高中数学-零点的存在性及其近似值的求法教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计

一、教材分析

本节课是高中数学人教B版必修一第三章一《函数》一第二节一

《函数与方程、不等式之间的关系》的第二课时内容一《零点的存在

性及其近似值的求法》，本节课是在学习了集合与常用逻辑用语，函

数概念、性质、一元一次函数、一元二次函数后，研究函数与方程、

不等式关系的内容。

为了帮助学生认识函数与方程、不等式的关系，教科书分三个层

面来展现：第一层面，从简单的一元二次方程和二次函数入手，建立

起方程的根和函数的零点的联系；第二层面，建立二次函数的零点及

其与对应方程、不等式解集之间的关系；第三层面，通过二分法求方

程近似解，体现函数与方程的关系.

本节内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了函数与方

程、数形结合、算法思想和逼近思想等数学思想。“承前”是上节学

习内容《函数的零点》的自然延伸，“启后”是渗透逼近思想，对学

生以后学习球的面积体积公式的由来等微积分的知识起了奠基的作

用。

二、学情分析

学生在学习本节内容之前已经学习了“方程的根与函数的零点”,

理解函数的零点与方程的根的关系，并具有一定的数形结合思想，这

些成为本节知识学习的生长点，但是学生在学习本节内容的时候可能

会对二分法的本质理解不够透彻，在如何缩小零点所在区间，特别是

在“循环迭代与替换区间端点”过程造成一定的难度。同时在运算过

程中，数值较繁琐，这些都使学生对本节的学习与理解产生较大的阻

碍。因此在教学中应该多给学生创设熟悉的问题情境，引导学生观察,

思考，计算和总结，使他们理解问题背后的本质从而得出结论.

三、教学目标

1、知识与技能：

(1)掌握零点存在的两个前提条件，并会判断零点存在的区间；

(2)体会二分法的思想，掌握二分法求方程近似解的一般步骤。

(3)会用二分法求函数零点的近似解，并能用计算器辅助求解。

(4)会用二分法思想解决其他的实际问题。

2、过程与方法：

(1)通过求具体函数零点近似解介绍二分法并总结其步骤，体现了

从特殊到一般的认知过程；

(2)整个教学过程中还渗透了函数与方程、数形结合、算法思想和

逼近思想等数学思想；

3、情感与态度：

(1)通过创设情境调动学生参与课堂的热情，激发学生学习数学的

情感。

(2)在二分法步骤的探索、发现过程中，通过合作学习，培养学生的

团结协作的思想品质。与此同时获得成功的体验，锻炼了克服困难的

意志，建立学习数学的自信心。

4、教学重点和难点

(1)教学重点:掌握零点存在性定理的内容；理解二分法的原理；掌

握用二分法求函数零点近似解的步骤。

(2)教学难点:二分法原理的理解，以及归纳用二分法求函数零点近

似解的步骤；

四、教学方法

本节课采用的是问题驱动、启发探究的教学方法。通过小组合作、

互动探究、分化难点的学习指导方法，把问题逐步推进、拾级而上,

并辅以多媒体教学手段，使学生自主探究二分法的原理。

五、教学过程设计

(一)复习旧知、探索新知

【复习回顾一抛出问题】

1、什么叫函数的零点？

2、求函数y=2x+2,y=x?一2x+l的零点分别是什么？你是如何

3、零点的分类：变号零点与不变号零点

【设计意图】以问题复习旧知，为学习新知识做准备。

3、思考：/(x)=V-2x+2的零点又如何求呢？

【生】思考问题，从而发现用已有知识无法求得该函数的零点;

【设计意图】通过设置疑问，使学生初步意识到我们需要寻求另外一

种求函数零点的方法，从而为二分法的出现埋下伏笔。

(二)【探究一】函数零点存在性的探索-----零点存在性定理

【思考】观察下列两组画面，哪一组能说明小马一定过了河？

,尼

*巴

【问题1】你能试着画出小马过河可能的路线图吗？

【生】很容易得到第二幅图能说明小马一定过了河；

【师】课件展示可能的路线图

【设计意图】通过生动的事例，很容易使学生得出结论，为零点存在

性定理的条件f(a)f(b)<0的得出做好铺垫，也为后面

“可能有几个零点”埋下伏笔；

【问题2】A、B是函数y=f(x)在区间［a,b］上图像的的两个端点，哪

一组能说明函数y=f(x)在区间(a,b)上一定有零点？

个个

.A.A

~------------------------------------b—

aa

0bX0

Bx

图一图二

Ay八y

-----------------------a------------b------->--------------------a--------------------1—»

b

.B

01.Bk0

x

.A.A

图三图四

【问题3］在区间(a,b)上一定有零点的图像它们的共同特点是什么？

【问题4］如果满足f(a)-f(b)(O的条件，那么函数y=f(x)在区间

个

b)上有零点吗？

---------------------------y---------

.B

【问题5】若函数满足上述2条件，则函数在区间3加上一定存在零

点，那么有几个零点？请动手画一下吧

个y

.A

___________________Q_______x

.B

【问题6】能不能改为“至少有一个变号零点”？

【问题7】能不能改为“至少有一个不变号零点”？

【归纳总结1］：零点存在性定理(课件展示)

如果函数)，=/(x)在区间［。刈上的图像连续不间断，并且在它的

两个端点处的函数值异号，即/3)"(份＜0,则这个函数在这个

区间上，至少有一个零点，即存在一点使/(%)=0；

总结：_____________________________________________________

【辨一辨】已知函数/(x)=/—2x+2是连续不间断，它在下列哪个区

间内有零点()A.(-3,-2)B.(-2,0)

C.(0,2)D.(3,4)

思考：如果去掉选项，如何确定零点存在区间？取区间的原则是什

么？

【生】在老师精心设计的问题串的引领下，轻松得出零点存在性定理

成立的两个条件；

【师】引领学生发现零点存在性定理只能用于判断变号零点的存在性;

【设计意图】通过对零点存在性定理的探究发现，我们已经能判断出

函数/(尤)=/_尤_1在(1,2)上有零点，但是却并不能求

出零点，再次抛出问题，为二分法的探究做好铺垫；

【探究二】求函数零点近似解的方法的探索-一二分法创设情境一一

突破难点

观看视频思考以下问题：

(1)猫每次都从何处砍断管子？

(2)猫砍断管子后如何判断老鼠位置的？

(3)你能叙述一下猫找到老鼠的过程吗？

【生】回答问题；

【师】汤姆就是通过不断地把管子一分为二，逐步逼近老鼠从而找到

老鼠，汤姆用到的这种方法在我们日常生活中也用广泛的应用,

比如线路断路、水管的泄露、地下管道的堵塞等故障的查找都

用到了这种方法一二分法，今天我们学习(板书)利用二分法

求函数零点的近似解；

【设计意图】从学生感兴趣的实际问题入手，激发了学生的学习兴趣，

更重要的是不知不觉地突破难点。

【探究2】求函数/(x)=d7_i在区间(一2,0)上的零点(精确到1/8)

-20

【问题1】如何快速缩小零点所在区间呢？中点坐标计算公式是什么？

【小组合作探究】

每4人一组互相配合，一人按计算器，两人记录过程，一人将结

果整理到表格中;

【生】有了猫与老鼠的铺垫，很容易想到快速缩小零点区间的方法是

取中点，在老师精心设计的问题串的引领下以及小组的合作交流中，

很容易体会到二分法的实质--通过不断地一分为二，缩小零点存在

的区间，逐步逼近零点；

【师】通过问题引领，使学生发现要按照取中点，比较中点函数值与

0的关系，定区间的步骤来探究零点的近似值；

【设计意图】二分法思想有了猫和老鼠的初体验，再加上探究求函数

/(x)=V一2x+2在区间(-2,0)上的零点的二次体验，学

生能够很好地体会二分法的实质；

【问题3］计算到何时停止呢？

【生】在计算的过程中发现，这样周而复始下去何时停止啊？

【师】给出精确度，讲解何时停止计算；

【设计意图】使学生发现这样下去只能一步步的缩小零点存在的区间,

而并求不出零点，这时再抛出精确度，使学生能够更好

地体会精确度的重要性，以及精确与近似的相对统一；

【归纳总结2】：二分法的定义：

对于在区间团向上连续不断且/⑷・/(。)<0的函数y=f(x),通过不断的

把函数的零点所在的区间［a向一分为二，使区间的两个端点逐步逼近

零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).

思考1:二分法求零点近似值的理论依据是什么？

思考2：二分法只能求什么样的零点呢？

【探究三】探索用二分法求函数零点近似解的步骤

【问题4】若将上述问题一般化，你能试着总结一下用二分法求函数

y=f(x)在区间(a,b)上零点近似解的步骤？

【归纳总结3］用二分法求函数零点近似值的步骤:

【生】小组合作探究并展示

【师】在学生归纳不出的时候，适时地给与点拨，提升；

【设计意图】学生通过体验求函数/(刈=/一2犬+2在区间(-2,0)上

的零点近似值的过程，不难归纳出求一般函数y=f(x)在区间(a,b)

上零点近似值的步骤，再去掉区间范围引导学生思考如何确定零点存

在的初始区间，都有哪些方法。

【设计意图】强调二分法只能用于求变号零点的近似值；

三、课堂小结：这节课你都收获了哪些知识，应用了哪些数学思想方

法，提升了哪些学科素养？

学情分析

学生在学习本节内容之前已经学习了“方程的根与函数的零点”,

理解函数的零点与方程的根的关系，并具有一定的数形结合思想，这

些成为本节知识学习的生长点，但是学生在学习本节内容的时候可能

会对二分法的本质理解不够透彻，在如何缩小零点所在区间，特别是

在“循环迭代与替换区间端点”过程造成一定的难度。同时在运算过

程中，数值较繁琐，这些都使学生对本节的学习与理解产生较大的阻

碍。因此在教学中应该多给学生创设熟悉的问题情境，引导学生观察,

思考，计算和总结，使他们理解问题背后的本质从而得出结论.

效果分析

在课堂中，教师把零点存在性定理，二分法的定义及方法的探索、

发现等思维过程，知识的形成过程，作为教学重点。教师在教学上采

用启发式、自主探究式的教学方法，采用了从特殊到一般，从具体到

抽象的数学思想，让学生经历从具体情境中抽象出零点存在性定理，

二分法方法的形成过程，更重要的指导思想是归纳总结、数形结合。

引导学生从实际情境中发现规律，总结零点存在性定理，二分法的基

本方法的获得过程。目的是使学生体会二分法与实际生活的有关联系,

感受数学的整体性，促使学生不知不觉地参与教学全过程。

就课堂反馈情况来看，提问具有科学性，语言具有针对性，引起

了不同程度学生的有效思考，提问照顾到了数学比较薄弱的学生，并

推动着课堂活动地不断前进。内容安排合理，师生配合比较和谐，从

气氛中可以感受到，不同程度学生得到了关注，也充分表达了自己的

理解。充分调动学生的积极性和能动性，打开了学生思维。重点突出，

前后呼应，学生完成的比较理想，实现了预期的教学目标。学生的课

堂活动很积极，课堂气氛融洽，实现了良好的师生互动，完成了预先

的教学设计过程。

就学生的课后反馈来看，基础较好的学生反映课堂容量较小，也

有部分同学反映练习题比较简单，随堂练习在层次上没有太大差异,

不能很好的满足各个层次学生的需要，今后在习题的选择上应多下功

夫，多查阅些资料，精选细练，力求让每个学生各有所得，更好的实

现课堂教学的时效性。

教材分析

本节课是高中数学人教B版必修一第三章一《函数》一第二节一

《函数与方程、不等式之间的关系》的第二课时内容一《零点的存在

性及其近似值的求法》，本节课是在学习了集合与常用逻辑用语，函

数概念、性质、一元一次函数、一元二次函数后，研究函数与方程、

不等式关系的内容。

为了帮助学生认识函数与方程、不等式的关系，教科书分三个层

面来展现：第一层面，从简单的一元二次方程和二次函数入手，建立

起方程的根和函数的零点的联系；第二层面，建立二次函数的零点及

其与对应方程、不等式解集之间的关系；第三层面，通过二分法求方

程近似解，体现函数与方程的关系.

本节内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了函数与方

程、数形结合、算法思想和逼近思想等数学思想。“承前”是上节学

习内容《函数的零点》的自然延伸，“启后”是渗透逼近思想，对学

生以后学习球的面积体积公式的由来等微积分的知识起了奠基的作

用。

评测练习

(限时30分钟，满分100分)设计者:

一、选择题(每小题5分)

1.用二分法求函数/(r)=3?-6的零点时，初始区间可选为

().

A.(0,1)B.住2)C.(23)D.

◎4)

2.下列函数图象与X轴均有交点，其中能用二分法求函数零点近似值

的是().

A.f(x)=x3—8B.f(x)=lnx+3C.f(x)=x'+2啦x+2

D.f(x)=—x2+4x+1

4.用二分法求方程〃x)=o在［ai］内的近似根，要求精确度为0.01,

则至少要使用()次二分法.

A.5B.6C.7D.8

二、填空题（每小题5分）

5.设/（x）=3，+3x-8,用二分法求方程T+3x-8=0在丫€（上2）内近似解过程中,

得到川）<0，/（1.5）>0>/（1.25）<0»则方程3,+3x-8=0的根落在的区间

是•

6.用二分法求方程/_2〜5=0在区间［23］内的实根，取区间中点%=2.5，

那么下一个有根区间是.

三、解答题

7.求方程2x'+3x—3=0的一个近似解（精确度0.1）.

11.在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路

发生了故障，这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？如

果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线

杆子，10km长，大约有200多根电线杆子呢！想一想，维修线路的

工人师傅怎样工作最合理？

课后反思

本节课是一节新授课，整节课先探究三次函数一2x+2存

不存在零点，再探究如何求出(-2,0)上的零点，符合学生的认知规

律，从课前准备，课中观察习题反馈，以及课后调研发现，学生基本

上能够达到预期的目的。总结本节课的成功之处我认为有以下几点：

1.明确的学习目标

根据教学大纲的要求，我为本节课设定了两个教学目标，同时为

目标设定了对应的评价机制。良好的学习目标以及配套的评价有助于

引领教师的授课走向，检查教学内容的达成情况，有助于学生明确本

节课要完成的任务以及完成的程度。本节课，目标全部达成。

2.教学设计中注重教学内容的生成过程

在零点存在定理的生成环节中，我不是直接的给出定理内容而是

引导学生一起探究得出结论，学生通过小马过河的实例很容易使学生

总结得到，函数在(a,b)上有零点的前提条件之一是f(a)f(b)〈O,