京东城·一模）已知x>0，则x−4+4x的最小值为（A．－2 B．0 C．1 D．2【解题思路】由基本不等式求得最小值．【解答过程】∵x>0，∴x+4x−4≥2x×4故选：B．【变式2-2】（22-23高三下·江西·阶段练习）3+1x2A．93 B．7+42 C．83【解题思路】依题意可得3+1【解答过程】3+1当且仅当1x2=12故3+1x2故选：D.【变式2-3】（23-24高二下·山东潍坊·阶段练习）函数y=3−4x−x（x>0A．−1 B．1 C．−5 D．5【解题思路】根据均值不等式即可求得函数最大值.【解答过程】因为y=3−4x−x=3−(x+故可得y=3−x+当且仅当x=4x，即故选：A.【题型3配凑法求最值】【例3】（2023·山西忻州·模拟预测）已知a>2，则2a+8a−2的最小值是（A．6 B．8 C．10 D．12【解题思路】利用基本不等式性质求解即可.【解答过程】因为a>2，所以a−2>0所以2a+8当且仅当2a−2=8所以2a+8a−2的最小值为故选：D.【变式3-1】（2024·辽宁·一模）已知m>2n>0，则mm−2n+mA．3+22 B．3−22 C．2+32【解题思路】根据题意，m=m−2n【解答过程】由m>2n>0，∴m−2n>0，m=m−2n∴m当且仅当2nm−2n=m−2n故选：A.【变式3-2】（2023·河南信阳·模拟预测）若−5<x<−1，则函数fx=xA．最小值1 B．最大值1 C．最小值−1 D．最大值−1【解题思路】由题意，0<−x+1<4，【解答过程】因为−5<x<−1，所以0<−x+1fx当且仅当−x+12=所以函数fx有最大值−1故选：D.【变式3-3】（23-24高三下·河南·开学考试）已知a>0,b>0，则a+2b+4a+2b+1的最小值为（A．6 B．5 C．4 D．3【解题思路】根据基本不等式即可求解.【解答过程】由于a>0,b>0，所以a+2b+1>0，由a+2b+4（当且仅当a+2b=1时取等号），可得a+2b+4故选：D．【题型4常数代换法求最值】【例4】（2024·江苏南通·二模）设x>0，y>0，1x+2y=2，则A．32 B．22 C．3【解题思路】由不等式“1”的代换求解即可.【解答过程】因为1x+2y=2，所以因为x>0，y>0，所以x+=3当且仅当xy=12xy1故选：C.【变式4-1】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知正实数x，y满足1x+2y=1A．8 B．9 C．10 D．11【解题思路】利用基本不等式计算即可.【解答过程】易知1x+=5+2y当且仅当2yx=2x故选：B.【变式4-2】（2024·广东湛江·一模）已知ab>0，a2+ab+2b2=1A．8−227 B．223 C．【解题思路】利用不等式a2+2b2≥2【解答过程】因为ab>0，得：a2+2b即得：ab≤a则1=a得：a2所以a2+2b故选：A.【变式4-3】（2023·广东广州·模拟预测）已知正实数x，y满足2x+y=xy，则2xy−2x−y的最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．9【解题思路】由已知可得1x【解答过程】因为正实数x，y满足2x+y=xy，所以1x则2xy−2x−y=2x+y=2x+y当且仅当y=2x且1x+2y=1故选：C.【题型5消元法求最值】【例5】（2024·陕西西安·三模）已知x>0,y>0，xy+2x−y=10，则x+y的最小值为42−1【解题思路】依题意可得x=y+10【解答过程】因为x>0，y>0且xy+2x−y=10，所以x=y+10所以x+y=y+10当且仅当8y+2=y+2，即y=22故x+y的最小值为42故答案为：42【变式5-1】（2023·上海嘉定·一模）已知实数a、b满足ab=−6，则a2+b2的最小值为【解题思路】运用基本不等式进行求解即可.【解答过程】由ab=−6⇒a≠0且b≠0且a、b异号，由ab=−6⇒b=−6所以a2当且仅当a2即当a=6,b=−6故答案为：12.【变式5-2】（2024·天津河东·一模）若a>0,b>0,ab=2，则a+4b+2b3b2+1【解题思路】根据基本不等式即可求解.【解答过程】由a>0,b>0,ab=2⇒a=2故a+4b+2=2b+1b故最小值为4，故答案为：4.【变式5-3】（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数x，y，z满足x2+xy+yz+xz+x+z=6，则3x+2y+z的最小值是4【解题思路】因式分解得到x+z=6x+y+1，变形后得到【解答过程】因为x,y,z为正实数，故x2即xx+z3x+2y+z=2=2x+y+1当且仅当2x+y+1=6x+y+1，即所以3x+2y+z的最小值为43故答案为：43【题型6齐次化求最值】【例6】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知x>0，则x2−x+4xA．5 B．3 C．−5 D．−5或3【解题思路】由已知可得x2【解答过程】由x>0，得x2当且仅当x=4x，即x=2时等号成立，所以故选：B.【变式6-1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知x，y为正实数，且x+y=1，则x+6y+3xy的最小值为（

A．24 B．25 C．6+42 D．【解题思路】把x+6y+3xy变为9【解答过程】因为x，y为正实数，且x+y=1，所以x+6y+3=9当且仅当9yx=4xyx+y=1故选：B.【变式6-2】（23-24高二上·安徽六安·阶段练习）设a+b=1,b>0，则1|a|+9|a|A．7 B．6 C．5 D．4【解题思路】由条件可得1|a|+9|a|【解答过程】由a+b=1,b>0，则b=1−a>0,则a<1且a≠01因为b>0,a>0，所以b|a|当0<a<1时，有1当且仅当b=3a，即a=1当a<0时，有1当且仅当b=3a，a<0，即a=−综上可得1|a|故选：C.【变式6-3】（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知x为正实数，y为非负实数，且x+2y=2，则x2+1xA．34 B．94 C．32【解题思路】变形式子x2【解答过程】由x为正实数，y为非负实数，得x>0,y+1≥1，由x+2y=2，得x+2(y+1)=4，于是x=≥14[5+22(y+1)x所以当x=43,y=13故选：B.【题型7多次使用基本不等式求最值】【例7】（2023·河南·模拟预测）已知正实数a，b，满足a+b≥92a+2bA．5 B．52 C．52 【解题思路】先根据基本不等式求出92a+2【解答过程】由已知可得，a>0，b>0，a+b>0.因为92a+2当且仅当9b2a=2a所以，a+b2当且仅当2a=3ba+b=92a所以，a+b≥3故选：D.【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）已知a为非零实数，b，c均为正实数，则a2b+aA．12 B．24 C．22【解题思路】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.【解答过程】因为a为非零实数，a2>0，b，则a=1当且仅当4a2=b2则a2b+a故选：B．【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知a>0，b>0，c>1，a+2b=2，则1a+2A．92 B．2 C．6 D．【解题思路】基本不等式乘1法，构造法解决即可.【解答过程】1a当且仅当a=b=2所以1a+2当且仅当9c−12=2c−1故最小值为212故选：D.【变式7-3】（23-24高三下·浙江·开学考试）已知a、b、c、d均为正实数，且1a+2b=A．3 B．2C．3+22 【解题思路】由题意，根据基本不等式先求解1cd≥1，从而将a+b【解答过程】因为1a+2b=c2+d2=2，所以cd≤c2+d22故选：D.【题型8利用基本不等式解决实际问题】【例8】（23-24高二下·北京房山·期中）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为xm(1)用含有x的代数式表示a；(2)当x的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？【解题思路】（1）设矩形花园的长为ym，结合xy=750，进而求得a关于x（2）由（1）知a=375x−【解答过程】（1）解：设矩形花园的长为ym因为矩形花园的总面积为750m2，所以xy=750，可得又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得2a+3=750x，可得即a关于x的关系式为a=375（2）解：由（1）知，a=375则S=(x−2)a+(x−3)a=(2x−5)a=(2x−5)×(≤15152−23x⋅1875所以当x=25m时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为1215【变式8-1】（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初投资的x百万元在第m（1≤m≤8，且m∈N*）年产生的利润（单位：百万元）Gm=mx(1)比较f42与(2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值.【解题思路】（1）由fnx求出f4（2）先求出两次投资在2027年产生的利润之和f4x=2【解答过程】（1）x=2表示2024年及2025年各投资2百万元，由题意得f4f5f4所以f4（2）两次投资在2027年产生的利润之和为f4设2024年初投资x百万元，则2025年初投资4−x百万元，2024年初投资的x百万元在2027年产生的利润为4x=22025年初投资的4−x百万元在2027年产生的利润为34−x所以f4解法一：f4x2则y−x=412x−3x2由Δ=2y+1922−4×49y当x=16所以f4x2所以两次投资在2027年产生的利润之和的最大值为27解法二：f≤x+6x+32−8x当且仅当6x=32−8x，即x=16所以f4x≤2【变式8-2】（23-24高一上·河南开封·期末）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为1的空白.记纸张的面积为S，排版矩形的长和宽分别为x，y.(1)用x，y表示S;(2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小?并求最小面积.【解题思路】（1）由题意知xy=32，再代入S=(x+4)(y+2)化简即可；（2）利用基本不等式即可求出最值.【解答过程】（1）由题意，xy=32，S=(x+4)(y+2)=xy+2x+4y+8=40+2x+4y(x>0,y>0).（2）S=40+2x+4y≥40+28xy当且仅当2x=4y，即x=8,y=4时等号成立，所以纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72.【变式8-3】（23-24高一上·四川成都·期末）如图所示，一条笔直的河流l（忽略河的宽度）两侧各有一个社区A,B（忽略社区的大小），A社区距离l上最近的点A0的距离是2km,B社区距离l上最近的点B0的距离是1km，且A0B现规划了如下三项工程：工程1：在点P处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；工程2：将直角三角形AA0P地块全部修建为面积至少1工程3：将直角三角形BB0P记这三项工程的总造价为W亿元.(1)求实数a的取值范围；(2)问点P在何处时，W最小，并求出该最小值.【解题思路】（1）由直角三角形BB0P地块全部修建为面积至少0.25km2（2）由题意可得W=1+【解答过程】（1）因为直角三角形BB0P所以S△BB直角三角形AA0P所以S△AA0故实数a的取值范围为1,7（2）依题意可得：W==a+92a+当且仅当a2=9所以当点P满足A0P=3时，W【题型9与其他知识交汇的最值问题】【例9】（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知ΔABC内接于单位圆，且1+tan（1）求角C（2）求△ABC面积的最大值．【解题思路】（1）变形已知条件可得tanA+tanB=1−tanA·（2）由正弦定理可得c，由余弦定理和基本不等式可得ab的取值范围，进而可得面积的最值．【解答过程】解：（1）∵(1+∴tan∴tan∴C=（2）∵△ABC得外接圆为单位圆，∴其半径R=1由正弦定理可得c=2Rsin由余弦定理可得c2代入数据可得2=⩾2ab+2∴ab⩽22+2∴△ABC得面积S=1∴△ABC面积的最大值为：2−1【变式9-1】（23-24高三上·山东青岛·期末）《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qiandu);阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bienao)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵ABC−A1B(1)求证:四棱锥B−A(2)若C1C=BC=2,当鳖膈C1【解题思路】(1)按照题目定义，只要证明AB⊥面ACC1A1即可，而由A1A⊥AB，(2)先根据基本不等式求出当AB=AC=2时，鳖膈C1−ABC【解答过程】(1)∵A1A⊥底面ABC，AB⊂∴A又AB⊥AC，A∴AB⊥面ACC又四边形ACC∴四棱锥B−A(2)∵AB⊥AC，BC=2，∴A又∵A1A⊥底面∴V=当且仅当AB=AC=2时，V∵AB⊥AC，A1A⊥∴以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系B2,0,0，CA1B=2设面A1BC由n1⋅同理得n∴cos二面角C−A1B−【变式9-2】（2024·广东珠海·一模）已知A、B、C是ΔABC的内角，a、b、c分别是其对边长，向量m=a+b,c，n=（1）求角A的大小；（2）若a=2，求ΔABC面积的最大值.【解题思路】（1）由m⊥n得出a+bsinB−sinA+c（2）利用余弦定理结合基本不等式可求出bc的最大值，再利用三角形的面积公式可得出答案.【解答过程】（1）∵m=a+b,c，n∴a+b由正弦定理得b+ab−a+cc−b∴cos∵0<A<π，∴A=π（2）在ΔABC中，A=π3，由余弦定理知a2由基本不等式得4+bc=b2+c2∴SΔABC=12【变式9-3】（2024·黑龙江大庆·一模）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，过点1,32（1）求椭圆的方程；（2）求线段AB的垂直平分线在y轴上的截距的取值范围．【解题思路】（1）由离心率和椭圆过点，得到关于a,b,c的方程，解出a,b,c的值，得到答案；（2）由AF=λFBλ∈R且AF≠FB得A、F、B三点共线，设AB方程为y=k【解答过程】（1）由已知，得1a2故椭圆的方程为x（2）∵A,B是椭圆上纵坐标不为零的点，AF=λFB∴A、F、B三点共线，且直线AB的斜率存在且不为0.又F−1,0，则设AB方程为代入x2整理得3+4显然Δ>0设Ax1,y1x0=直线AB的垂直平分线方程为y−y令x=0，得y=−k当k>0时，4k+3k≥4当k<0时，4k+3k=−∴4k+3k≤−4∴−312所以所求的取值范围是−3一、单选题1．（2023·全国·三模）已知a>0，b>0，且a+b=1，则下列不等式不正确的是（

）A．ab≤14 C．1a+1【解题思路】根据基本不等式逐项判断ABD，消元，化简，结合不等式性质判断C.【解答过程】因为a>0，b>0，且a+b=1，由基本不等式可得ab≤a+b22由基本不等式知a+b2≤a即a2+b由题得1a由已知0<b<1，故1−b2∈故1a由基本不等式可得a+即a+b≤故选：D.2．（2024·甘肃定西·一模）x2+7A．27 B．37 C．47【解题思路】利用基本不等式即可得解.【解答过程】由题意知x≠0，所以x2所以x2当且仅当x2=7故选：B.3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知a>0，b>0，a+b=2，则（

）A．0<a≤1 B．0<ab≤1 C．a2+b【解题思路】借助不等式的性质与基本不等式逐项判断即可得.【解答过程】对A：由b=2−a>0，故a<2，即0<a<2，故A错误；对B：由a>0，b>0，则ab>0，且ab≤a+b当且仅当a=b=1时，等号成立，故0<ab≤1，故B正确；对C：由a+b=2，故a+b2=a又由B可得0<ab≤1，即2≤a对D：由a=2−b>0，故b<2，即0<b<2，故D错误.故选：B.4．（2024·浙江嘉兴·二模）若正数x,y满足x2−2xy+2=0，则x+y的最小值是（A．6 B．62 C．22【解题思路】根据题意可得y=x【解答过程】由x2−2xy+2=0可得∴x+y=x+x当且仅当3x2=1x，即所以x+y的最小值为6.故选：A.5．（2024·四川成都·模拟预测）若a,b是正实数，且13a+b+12a+4b=1A．45 B．23 C．1 【解题思路】观察等式分母可知3a+b+【解答过程】因为a+b==1当且仅当a=3所以a+b的最小值为45故选：A.6．（2024·陕西西安·模拟预测）下列说法错误的是（

）A．若正实数a,b满足a+b=1，则1aB．若正实数a,b满足a+2b=1，则2C．y=x2D．若a>b>1，则ab+1<a+b【解题思路】对于A，利用1a+1b=a+b1a+1b【解答过程】对于A，若正实数a,b满足a+b=1，则1a+1b=a+b1a+1b对于B，若正实数a,b满足a+2b=1，则2a对于C，设x2+3=t∈[3,+对于D，当a=3，b=2时，有a>b>1，但ab+1=3⋅2+1=7>5=3+2=a+b，故D错误.故选：D.7．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元(m≠n)，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为a1,aA．a1=a2 B．a1<a【解题思路】由题意求出a1【解答过程】由题意得a1=200因为m>0,n>0,m≠n，故m+n2>mn即a1故选：B.8．（2024·四川成都·三模）设函数fx=x3−x，正实数a,b满足fa+fA．2+22 B．4 C．2+2 【解题思路】依题意可得a3+b3=a−b【解答过程】因为fx=x3−x又fa所以a3−a+b因为a>0，b>0，所以a3+b3>0又a2+λb所以λb2≤令t=ab，则所以1+=t−1+2当且仅当t−1=2t−1，即所以b2+a则实数λ的最大值为2+22故选：A.二、多选题9．（2023·全国·模拟预测）已知实数x,y，下列结论正确的是（

）A．若x+y=3，xy>0，则xB．若x>0，xy=1，则12xC．若x≠0且x≠−1，则yD．若x2−y2【解题思路】根据题意，由基本不等式代入计算，即可判断ABD，举出反例即可判断C【解答过程】x=x+1−2+1当x+y=3时，2+=2+1当且仅当x=1，y=2时取等号，故选项A正确；由x>0，xy=1，可得12x当且仅当x+y2=8x+y，即等号成立，故选项B正确；取x=−2，y=3时，yxx2−y2=则ab=1且x=a+b2，则2x当且仅当b=3a，即故选：ABD．10．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅a%，第二次涨幅b乙：第一次涨幅a+b2%，第二次涨幅丙：第一次涨幅ab%，第二次涨幅ab其中a>b>0，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有（

）A．方案甲和方案乙工资涨得一样多 B．采用方案乙工资涨得比方案丙多C．采用方案乙工资涨得比方案甲多 D．采用方案丙工资涨得比方案甲多【解题思路】不防设原工资为1，分别计算三种方案两次涨幅后的价格，利用均值不等式比较即可求解.【解答过程】方案甲：两次涨幅后的价格为：(1+a%方案乙：两次涨幅后的价格为：(1+a+b方案丙：两次涨幅后的价格为：(1+ab因为a>b>0，由均值不等式a+b≥2ab，当且仅当a=b故(a+b2)2≥ab，因为a≠b所以方案采用方案乙工资涨得比方案甲多，采用方案甲工资涨得比方案丙多，故选：BC.11．（2024·全国·模拟预测）已知a>0，b>0且1a+4A．ab有最小值4 B．a+b有最小值9C．2ab+a有最小值25 D．16a【解题思路】利用基本不等式可判断各选项.【解答过程】A选项：由2=1a+4b≥21a⋅B选项：a+b=121a+4bC选项：由1a+4所以2ab+a=5a+b=1当且仅当ba=20ab，即D选项：由A的分析知ab≥4且a=1，b=4时取等号，所以16a2+b2≥2⋅4ab故选：ABD．三、填空题12．（2024·