1.1菱形的性质与判定（第三课时）课件北师大版九年级数学上册

第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定（第三课时）数学九年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版课前预习01菱形的两个面积公式.（1）S＝

⁠；（2）S＝

⁠.注：在对角线互相垂直的四边形中，一条对角线将四边形分成

有公共底边的两个三角形，这两个三角形的高的和恰好是四边

形的另一条对角线的长.由三角形的面积公式可得，对角线互相

垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的一半.底×高

数学九年级上册BS版典例讲练02

如图，两张宽度都为1的平直纸条，交叉叠放在一起，两纸条边

缘的夹角α＝30°，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积

为

⁠.2

【思路导航】过点

A

作

A

E⊥

BC

于点E，

A

F⊥

C

D于点F，则可

得到

A

E，

A

F的长，再证▱

ABC

D是菱形，得到

A

D＝

C

D，利

用30°角求得

C

D的长，最后由菱形的面积公式即可求解.【解析】如图，过点

A

作

AE

⊥

BC

于点

E

，

AF

⊥

CD

于点

F

，则

AE

＝

AF

＝1.∵

AD

∥

BC

，

AB

∥

CD

，∴四边形

ABCD

是平行四

边形.∴▱

ABCD

的面积＝

BC

·

AE

＝

CD

·

AF

.

∴

BC

＝

CD

.

∴▱

ABCD

是菱形.∴

AD

＝

CD

.

∵∠

ADC

＝α＝30°，∠

AFD

＝90°，∴

CD

＝

AD

＝2

AF

＝2.∴菱形

ABCD

的面积＝

CD

·

AF

＝2×1＝2.故答案为2.【点拨】熟练掌握菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性

质、含30°角的直角三角形的性质等知识，证明四边形

ABCD

为

菱形是解决本题的关键.

如图，已知菱形

ABC

D的周长为20，

AC

∶

B

D＝1∶2，则菱形

ABC

D的面积是

⁠.20

如图，在四边形

ABC

D中，已知

A

D∥

BC

，点E为

BC

的中点，

BC

＝2

A

D，E

A

＝ED＝2，

AC

与ED相交于点F.（1）当

AB

与

AC

具有什么位置关系时，四边形

A

E

C

D是菱形？（2）在（1）的条件下求出此时菱形

A

E

C

D的面积.【思路导航】（1）先得到

AB

∥DE，当四边形

A

E

C

D为菱形

时，对角线

AC

⊥DE，因此只要

AB

⊥

AC

，就可以得到菱形

A

E

C

D；（2）利用菱形的面积公式计算即可.解：（1）当

AB

⊥

AC

时，四边形

AECD

是菱形.理由如下：∵点

E

为

BC

的中点，

BC

＝2

AD

，∴

BE

＝

EC

＝

AD

.

又∵

AD

∥

BC

，∴四边形

ABED

和四边形

AECD

均为平行四边形.∴

AB

∥

ED

.

∵

AB

⊥

AC

，∴

DE

⊥

AC

.

∴四边形

AECD

是菱形.（2）如图，过点

A

作

AG

⊥

BE

于点

G

.

由（1）知

EA

＝

AD

＝

EC

＝

BE

，

AB

＝

ED

.

∵

EA

＝

ED

＝2，∴

AE

＝

BE

＝

AB

＝

EC

＝2.∴△

ABE

是等边三角形.∴∠

AEB

＝60°.

【点拨】掌握平行四边形和菱形的性质和判定是解决本题的关

键，在求菱形的面积时，若没有告诉对角线的长度，作底边上

的高是关键，用底乘高得到菱形的面积.

如图，在▱

ABC

D中，

A

E⊥

BC

，

A

F⊥

C

D，垂足分别为E，

F，且

B

E＝DF.（1）求证：▱

ABC

D是菱形；

（2）若

AB

＝5，

AC

＝6，求四边形

ABC

D的面积.

如图，在四边形

ABC

D中，

AC

⊥

B

D于点O，

A

O＝

C

O＝4，

B

O＝DO＝3，点

P

为线段

AC

上的一个动点.过点

P

分别作

PM

⊥

A

D于点

M

，作

PN

⊥D

C

于点

N

，连接

PB

.

在点

P

运动的过程中，

求

PM

＋

PN

＋

PB

的最小值.【思路导航】先判断出四边形

ABC

D的形状，从而得到

C

D，

A

D的长度，连接

P

D，由三角形面积关系求出

PM

＋

PN

的值，则

当

PB

最短时，

PM

＋

PN

＋

PB

有最小值，则当

PB

⊥

AC

时，

PB

最短.解：∵

AO

＝

CO

＝4，

BO

＝

DO

＝3，∴

AC

＝8，四边形

ABCD

是平行四边形.∵

AC

⊥

BD

于点

O

，∴▱

ABCD

是菱形，

∴

CD

＝

AD

＝5.如图，连接

PD

.

∴5×（

PM

＋

PN

）＝8×3.∴

PM

＋

PN

＝4.8.∴当

PB

最短时，

PM

＋

PN

＋

PB

有最小值.由垂线段最短可知，当

PB

⊥

AC

时，

PB

最短.∴当点

P

与点

O

重合时，