高中数学选修2-1 第三章 空间向量(A卷)

高中数学选修2-1第三章空间向量（A卷）试卷

一、选择题（共17题；共68分）

1.下列命题中正确的有（）

①分别在两个平面内的两个向量不能转化为共面向量.

②空间中，首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.

③因为向量由长度和方向两个属性构成，一般地说，向量不能比较大小.

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

【答案】C

【考点】空间向量的概念

【解析】在空间任何两个向量都是共面的，所以①不正确.在②中它们的和应为零向量，所以②正确，

③是正确的.

———1一1一

2.已知点M在平面A8C内，并且对空间任意一点。，=.式?一，+—。3+—。。,则*的值为（）

33

A.3

B.0

1

C.—

D.1

【答案】C

【考点】空间向量中的共线与共面问题

———1—1—11」•故

【解析】；OM=10口+—。3+_。。,且〃、小8、C四点共面，.•・x+=+==l,

33333

选c.

3.已知点4在基底｛a,b,c｝下的坐标为（8,6,4）,其中a=i+/,b=j+k,c—k+i,则点A在基底｛/,/,k｝

下的坐标为（）

A.(12,14,10)

B.(10,12,14)

C.(14,10,12)

D.（4,2,3）

【答案】A

【考点】空间向量基本定理

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【由军析］8a+6b+4c=8(，+j)+6(/+k)+4(k+i)=12，+14j+10k

・••点4在｛，，/,k｝下的坐标为(12,14,10).

4.已知。=(1,2,—y),b=(x91,2),且(a+2b)ll(2。一b),则(

1

A.x=­,y=l

r

O

1

B.x=一,y=-4

1

C.x=2,y=——

4

D.x=l,y=—1

【答案】B

【考点】空间向量坐标运算

【解析】。+2b=(l+2x,4,4—y)f2a—b=(2—x,3,—2y—2),(a+2b)II(2a—b),

5.若a=(x,2,0),b=(3,2—x,x2),且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是()

A.x<—4

B.—4<x<0

C.0<x<4

D.x>4

【答案】A

【考点】空间向量坐标运算

a-b

【解析】依题意得cos〈a,b〉=——<0,/.ab<0,即3x+2(2—x)<0,解得x<—4.

ab

6.如下图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于。，点E、F、G分别是AB、AD,DC的中点，则下列

向量的数量积等于。2的是()

A

C

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IBAAC

B2而五

C2FGAC

D-2EFCB

【答案】c

【考点】数量积的概念，数量积运算律

____________________________1

【解析】2BAAC=~a2'故A错；2皿DB=F故B错；［EFCB—』故D

错，只有C正确.

7.已知向量。山满足条件：|a|=2,|b|=,且。与2b—。互相垂直，则〈a,b〉=()

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

【答案】B

【考点】数量积的概念，数量积的应用

【解析】:a«L(2b-a);.a・(2b—a)=2|a||b|cos〈。,b)—a2=2x2xcos〈a,b〉—22=0,

cos〈a,b〉=〈a,b)=45°.

8.已知直线/i的方向向量。=(2,4,x),直线a的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且a_Lb,则x+y的

值是()

A.-3或1

B.3或一1

C.-3

D.1

【答案】A

【考点】直线方向向量的求法

［解析］旧=，2，+4~二=6,x=±4,又a_Lb,

a・b=2x2+4y+2x=0,

1

y=—l——x,.,.当x=4时，y=—3,当x=-4时，y=l,

x+y=l或一3.故选A.

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9.在如下图所示的坐标系中，A8CD—4B1GD1为正方体，给出下列结论:

①直线DDi的一个方向向量为(0,0,1).②直线BG的一个方向向量为(0,1,1).

③平面ABB14的一个法向量为(0,1,0).④平面&CD的一个法向量为(1,1,1).

其中正确的个数为()

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

【答案】C

【考点】直线方向向量的求法，平面法向量的求法

【解析】AA-=(°，0，1)；BQUADI,=(0,1,1),直线ADJ•平面A8B14,⑺

=(0,1,0)；G点坐标为(1,1,1),与平面&CD不垂直，，④错.

10.在棱长为2的正方体A8CD-48iCiDi中，。是底面A8C。的中心，E,F分别是CQ,AD的中点，那么

异面直线。E和FDi所成角的余弦值等于()

5

B.叵

5

4

c.—

5

D.—

【答案】B

【考点】空间向量求线线角

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【解析】以。为原点，分别以DC,DDi所在直线为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，

则。(1,1,0),E(0,2,1),F(l,0,0),Di(0,0,2).故=(一1，1.1),FJ).=(一1，0,2),

==叵，故。后与尸。所成角的余弦值是

cos<OE.FDX>-。七_31

'"H皿舟#5

5

11.平面a的斜线/与它在这个平面上射影/，的方向向量分别为。=(1,0,1),6=(0,1,1),则斜线/与平

面a所成的角为()

A.300

B.45°

C.60°

D.90°

【答案】C

【考点】空间向量求线线角

ab1

【解析】/与a所成的角为a与b所成的角(或其补角)，【•cos(a,b>\a\-\b\2

〈a,b)=60°.

12.如下图，在直三棱柱ABC—AiBiG中，NACB=90°,2AC=44=8C=2.若二面角BLDC-Q的大小为

60°,则A。的长为()

A.g

B市

C.2

D①

2

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【答案】A

【考点】空间向量求二面角，空间向量求距离

【解析】如下图，以C为坐标原点，CA,CB,CG所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

则C(0,0,0),4(1,0,0),Bi(0,2,2),Ci(0,0,2)

X

设AD=o,则D点坐标为(1,0,a),C^)=(l，。，。)，2,2),

IJUCR,=0,[2y+2z=0

设平面BiCD的一个法向量为m=(x,y,z).则'___*=<,,令z=-l,

IinCD=01x+az=0

得m=(a,1,-1),又平面GDC的一个法向量为n=(0,1,0),

W-7711L

则由COS60'=------,得j=一，即a=.h,故AD=

小⑶2k

13.已知a=(l,5,—2),b=(m,2,m+2),若cr_Lb,则m的值为()

A.O

B.6

C.-6

D.±6

【答案】B

【考点】空间向量坐标运算

【解析】<a>Lb,二lxm+5x2—2(m+2)=0,解得m=6.

14.平行六面体ABCD—481GD1中，向量一15、_1/1_工为两两的夹角均为60。，且

AB\=L\AD\^2:\AA:=3：则元等于()

A.5

B.6

C.4

D.8

【答案】A

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【考点】数量积的概念，数量积的应用

【解析】设彳方=。，.五）=6，.工^]=c,则，*]=a+b+c,

.j-2=a2+62+c2+2ac+2b-c+2ca=l2+22+32+2xlx3cos60°+2x2x3cos600+2xlx2cos60°=25,因止匕

西尸.

15.已知平面a的一个法向量。=（一2,-2,1）,点4一1,3,0）在。内，则P（—2,1,4）到a的距离为（）

A.10

B.3

【答案】D

【考点】空间向量求距离

IP4-/1I10

【解析】设点P到a的距离为h,则h=“1=—.

\n\3

16.二面角的棱上有4B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知A8

=4,4c=6,BD=8,CD=2后,则该二面角的大小为（）

A.1500

B.45°

C.60°

D.120°

【答案】C

【考点】空间向量求二面角

【解析】由条件，知Dxi=o,同册=0,ct>=CA+Ai+Bt>

••.|CD|2=|C2|2+|Z5|2+|55|2+2CAAB+2ABBD+2CABD

=62+42+82+2x6x8cos<CA,BD>=（2所？

..[,,

•1.cos<CA,BDAD>=120°，，二面角的大小为6。°.故选c.

2

17.如下图，在45。的二面角a—/—6的棱上有两点A、B,点C、。分别在a、6内，且ACLA8,

NA8O=45。，AC=BD=AB=L则CD的长度（）

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【答案】B

【考点】数量积运算律，数量积的应用，空间向量求距离

【解析】由戏+册cos<.正，^)>=cos45»=-.

2=2+

ic2)ici+赤Bb-+20xi+戏册+口册)

=3+2(0+lxlxcos135°+lxlxcos1200)=2-正,

•・I劭户也一万

二、解答题(共5题；共32分)

18.已知空间中三点4一2,0,2),8(-1,1,2),C(一3,0,4),设。=万^b=JC

(1).则向量a与向量b的夹角的余弦值()

AM

;

一

R、而

D._____

10

D.叵

10

【答案】C

【考点】空间向量求线线角

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【解析】/a=(l,1,0),6=(-1,0,2),

ab=(l,1,0)-(-1,0,2)=—1,

又mi=jF+F+o：=w，|"=正1)?+0”=后

即向量a与向量b的夹角的余弦值为一如”.

10

⑵.若ka+b与ka—2b互相垂直，则实数k的值()

A.k=2

5

B.k=——

C.k=2或k=——

,

5

D.k=3或k=——

n

【答案】c

【考点】空间向量坐标运算，数量积运算律,数量积的应用

【解析】法一：ka+b=(k—1,k,2).ka—25=伙+2,k,—4),且ka+b与ka—2b互相垂直,

(k—1,k,2)・(k+2,k,-4)=(k—l)(k+2)+N—8=0,

■■

.“=2或女=一一，.,.当ka+b与ka—2b互相垂直时，实数k的值为2或一一.

7O

法二：由(2)知|a|=,|b|=,ab=—1,

2222

(ka+b)(ka—2b)=ka—ka-b—2b=2k+k—10=0f

■

得k=2或k=——.

19.如下图所示，在直三棱柱A8C—4B1Q中，底面是等腰直角三角形，N473=90。,

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4）Hi

B

侧棱A4=2,CA=2,。是CG的中点，试问E点满足土石为（）时，点4到平面AED的距离为

4B3

A.1

B.1

1

C.—

4

D正

【答案】A

【考点】空间向量求距离

【解析】以点C为坐标原点，CA,CB,CG所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如下图所示的空间直角坐标

0,1),8(0,2,0),设瓦^=入瓦tyAG(0,1),则E(2儿2(1一川,

2A).

又7^2>=(-2,0,1),.衣=(2仇一1),2(1一川，2A),

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I〃-zLD=0.-2x+二=0.

设n=(x,y,z)为平面AED的法向量，则____

11-AE-0.2A<Z-1)+2y(l-Z)+2/tz=0s

取口，则尸匕4z=2,即〃=Q.1-3A

1—Z1-z

由于“」/广川_2#.।41

出丁u-----------------'r-------,••<1_q;又AW(O,1),解得A==.

同35+(--)22

1-z

所以，E点满足四&为2时，4到平面AE。的距离为2近

4B23

20.如下图所示，在正方体A8CD-4B1GD1中，E是棱DDi的中点.

⑴.直线8E和平面AB8/1所成的角的正弦值为()

1

A.—

7

B.—

3

1

C.一

:在

1

【答案】B

【考点】空间向量求线面角

【解析】设正方体的棱长为1,如下图所示，以,工方，，力，，口］为单位正交基底建立空间直角坐标系.

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依题意，得8（1,。，。），E（。，1，-）-4。，0,。），。（。，1,0）,

所以*=（—1,1,2），.力=（0，1，0）.

工

在正方体ABCD-481GD1中，因为A。JL平面ABBiAi,所以彳力是平面ABB遇i的一个法向量，设直线BE

与平面A8B1A1所成的角为。，则

感.彷J_22

sini?==3.即直线BE与平面AB8遇1所成的角的正弦值为二.

।丽力।r133

C\F

（2）.在棱GD1上的点F,当一—为（）时使81FII平面4BE.

CQi

1

A.—

2

1

B.—

3

1

c.—

4

D史

5

【答案】A

【考点】直线方向向量与平面法向量证证明位置关系

【解析】依题意，得4（0,0,1）,反?]=（一1，0,1）,反方=（一1,1,E）.

工

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-x+z=0：

设n=(x,y,z)是平面4BE得一个法向量，则由n•瓦11=0,力反去'=。，得,1

“-x+V+-Z=0.

所以x=z,y=P取z=2,得n=(2,1,2).设F是棱GD1上的点，则F(t,1,l)(O<r<l).

又8i(l,0,1),所以瓦方=“一1,1,0),而81F评面48E,于是&FII平面48代方方・。=0小一1,

…会点.这说明在棱…M一时，研

2G42

平面48E.故选A.

21.如下图，在四棱锥P—A8CD中，PD_L底面ABCD,底面A8CD为正方形，PD=DC,E、F分别是A8、PB

的中点.

⑴.在平面PAD内求一点G(),使GF_L平面PCB.

A.PD的中点

Q.AD的中点

C.PA的中点

D.无法确定

【答案】B

【考点】直线方向向量与平面法向量证证明位置关系

【解析】以“、DC、DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如下图),

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aaaa

设AD=a,则。(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、E(a,~,0)、F(~，~，-)>P(0,0,

a).

,aaa

⑴设G(x,0,z),则GW平面PAD.声后=%一三，--,z--

工工工

_aaaaa

FGCB=(x~^,—3,Zf)・(a，0,0)=a(x--)=0,-.x=--.

__aaaa/a

户"d=(xf,---Z--H0，-a,a)=r_+a(z--)=0,

工工工21

z=0.

a

二.G点坐标为（不，0,0）,即G点为AD的中点.

⑵.DB与平面DEF所成角的正弦值为（）

【答案】B

【考点】空间向量求线面角

【解析】设平面。EF的法向量为"=（x,y,z）.

\DF=o（乂

flysz）-（-5-s-）=os

由_.得，｛

|〃°E=°（芭工二）.（,g0）=0

即取x=l,则y=—2,z=l,n=(l,—2,1).

a八

av+—1,=0.

)•

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ayf2

＜方力,

cos