高中数学专题3 . 4 函数的应用(一)

专题3.4函数的应用(一)

【知识亮解】

知识点一一次函数模型

形如＞，=心+1的函数为一次函数模型,其中

知识点二二次函数模型

1.一般式：尸加+版+以〃#。).

2.顶点式：y=a(x—/?)2+%(。上0).

3.两点式：v="(x—M(x—")(a50).

知识点三幕函数模型

1.解析式：y=axfl+b{a,b,a为常数，aNO).

2.单调性：其增长情况由Y中的色的取值而定.

【亮题剖析】

亮题一：一次函数模型的应用实例

例1某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每

份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖

出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才

能使每月所获利润最大.

跟踪训练1某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李.若超过规定的质量，则需购买行李

票，行李费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示.

(1)根据图象数据，求y与x之间的函数关系式.

(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少？

亮题二、二次函数模型的应用实例

例2牧场中羊群的最大蓄养量为机只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须

留出适当的空闲率.已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为

k(k>0).(空闲率指空闲量与最大蓄养量的比值)

(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；

(2)求羊群年增长量的最大值；

(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围.

跟踪训练2某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价

与日均销售量的关系如表所示.

销售单价/元6789101112

日均销售量/桶480440400360320280240

请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？

亮题三、募函数与分段函数模型

例3(1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为了=

/(a为常数)，其中x不超过5万元，己知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告

费用投入5万元，预计今年药品利润为万元.

跟踪训练3经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间/(天)的函数，且销售量近似

地满足儿)=—2r+200(』W50,，GN),前30天价格为g⑺=摄+30(1&W30,fGN),后20天价格为g⑺

=45(31WK50,ZCN).

(1)写出该种商品的日销售额S与时间f的函数关系；

(2)求日销售额S的最大值.

【亮点训练及检测】

一、单选题

1.某公司今年销售一种产品，一月份获得利润1()万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利42

万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相同.设二、三月份利润的月增长率为X,则x满足的方程为()

A.10(1+X)2=42

B.10+10(l+x)2=42

C.10+10(1+%)+10(1+2%)=42

D.10+10(l+x)+10(l+x)2=42

2.近几个月某地区的口罩的月消耗量逐月增加，若第1月的口罩月消耗量增长率为4,第2月的口罩月消

耗量增长率为4,这两个月口罩月消耗量的月平均增长率为广，则以下关系正确的是()

22

A.f=rtr2B.r<rtr2C.2r=rt+r2D.2r<rt+r2

3.单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量"，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸

多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系％=于黑其中4为安全距离，v为

车速(m/s)•当安全距离”。取30m时，该道路一小时〃道路容量〃的最大值约为()

A.135B.149

C.165D.195

4.牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为"，则经过一定时间，后

的温度T满足("一7；),其中1是环境温度，人称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶,

研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃.经测量室温为25℃,茶水降至75℃大约用时1分钟，那

么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待()(参考数据：馆3”0.4771,lg5«0.6990,

lgll«1.0414)

A.4分钟B.5分钟C.6分钟D.7分钟

XX<Q

5.已知函数/(x)=x-l'~,若方程/(£)=依有4个不同的实数根，则实数”的取值范

x3-(a+l)x2+2ax,x>0

围是()

A.[0,1)B.(0,1)C.(0,1]D.

6.一个矩形的周长是20,矩形的长y关于宽x的函数解析式为()(默认y>x)

A.y=10—x(0<x<5)

B.y=10-2x(0<x<10)

C.y=20—x(0<x<5)

D.y=20-2x(0<x<10)

7.下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为()

①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学;

②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；

③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.

其中y表示离开家的距离，t表示所用时间.

A.④①②B.③①②C.②①④D.③②①

8.某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y

(微克)与时间小时)之间近似满足如图所示的曲线.据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25

微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗该疾病有效的时间为（）

C.4一小时D.5小时

16

9.已知某商品的进货成本为10（元/件），经过长时间调研，发现售价x（元）与月销售量y（件）满足函

数关系式丫=3吧+%.为了获得最大利润，商品售价应为（）

X'X

A.80元B.607CC.50元D.40元

10.已知某炮弹飞行高度h（单位：m）与时间x（单位：s）之间的函数关系式为〃=130/-5/，则炮弹飞

行高度高于240m的时间长为（）

A.22sB.23sC.24sD.25s

11.电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”,

成为网络热句.讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾

违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫

总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验，一般

情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的散点图如图所示，且该图表示的函数模型

,、40sin—x+13,0<x<2（.

=J13）.假设该人喝一瓶啤酒后至少经过〃小时才可以驾车，则〃的值

90e-0-5v+14,x>2

为（）（参考数据：lnl5«2.71,ln30«3.40）

酒精含里(mg/lOOnl)

A

60

**%

40•3

••

20■■.

••

••

--------------1-------1-------1-------1------1--_]*•]•-----，a时间(h)

O246810121416

车辆驾驶人员血液酒精含量阈值

驾驶行为类别阈值(mg/100ml)

饮酒驾车[20,80)

醉酒驾车[80,+oo)

A.7B.6C.5D.4

12.规定从甲地到乙地通话fmin的电话费由〃f)=L6x(O.5xN+l)(元)决定，其中f>0,⑴是大于或等于

f的最小整数，如[2]=2,[2.7]=3,[2.1]=3,则从甲地到乙地通话时间为4.5min的电话费为()元

A.4.8B.5.2C.5.6D.6

二、填空题

13.现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取4粒

红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩10粒；第二轮，甲每次取1粒红豆，乙每次

取2粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩〃(〃eN",16<〃<20)粒.则红豆和白豆共有粒.

14.某同学设想用"高个子系数上来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160cm及其以

下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190cm及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应

为1,请给出一个符合该同学想法、合理的成年男子高个子系数k关于身高'(cm)的函数关系式.

15.某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：(1)按照使用面积缴

纳，每平方米4元；(2)按照建筑面积缴纳，每平方米3元.李明家的使用面积为60平方米.如果他家选择第

(2)种方案缴纳供暖费较少，那么它的建筑面积最多不超过平方米.

16.某商人将彩电先按原价提高40%,然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多

赚了270元，则每台彩电的原价为_______元.

17.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的利润)’与营运年数X

(xeN)为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过年.

2x4—,0<x1,

18.已知函数〃力=「[若方程小)=心叫有两个不同的实根"，且满足;<和<|,

—XH---,X>1.

[22

则实数a的取值范围为.

19.已知max{a,6}=设函数/(x)=max{N，x-2},其定义域为{x|x<0或x>0},则函数的

最小值为.

20.如图，有一长40=30米，宽4V=20米的矩形地块，物业计划将其中的矩形ABC。建为仓库，要求顶

点C在地块对角线MN上，分别在边AM,4V上，其他地方建停车场和路，设A3=x米.

则矩形48co的面积S关于x的函数解析式为.

21.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为

C(X)=1X2+2X+20(万元).一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为

万件.

—X2—2比尤<0

22.已知函数/(x)=八’一，若函数g(x)=f(x)-机与x轴有3个交点，则实数机的取值范围是

x,x>0

三、解答题

23.用洗衣机洗衣时，洗涤并甩干后进入漂洗阶段.每次漂洗都经历放水、漂洗、甩干三个过程.每次漂洗时,

衣服的残留物都能均匀溶于水，在甩干时也能被均匀甩出，并且每次甩干后重量(残留物和水分重量总和)

4

不变.假设衣服在洗涤并甩干后，残留物与水分共有"，千克，其中水分占

(1)求第一次漂洗后剩余残留物与这次漂洗放入水的重量x的函数关系式；

(2)若进行两次漂洗，加入水总重量为4千克，求剩余残留物)’的最小值.

24.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量/(，)(单位:

kt,O<t<-

2，当消毒;(h)后，测量得药物释放量等于

1^/0?)与时间/(单位：h)的函数关系为

11

—,r>-

kt2

l(mg/m3)；而实验表明，当药物释放量小于：(mg/n?)对人体无害.

(1)求人的值;

(2)若使用该消毒剂对房间进行消毒，求对人体有害的时间有多长?

25.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度丫(单

位：千米/时)是关于车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米，造成阻塞，

此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时，研究表明，当2()<x42(X)时，

车流速度v是车流密度x的一次函数.

(1)当()Vx<2(X)时，求函数v(x)的表达式；

(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)=x“(x)

可以达到最大？并求出最大值.(结果精确到1辆/时)

26.某人驱车以52km/h的速度从A地驶往260km处的8地，到达8地并停留1.5h后，再以65km/h的速

度返回A地，试将此人驱车走过的路程5（单位：km）表示为时间单位：h）的函数.

27.重庆朝天门批发市场某服装店试销一种成本为每件5（）元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单

价，且获利不得高于成本的60%.经试销发现，销售量.v（件）与销售单价x（元）符合函数＞=&+3且x=70

时，y=30；x=60时，y=40.

（1）求函数丫=履+〃的解析式；

（2）若该服装店获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，

服装店可获得最大利润，最大利润是多少元？

28.为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业

生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某大学毕业生校照相关政策投资销售一种新型节能灯,

已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y（单位:件）与销售单价X（单位:

元）之间的关系近似满足一次函数：y=T0x+500.

（1）设他每月获得的利润为卬（单位:元），写出他每月获得的利润W与销售单价X的函数关系式，并求出

利润W-的最大值.

（2）相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果他想要每月获得的利润不少于3000元，那

么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？

29.某市运管部门响应国家“绿色出行，节能环保”的号召，购买了一批豪华新能源公交车投入营运.据市场

分析，这批客车营运的总利润）’（单位：10万元）与营运年数封》是正整数）成二次函数关系，其中第三年总

利润为2,且投入运营第六年总利润最大达到110万元

（1）请求出了关于x的函数关系式；

（2）求营运的年平均总利润的最大值（注：年平均总利润=营驯罚润）

密运年数

30.某地区上年度点价0.8元/千瓦小时，年用量为〃千瓦小时；本年度计划将电价降低为0.55元/千瓦小

时至0.75元/千瓦小时之间，而用户期望电价为0.4元/千瓦小时，经测算，下调电价后，新增的用电量与

实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为公，该地区电力的成本为0.3元/千瓦小时

（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益了与实际电价x的关系式；

（2）设上=0.2〃，当电价最低定为多少时仍可以保证电力部门的收益比上一年至少增长20%?（收益=实际

用电量x（实际电价-成本价））

31.某公司生产某种电子产品的固定成本为2万元，每生产一台该产品需增加投入100元，已知总收入R

2

八一、牛工口生■&公、潴口o400x--x,0<x<400

（单位：兀）关于月产量x（单位：台）满足函数：R="j2

80000,%>400

（1）将利润f（x）（单位：元）表示成月产量x的函数

（2）当月产量x为何值时，公司所获利润最大，最大利润是多少？（利润+总成本=总收入）

32.上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的

发车时间间隔t（单位：分钟）满足24f420,reN*,经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔

t相关，当104/420时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当24f<10时，载客量会减少，减少的人

数与（10T）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为P⑺.

（1）求"⑺的解析式；

（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为。=驯上逊-360（元），问当发车时间间隔为多少时，该时

段这条线路每分钟的净收益最大?

专题3.4函数的应用(徵

【知识亮解】

知识点一一次函数模型

形如y=fcc+1的函数为一次函数模型,其中ZWO.

知识点二二次函数模型

1.一般式：丫=ax2+bx+c(aW0).

2.顶点式：y=a(x~~/?)2+A(aW0).

3.两点式：v=〃(x—，〃)(x—〃)(aW0).

知识点三幕函数模型

1.解析式：y—a^+bia,b,a为常数，aWO).

2.单调性：其增长情况由Y中的纥的取值而定.

【亮题剖析】

亮题一：一次函数模型的应用实例

例1某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉

的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出

400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报

刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大.

解设每天从报社买进x份(250WxW400)报纸；

每月所获利润是y元，则每月售出报纸共(20x+10X250)份;

每月退回报社报纸共10X(x-250)份.

依题意得，y=(0.40-0.24)X(20x+10X250)—(0.24-0.08)X10(%-250).

即y=0.16(20x+2500)-0.16(1Ox-2500),

化简得y=1.6x+800,其中250WxW400,

因为此一次函数(y=&+。，么#0)的*=1.6>0,

所以y是一个单调增函数，再由250WxW400知，

当x=400时，y取得最大值，

此时>=1.6X400+800=1440(元).

所以买进400份所获利润最大，获利1440元.

反思感悟一次函数模型的特点和求解方法

(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线.

(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解.

跟踪训练1某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李.若超过规定的质量,

则需购买行李票，行李费用》(元)是行李质量X(kg)的一次函数，其图象如图所示.

(1)根据图象数据，求y与x之间的函数关系式.

(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少？

解(1)设y与x之间的函数关系式为

由图象可知，当x=60时，y=6；

当x=80时，y=10.

60*+6=6,解得b——6.

所以k=g,

80k+6=10.

TX—6,x>30,

所以y与x之间的函数关系式为y=7

.0,xW30.

(2)根据题意，当y=0时，xW30.

所以旅客最多可免费携带行李的质量为30kg.

亮题二、二次函数模型的应用实例

例2牧场中羊群的最大蓄养量为〃/只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大

蓄养量，必须留出适当的空闲率.已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘

积成正比，比例系数为&(Q0).(空闲率指空闲量与最大蓄养量的比值)

(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；

(2)求羊群年增长量的最大值；

(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围.

解(1)根据题意，由于最大蓄养量为切只，实际蓄养量为x只，

则蓄养率为志故空闲率为1寸

由此可得y=从1一.)(04<加).

(2)对原二次函数配方，得y=一备。2-巾不)

=3-郢+竽

即当尸勺时，y取得最大值空

(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，

则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量，

即0<x+y<m.

因为当尸夕时，)，3=牛，

所以0与+空<MJ,

解得一2<&<2.

又因为Q0,所以0<k<2.

反思感悟利用二次函数求最值的方法及注意点

(1)方法：根据实斥问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函

数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.

(2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符.

跟踪训练2某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是

5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示.

销售单价/元6789101112

日均销售量/桶480440400360320280240

请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？

解由表中数据可知，销售单价每增加［元，日均销售量就减少40桶，

设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元，

在此情况下的日均销售量为480—40*—1)=(520—40x)(桶).

令520-40x>0,贝［0<.r<13.

y=(520-40x)x-200=—40『+520氏一200

=-40(X-6.5)2+1490—.

易知，当x=6.5时，y有最大值.

所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大利润.

亮题三、塞函数与分段函数模型

例3(1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存

在的关系为y=V(a为常数)，其中x不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药

品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为万元.

答案125

解析由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y=尸中，即3“=27,

解得a=3,故函数解析式为y=x\所以当x=5时，y=125.

(2)手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)、60分钟以上(不包括60分钟)按30

元计费，超过500分钟的部分按0.15元/分钟计费，假如上网时间过短，使用量在1分钟以

下不计费，在1分钟以上(包括1分钟)按0.5元/分钟计费，手机上网不收通话费和漫游费.

①12月份小王手机上网使用量20小时，要付多少钱？

②小舟10月份付了90元的手机上网费，那么他上网时间是装管

③电脑上网费包月60元/月，根据时间长短，你会选择哪种方式上网呢？

解设上网时间为x分钟，由已知条件知所付费用)，关于x的函数解析式为y=

’0,0Wx<l,

0.5x,1WXW60,

*

30,60<A<500,

.30+0.15(%-500),x>500.

①当x=20X60=l20(),即x>50()时，应付y=3O+O.I5X(l20()-500)=135(元).

②90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，由3O+O.15(x—500)=90可得，上网时

间为900分钟.

③令60=30+0.15(%-500),

解得x=700.

故当一个月经常上网(一个月使用量超过700分钟)时选择电脑上网，而当短时间上网(一个月

使用量不超过700分钟)时选择手机上网.

反思感悟(1)处理称函数模型的步骤

①阅读理解、认真审题.

②用数学符号表示相关量，列出函数解析式.

③根据幕函数的性质推导运算，求得结果.

④转化成具体问题，给出解答.

(2)应用分段函数时的三个注意点

①分段函数的''段”一定要分合理，不重不漏.

②分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.

③分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.

跟踪训练3经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间f(天)的函数，

且销售量近似地满足式f)=-2/+200(1W/W50,fWN),前30天价格为g⑺=$+30(1W/W30,

/GN),后20天价格为g(f)=45(31WW50,fCN).

(1)写出该种商品的日销售额S与时间f的函数关系；

(2)求日销售额S的最大值.

解(1)根据题意得

_«(-2什200)&+30),1QW30,fGN,

.45(—2/+200),31W/W50,PN,

一1+40r+6000,1W/W30,/SN,

即5=

-90f+9000,31WfW50,/SN.

⑵①当lWfW30,/GN时，S=-(/-20)2+6400,

当f=20时，S的最大值为6400.

②当31WW5O,£N时，S=-90f+9000为减函数,

当f=31时，S的最大值是6210.

因为621(X6400,

所以当，=20时，日销售额S有最大值6400.

【亮点训练及检测】

一、单选题

1.某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第

一季度共获利42万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相同.设二、三月份利润的月增

长率为X,则x满足的方程为()

A.10(1+x)2=42

B.10+10(l+x)2=42

C.10+10(l+x)+10(l+2x)=42

D.10+10(1+X)+10(1+X)2=42

【答案】D

【分析】

分别求出二、三份的利润再求和即可.

【详解】

二、三月份利润的月增长率为X,

则二月份获得利润为10•(1+%)万元，三月份获得利润为10•(1+x)。万元，

依题意得：10+10-(1+*)+I0-(1+X)2=42.

故选：D.

2.近几个月某地区的口罩的月消耗量逐月增加，若第1月的口罩月消耗量增长率为第

2月的口罩月消耗量增长率为小这两个月口罩月消耗量的月平均增长率为厂，则以下关系

正确的是()

2

A.r=r}r2B.r<r}r2C.2r=rt+r2D.2r<i]+r2

【答案】D

【分析】

求出4,公，的关系，再根据基本不等式判断.

【详解】

2

由题意(1+4)(1+&)=(l+r)2,r+2r=r}r2+r}+r2,

4=4时，/=径，lr=rx+r2,

4*乃时，rt+r2>>

1+，="(1+))(1+4)<1+)；l+4，2r<4+4,因此

2

综上2r3+4，r>rxr2.

故选：D.

3.单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量"，与道路设施、交通服务、

环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系

N=,其中4,为安全距离，”为车速(m/s).当安全距离4取30m时，该道

路一小时"道路容量”的最大值约为()

A.135B.149

C.165D.195

【答案】B

【分析】

把给定函数变形，利用基本不等式即可得解.

【详解】

_即_1000<1000

2

由题意得，/~0.7V+0.3V+d„~n7+n.+30-0.7+2703^30，当且仅当03―上，

”U./+U.JVHp

V

即v=10时取"=",

所以该道路一小时"道路容量"的最大值约为149.

故选：B

4.牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为"，则经

过一定时间f后的温度T满足其中4是环境温度，/?称为半衰期，现

有一杯80(的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃.经测量室温

为25℃,茶水降至75°(:大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需

要等待()(参考数据：lg3»0.4771,1g5«0.6990,Iglla1.0414)

A.4分钟B.5分钟C.6分钟D.7分钟

【答案】C

【分析】

根据已知条件代入公式计算得到号=(3『，再把该值代入，利用对数的运算即可求得结果.

【详解】

根据题意，75-25=0(80-25)，即¥=

设茶水从75℃降至55℃大约用时t分钟，则55-25=

两边同时取对数：lg[=lg[9)=f=1)

解得f=譬W"5,所以从泡茶开始大约需要等待5+1=6分钟

1-lg11

故选：C

【点睛】

关键点点睛：本题考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，解题的关键是熟练运用

对数的运算公式，考查学生的审题分析能力与运算求解能力，属于基础题.

'2

x<o

5.已知函数/(x)=x-l'x",若方程/(x)=ox有4个不同的实数根，则

x3-(a+l)x2+2ar,x>0

实数。的取值范围是()

A.[0,1)B.(0,1)C.(0,1]D.(1,+℃)

【答案】B

【分析】

当x>0时，方程为炉-(a+l)x+a=0最多有2个根，则当x«0时至少有2个根，根据这两

种情况讨论可得.

【详解】

解：由题意，当x>0时，x3-(t7+l)x2+2ar=ar,

可得d-g+Dx+a：。，g|J(x-l)(x-a)=O,最多只有两个根，分别为1和“，此时a>0

旦a工1.

那么当X<0时，则£=以必有两个根，即X2=苏—火，

X-}

可得=0,

则有两个根分别为x=0和》=二，

解得

综上，可知实数。的取值范围是（0,1）.

故选:B.

6.一个矩形的周长是20,矩形的长y关于宽x的函数解析式为（）（默认y>x）

A.y=10—x（0<x<5）

B.y=10—2x（0<x<10）

C.y=20—x（0<x<5）

D.y=20-2x（0<x<10）

【答案】A

【分析】

利用周长列方程，化简求得y关于x的表达式，求得定义域，由此求得函数解析式.

【详解】

由题意可知2y+2x=20,即y=10-x,又10-x>x,所以0<x<5.

所以函数解析式为y=10—x（0<x<5）.

故选：A

7.下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（）

①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学;

②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；

③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.

y\叫/叫/y\

其中y表示离开家的距离，t表示所用时间.

A.④①②B.③①②C.②①④D.③②①

【答案】A

【分析】

根据三个事件的特征，分析离家距离的变化情况，选出符合事件的图像.

【详解】

对于事件①，中途返回家，离家距离为0,故图像④符合；

对于事件②，堵车中途耽搁了一些时间，中间有段时间离家距离不变，故图像①符合；

对于事件③，前面速度慢，后面赶时间加快速度，故图像②符合；

故选：A.

8.某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血

液中的含药量了（微克）与时间1（小时）之间近似满足如图所示的曲线.据进一步测定，每

毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗该疾病有效的时间

为（）

A.4小时B.4^小时

8

C.4"小时D.5小时

16

【答案】C

【分析】

根据图像求出函数的解析式，再将函数值0.25代入函数解析式，构造不等式f（t）WQ25,

可以求出每亳升血液中含药量不少于0.25微克的起止时刻，它们之间的差值为服药一次治

疗疾病的有效时间.

【详解】

由题意，当04/41时，函数图象是一个线段，由于过原点与点（1,4）,故其解析式为y=4f,

0<r<l；

当fWl时，函数的解析式为、=此时“（1,4）在曲线上，将此点的坐标代入函数解析

式得4=（；）",解得〃=3,故函数的解析式为y=.21.

4r(0<r<l)4do.25

,令…,唯"5

所以y=/(f)=-(1丫-\

t>—1115

解得-16,/.•.服药一次治疗疾病有效的时间为5-二=4个小时.

1§161671T6

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题考查了函数模型的选择与应用，以及分段函数求解析式及解指数不等式，

利用函数图像求出函数的解析式是解题的关键，考查学生的计算能力，属于一般题.

9.已知某商品的进货成本为10（元/件），经过长时间调研，发现售价x（元）与月销售量

y（件）满足函数关系式y=3吧+%.为了获得最大利润，商品售价应为（）

XX

A.80元B.60元C.50元D.40元

【答案】D

【分析】

依题意可得利润函数f（x）=（x-10）（名"+我）=-生等+幽+800,进而可得结果.

【详解】

工…r,，、/〃、/16000800、1600008000。~、

由题意可知，利润f（x）=（x-10）；—।------------------;H-------H800,

〈1x）xx

令L=f,贝UgQ）=-160000产+80001+800.当且仅当f='-即x=4（）（元）时利润最大.

x40

故选：D.

10.已知某炮弹飞行高度/）（单位：m）与时间x（单位：s）之间的函数关系式为〃=130/-5-，

则炮弹飞行高度高于240m的时间长为（）

A.22sB.23sC.24sD.25s

【答案】A

【分析】

令130f-5产>240解不等式可得答案.

【详解】

根据题意可得130r-5户>240，解得2<f<24,

则炮弹飞行高度高于240m的时间长为24-2=22（s）.

故选：A.

11.电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规

范，亲人两行泪”，成为网络热句.讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车2019年，公安部交

通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯

罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后

或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤

酒后酒精在人体血液中的变化规律的散点图如图所示，且该图表示的函数模型

（\

/、40sin-Kx+13,0<x<2

/卜）=13）.假设该人喝一瓶啤酒后至少经过M〃€N+）小时才可以

90产+14,共2

驾车，则〃的值为（）（参考数据：lnl5土2.71,In30«3.40）

酒精含里（i-g/lOOml）

八

60

40

20

Li_s_时间(h)

O246810121416

车辆驾驶人员血液酒精含量阈值

驾驶行为类别阈值(mg/100ml)

饮酒驾车[20,80)

醉酒驾车[80,+oo)

A.7B.6C.5D.4

【答案】B

【分析】

可结合分段函数建立不等式90e*，+14<20,利用指数不等式的求解即可

【详解】

由散点图可知，该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其血液酒精含量大于20,

（n>2n-2

则》[90-«-°-5"+14<20，即je«，，<±，

I15

解得〃>21n15a2*2.71=5.42,

1.,"wN",的最小值为6,

故至少经过6小时才可以驾车.

故选：B.

12.规定从甲地到乙地通话fmin的电话费由“f）=L6x（O.5xn+l）（元）决定，其中1>0,

口]是大于或等于/的最小整数，如[2]=2,[2.刀=3,[2.1]=3,则从甲地到乙地通话时间为

4.5min的电话费为（）元

A.4.8B.5.2C.5.6D.6

【答案】C

【分析】

计算[4.5]=5,代入函数/⑺，计算即得结果.

【详解】

由[4.5]=5,得/(f)=1.6x(0.5x[f]+l)=1.6x(0.5x5+l)=5.6.

故选：C.

~~,、空.题

13.现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一

轮甲每次取4粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩1()粒；第

二轮，甲每次取1粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩

eN',16<”<20)粒.则红豆和白豆共有粒.

【答案】58

【分析】

设红豆有x粒，白豆有y粒，由两轮的结果可构造方程组，根据"的范围可计算求得％儿

加和即可得到结果.

【详解】

设红豆有尤粒，白豆有y粒，

由第一轮结果可知：：=’券，整理可得：*=2>-20；

由第二轮结果可知：枭…，整理可得：V=2x-2”：

88

x=—

x=2y-203

当”=17时,由74（舍）;

y=2x-34

U蔗得:3

当”=18时,由76（舍卜

y=2x-36

y=T

X=32

当〃=19时,由得:,/.x+y=32+26=58

y=2x-38y=26