第17讲 直线与圆的位置关系8种常见考法归类-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假课（人教A版2019选择性必修第一册）解析版

第17讲直线与圆的位置关系8种常见考法归类

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学习目标

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1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.

2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.体会用代数方法处理几何问题的思想.

||函基础知识

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知识点1直线与圆的三种位置关系

\Aa±Bb±C\

几何法：设圆心到直线的距离d=d<rd=rd>r

yjA2+B2

代数法：

判定方法

砂+c=o,

由(x—a)2+(y—b)2=r2/>04=0zf<0

消元得到一元二次方程的判别式A

知识点2直线与圆相交

1.解决圆的弦长问题的方法

几何法

(常用)

如图所示，设直线/被圆C截得的弦为A3,圆的半径为r,圆心到直线的

距离为d,则有关系式：IAB[=2产方

若斜率为4的直线与圆相交于JA)»B(XB>_PB)两点，则|A8|=

71+依7(XA+XB)2—4xAXB=y1+表・山一.1(其中20).特别地，当A=0

_

时，|AB|=|XA—XB|;当斜率不存在时，|AB|=lyAJBI

代数法注：直线/：Ax+By+C^O；圆Mf+y+Dx+Ey+FnO

fAr+By+C=O

联立，，八尸八消去“y”得到关于“X”的一元二次函

x2+y2+Dx+Ey+F^O

数ax2+bx+C-Or结合韦达定理可得到，XAXB

2.一当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的RtZXAO。，在解题时要注

意把它和点到直线的距离公式结合起来使用.

知识点3直线与圆相切

1.求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切

点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情

况.(注：过圆内一点，不能作圆的切线)

2.求过圆上的一点(xo,泗)的切线方程的方法

先求切点与圆心连线的斜率A,若〃不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y=yo；若k=0,则结

合图形可直接写出切线方程为x=x。；若*存在且AW0,则由垂直关系知切线的斜率为一/由点斜式可写

出切线方程.

3.求过圆外一点(xo,刈)的圆的切线方程的方法

当斜率存在时，设为A,则切线方程为y—yo=A(x—xo),即fcr—y+y。-Axo=O.

几何法

由圆心到直线的距离等于半径，即可求出土的值，进而写出切线方程

当斜率存在时，设为A,则切线方程为y—yo=-x—劭)，即Axo+yo，代

代数法入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由4=0,求得上切线方程即

可求出

4.圆的切线方程常用结论

(1)过圆炉+产二产上一点P(M,则)的圆的切线方程为“武+%9=产.

(2)过圆(X—。产+&一分)2=户上一点尸(Xo,则)的圆的切线方程为(xo—a)(x—a)+(yo-5)(y—〃)=/.

(3)过圆/+丁2=产外一点Ma。，川)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为X修+了0丁=/.

5.切线长公式

记圆C：(x-a)2+(y—b)2=，；过圆外一点P做圆C的切线，切点为“，利用勾股定理求P"；

PH=y]PC2-CH2

知识点4圆上点到直线的最大(小)距离

设圆心到直线的距离为d,圆的半径为一

①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d+r,最小距离为d-r；

②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为2八最小距离为0；

③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为d+r,最小距离为0；

小的解题策略1

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1'判断直线与圆位置关系的方法

(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径，•的大小关系判断.

(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.

2、过圆上一点(xo,如)的圆的切线方程的求法

先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为一：，由点斜式可得切线方程.如果斜率

K

为零或不存在，则由图形可直接得切线方程＞=加或》=刈.

3、过圆外一点(xo,g)的切线方程的求法

设切线方程为y一州=©》一功)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k,也就得切线方

程.当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x=xo,因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而

过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方程组的方法求解.

4、求切线长(最值)的两种方法

(1)(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；

(2)(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.

5、求弦长的两种方法

(1)由半径长八弦心距乩弦长/的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理/+(g2=，求解，这是

常用解法.

（2）联立直线与圆的方程，消元得到关于M或），）的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐

标（或纵坐标）之间的关系，代入两点间距离公式求解.此解法很烦琐，一般不用.

6、坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”

考点剖析

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考点一：直线与圆位置关系的判断

（一）判断直线与圆的位置关系

1.（2023•新疆喀什•校考模拟预测）已知圆C:/+y2+2x-4y=0,直线/:2x-y-l=0,则圆C

与直线/（）

A.相交B.相切C.相离D,相交且直线过圆C的圆心

【答案】B

【分析】根据题意只需判断圆心到直线的距离与半径比较大小即可判断.

【详解】由》2+/+2丫-4），=0可得（％+1）2+（丫—2）2=5,

故圆心C（-1,2）,半径r=下,

1-2-2-115

则圆心至U直线/：2x-y-1=0的距离d=加=r,

V22+l7T

故宜线与圆C相切.

故选：B

变式1.⑵23・四川成都・成都七中校考一模）圆—+g）』与直线升》的位置关系为

（）

A.相切B.相交C.相离D.无法确定

【答案】A

【分析】求出圆心坐标与半径，再将直线方程化为一般式，根据圆心到直线的距离即可判断.

【详解】圆C：（x—l）2+（y-l）2=l的圆心为半径r=l,

直线/：：+5=1即3x+4y-12=0,则圆心到直线的距离d=1=厂,

43V32+42

所以直线/与圆C相切.

故选：A

变式2.（2023春・北京海淀•高二北理工附中校考期中）直线冰-y+2a=0（aeR）与圆一+丁=5的位置关

系为（）

A.相离B.相切C.相交D.不确定

【答案】C

【分析】求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系.

【详解】由题知，圆心坐标（0,0）,半径布,

将直线ax-y+2a=0化为点斜式得y=a（x+2）,

知该直线过定点（-2,0）,

又（-2『+（）2<5,故该定点在圆内，

所以该直线与圆幺+丁=5必相交.

故选：C

变式3.（2023秋•高二课时练习）M（Xo，y°）为圆V+y2=l内异于圆心的一点，则直线%》+%丫=1与该圆

的位置关系为（）

A.相切B.相交C.相离D.相切或相交

【答案】C

【分析】由题意可得说+呼<1,结合圆心到直线为/+%y=i的距离判断与半径的大小关系，即得答案.

【详解】由题意知M5,%）为圆Y+>2=1内异于圆心的一点，

则X：+巾<1,

,1,

22

而圆：x+y^l的圆心到直线%>x+%>=1的距离为"=/22>1=,，

故直线与x+%y=l与该圆的位置关系为相离,

故选：c

(二)由直线与圆的位置关系求参数

、例2.(2023♦辽宁•校联考二模)己知圆0:/+丫2=汽直线/：3x+4y=r2,若/与圆。相交，则

().

A.点—3,4)在/上B.点P(3,4)在圆。上

C.点*3,4)在圆。内D.点P(3,4)在圆。外

【答案】D

【分析】根据/与圆。相交，可知圆心到直线的距离小于半径，列出不等式，再判断点与直线和圆的关系.

【详解】由已知/与圆。相交，，可知圆心到直线的距离小于半径，

则有I।,=2＜］，故厂＜5,

V32+425

把P(3,4)代入3x+4y=9+16=25＞产，所以点不在直线/上，故A错误；

又|OP|=5＞r,则点P(2,3)在圆。外，故D正确.

故选：D.

变式1.(2023春・浙江•高二期中)已知圆(x-l)2+(y-2尸=4关于直线"+勿-2=0对称，则J/+从的

最小值为()

A.-B.拽C.叵D.1

555

【答案】B

［分析］根据题意分析可得益将表示直线。+给-2=0上任一点P,力)到坐标原点0(0,0)的距离，结合

点到直线的距离运算求解.

【详解】已知圆*-a+(y-2)2=4的圆心为(1,2),半径厂=2,

由题意可知：直线-2=0过圆心(1,2),即a+2b-2=0,

行不表示直线给-2=0上任一点P(。⑼到坐标原点0(0,0)的距离，

故的最小值即为0(0,0)到直线。+»-2=0的距离d=叱=挛.

V1+225

故选：B.

变式2.（2023秋•高一单元测试）若直线>=依-1与曲线y=J-x2+4x-3恰有两个公共点，则实数k的取

值范围是（）

bc

A/”）-H）-[4]D.（同

【答案】B

【分析】根据题意得：、=丘-1为恒过定点A（0,-1）的直线，曲线表示圆心为（2,0）,半径为1的上半圆，由

此利用数形结合思想能求出k的取值范围.

（详解】根据题意得y=依-1为恒过定点40,-1）的直线，

由曲线y=J—x2+4x—3,可得（工一2）2+）廿=l（y20）,

所以曲线表示圆心为C（2,0）,半径为1的上半圆，如图所示，

当直线与圆C相切时，有=解得k=0（舍去）或左=:，

收+13

把8（1,0）代入y=H-l得"1=0,解得&=1,

因为直线"履一与曲线产/3+4犬_3恰有两个公共点,

4「4、

由图可得即忆的取值范围是1,-1.

故选:B.

变式3.（2023•湖南益阳•安化县第二中学校考三模）直线y=x+b与曲线x=二了恰有两个不同的公共点，

则实数b的取值范围是（）

A.-\<b<41B.-y/2<h<-\

C.—1<Z?<—1,b=—\/2D.--72<<1

【答案】B

【分析】y=x+6是斜率为1的直线，曲线x=/二手是以原点为圆心1为半径的圆的右半圆，利用点到直线

距离公式，结合图形可得答案.

【详解】y=x+0是斜率为1的直线,

曲线X=Jl-y2是以原点为圆心1为半径的圆的右半圆,

画出它们的图象如图,

当直线与圆相切时,nb=-0b=E（舍去），

当直线过（1,0）时，b=-\,

由图可以看出:

当-&时，直线与半圆有两个公共点,

故选：B.

变式4.（2023•新疆阿克苏•校考一模）已知两点A（TT7,0）,3（租,0）（加>0）,点尸是圆。-3）2+（>-4产=1上

任意一点，/AP8是锐角，则加的取值范围为（）

A.（0,6）B.（0,4）C.（4,6）D.[6,+oo）

【答案】B

【分析】设出点尸的坐标，利用向量建立不等式，再借助几何意义求出圆上点到原点距离最小值即可.

【详解】设点P（%，%）,显然圆（x-3y+（y—4）2=1与x轴相离，即点API不共线，于是NAP8是锐角当

且仅当PA4>8>0，

而1ft4=1>8=（〃?一天,一%）,依题意，（-m-x0'）（m-x0'）+y1>0,即107KJx；+y：恒成立,

+表示点P到原点的距离,又点尸是圆（x-3）?+（y-4尸=1上任意一点，其圆心为（3,4）,半径为1,

因此Qx；+y：）min=J32+4-1=4,从而1川<4，乂相>0，解得0<〃?<4，

所以m的取值范围为（0,4）.

故选：B

变式5.（2023春•上海黄浦•高二上海市向明中学校考期中）圆C:x2+y2+2x+4y_3=0上到直线x+y+l=0

距离为血的点有（）

A.2个B.3个C.4个D.无数个

【答案】B

【分析】求出圆心到直线的距离，再结合图象分析可得结果.

【详解】因为》2+9+2》+4>-3=0化为标准方程为(x+iy+(y+2)2=8,

所以圆心C(-l,-2),圆的半径厂=2近，

|-1-2+1|

又因为圆心C到直线x+y+1=0的距离为"==3,

所以r-d=近>

所以过圆心平行于直线x+y+l=O的直线与圆有2个交点，另一条与直线x+y+l=O的距离为夜的平行线

与圆相切，只有1个交点，如图所示,

所以圆C上到直线x+y+l=O的距离为近的点共有3个.

故选：B.

变式6.(2023•湖南长沙•周南中学校考二模)若圆(x-a>+(y-3/=20上有四个点到直线2x-y+l=0的

距离为耳，则实数。的取值范围是.

37

【答案】

212

【分析】由题意得，圆心到直线2x-y+l=0的距离〈石，列式求解即可.

【详解】圆(*-4+(k3)2=20的圆心为33),半径为2石,

因为圆(x-a)2+(y-3)2=2O上有四个点到直线2x-y+l=0的距离为出,

所以圆心到直线2x-y+l=0的距离d<石,

所以公需〈石，解得一|<”(

故答案为:

变式7.【多选】（2023春•贵州遵义•高二遵义市南白中学校考阶段练习）已知直线/：y=x+3圆0:f+y2=4,

则下列说法正确的是（）

A.圆。上恰有1个点到直线/的距离为1,则6=±3五

B.圆。上恰有2个点到直线/的距离为1,则〃e（-3&,3a）

C.圆。上恰有3个点到直线/的距离为1,则6=±&

D.圆。上恰有4个点到直线/的距离为1,贝1股€卜夜，五）

【答案】ACD

【分析】根据圆。上点的个数到直线/的距离为1,数形结合得到圆心到直线/的距离或距离范围，得到方程

或不等式，求出答案.

【详解】圆。:/+丁=4的圆心为（0,0）,半径为2,

A选项，要想圆。上恰有1个点到直线/的距离为1,则圆心到直线/的距离为3,

即/L=3,解得b=±3近，A正确；

Vi+1

B选项，要想圆O上恰有2个点到直线/的距离为1,则圆心到直线/的距离大于1,小于3,

即7瞿e（1,3）,解得be卜3啦，一点）u（a,3夜），B错误；

C选项，圆。上恰有3个点到直线/的距离为1,则圆心到直线/的距离等于1.

即/L=i,解得匕=±虚，c正确；

D选项，圆。上恰有4个点到直线/的距离为1,则圆心到直线，的距离小于1,

即J=J=Y<1,解得匕€卜夜,0）,D正确.

故选：ACD

（三）由直线与圆的位置关系求距离最值

.（2023秋•陕西西安・高二长安一中校考期末）已知直线/：崖->+6=0与圆C:（环l>+（y-1）2=8,

则圆C上的点到直线/的距离的最小值为（）

A.IB.72C.3&D.5正

【答案】B

【分析】确定圆心和半径，计算圆心到直线的距离，再计算最小值得到答案.

【详解】圆C:（x-l）2+（y—l）2=8,圆心为C（l,l）,半径r=2a，

圆心到直线的距离为d=k*S=3&>r,直线和圆相离，

V2

故圆C上的点到直线/的距离的最小值为”_「=3夜-2夜=0.

故选：B

变式1.(2023•广西•校联考模拟预测)已知直线Gnr+(5-2m)y-2=0(weR)和圆O：/+y2=4,则圆心

O到直线/的距离的最大值为()

A.9B.型C.垣D，

5532

【答案】B

【分析】把直线方程化为“a-2y)+5)，-2=0,求得直线/过定点代4],：2),结合圆的几何性质，即可求解.

【详解】由题意，直线如+(5—2m)y—2=0可化为讯x-2y)+5y-2=0,

fx-2y=04242

联立方程组，:八，解得x==g即直线/过定点Pg,J

[5y-2=05555

又由(wi；<人可得定点p在圆内，

由圆的几何性质知，圆心到直线的距离d《IOPi=n+(|j=亭-

故选：B.

变式2.(2023秋•广东梅州•高三大埔县虎山中学校考阶段练习)直线x+y-2=o分别与x轴，y轴交于A,

8两点，点P在圆(x+2『+(y-l)2=；上，则一面积的取值范围是.

【答案】[2,4]

【分析】先求出A,8两点的坐标，则可求出|AB|,然后求出圆心到直线的距离d,从而可求出点P到直线

的距离的最大值”+/■和最小值d-r,进而可求出,A8P面积的最大值和最小值，即可求得结果.

【详解】对于x+y-2=0,当％=0时，y=2,当y=0时，x=2,

所以A(2,0),5(0,2),

所以|A8|=万=20,

圆。+2)2+(y-1)2=1的圆心C(-2,1),半径厂=1,

22

圆心C(-2,1)到直线x+y-2=0的距离为d=H+尸=述>也，

V222

所以点P到直线的距离的最大值d+r=述+走=2应,

22

点尸到直线的距离的最小值d-r=也一旦=近,

22

所以一/WP面积的最大值为人即(d+r)=gx2&x2忘=4,

面积的最小值为:|A3|•(d-力=gx2应x忘=2,

所以.ABP面积的取值范围是[2,4],

故答案为：⑵可

变式3.【多选】(2023春•浙江杭州•高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习)已知P(-l,0),N(0,2),过点

P作直线/：⑪-)=。=0的垂线，垂足为M,则()

A.直线/过定点B.点P到直线/的最大距离为近

C.|MN|的最大值为3D.|MN|的最小值为2

【答案】AC

【分析】由点斜式确定定点，由点M在以原点为圆心，直径为归8|=2的圆上，结合圆的性质判断即可.

【详解】以-y-a=0可化为y=a(x-l),则直线/过定点5(1,0),故A正确；

因为直线/的斜率存在，所以点”与点8不重合，

因为所以点M在以原点为圆心，直径为归a=2的圆上(去掉点8),

点尸到直线/的距离为|PM|,由图可知，04忸河|<2,故B错误；

由图可知，|网4|加时4|陷,即141MMM3,故C正确,D错误;

故选：AC

变式4.（2023春•河北石家庄•高三校联考阶段练习）如图，正方形A8CO的边长为4,E是边A8上的一

动点，/G,EC交EC于点P,且直线FG平分正方形A8C。的周长，当线段3尸的长度最小时，点A到直线

BP的距离为.

【答案】呼

【分析】利用平面几何知识可得出产点的轨迹是圆.适当建系，写出P点的轨迹方程.再利用圆的性质得出当

忸片最小时，B,P,M三点共线，进而求解即可.

【详解】根据题意尸G平分正方形MCD周长，可得FG恒过正方形ABCD的中心，设ABCD的中心为点。,

由PGJ_EC可知，尸点的轨迹是以OC为直径的圆，

以A为坐标原点，A8为x轴，AD为，轴建立直角坐标系，

则A（0,0）,矶4,0）,C（4,4）,0（2,2）,

以OC为直径的圆的方程为（x-3『+（y-3）2=2,

设M为圆心，可知坐标为（3,3）,当|BP|最小时，B,P,"三点共线,

可知此时直线BP的方程为y=-3x+12,

12126回

则点A到直线BP的距离为j]+（3/=旃=

故答案为：处.

5

考点二：直线与圆的交点问题

j',例4.(2023秋•江苏宿迁•高二统考期中)直线y=-x+l与曲线x=了的交点个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】联立方程后考虑方程组的解，从而可得交点的个数.

y=-x+1____

【详解】联立直线方程和曲线方程可得”/_可得17=向7，

x=yl\-y

即匕一八，解得丫=。或y=i，故方程组的解为一八或｛.

[y-y=0[y=0[y=l

故选：c

变式1.(2023秋・浙江嘉兴•高二统考期末)直线2x+)，-2=0与曲线(x+y_l)&2+y2_4=o的交点个数为

()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据题意，由曲线表示一条直线与一个圆，然后分别联立方程，即可得到交点个数.

【详解】因为曲线(x+y-l)后;二=0就是尢+丫―1=。或/+丁=4,表示一条直线与一个圆，

2x+y-2=0人,X=],

联立x+3=0，解得10,即直线2x+y-2=0与直线尤+y—1=0有一个交点(1,0)；此时，^+/-4

没有意义.

8

x=­

2x+y-2=0

联立人‘解得或.,所以直线2x+y-2=0与/+9=4有两个交点

j=2o

y="5

所以直线2x+y-2=0与曲线（x+y-l）Jd+y2-4=0的交点个数为2个.

故选：B

变式2.（2023春•浙江•高二期中）设圆C：x2-2x+y2-3=0,若直线/在y轴上的截距为1,则/与C的

交点个数为（）

A.0B.1C.2D.以上都有可能

【答案】C

【分析】利用直线过定点，判断定点在圆内即可.

【详解】解：直线/在丫轴上的截距为1,

・••直线/过定点（0,1）,

02-2X0+12-3=-2<0-

•・•点（0,1）在圆内，

・•・直线/与C的交点个数为2个.

故选：C.

变式3.（2023秋・四川南充•高二四川省南充高级中学校考阶段练习）已知点A,8是圆C:/+y2=4与X轴

的交点，P为直线/：x=4上的动点，直线E4,PB与圆C的另一个交点分别为N,则直线MN恒过定点

（）

A.（|，0）B.（LO）C.停0）D.：1.0

【答案】B

【分析】由圆的方程，求得A,8的坐标，设出P坐标，写出两直线的方程，分别联立圆与直线，求得的

坐标，求特殊位置解得定点，用一般情况的方程进行验证，可得答案.

【详解】由/+），=4,令y=0,解得x=口，不妨设4（-2,0）,3（2,0）,

设P（4,p）,则直线AP的方程为y.（x+2）,直线研的方程为尸扣-2）,

联立〃J'"）,消去y可得：（36+/卜2+4日+4/744=0,

X2+/=4

设VQ，X）,N（X2，M），则-24=4幺］’,即=）,y=益’,

JO+P36+pDO+p

y=5（x—2）,消去y可得：（4+厂卜2—4p2x+4p2-]6=0,

联立

x~2+y2=4A

4/72-162P2-8-ip

贝I]2X2=，%=2，

4+p24+p24+p

2p2-82（36-p2）

当宜线MN的斜率不存在时,,解得「2=12,此时为=%=1,故直线方程为x=l；

4+p2~36+p2

当直线MN的斜率为0时，则宜线方程y=0,

；［：，可得定点为（1,。），卜而我证此为真:

联立

24〃8P

+

36+674+p8P

当直线MN的斜率存在且不为零时，则斜率％=2

x,-x2—72-2p22P2-8-p-12，

36+p24+p1

则方程为尸券

，将（LO）代入上式,

8P8P4+p1—Ip1+8

则-----------------------------

4+p2p2-\24+p1'即券=一3.翳’等式成立‘

故宜线MN过定点（1,0）,

故选：B.

考点三：圆的切线问题

（一）过圆上一点的切线方程

、］例4.（2023春•天津西青•高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）过点匕,一5二作圆

C:*2+丁=1的切线/,则切线/的方程为.

【答案】x-«y-2=0

【分析】根据题意可知点（g,-塔）在圆C上，结合切线性质结合直线的点斜式运算求解.

【详解】圆C:V+V=1的圆心C（0,0）,

+T=1,则点（提-亭）在圆c上，即点用为切点，

则圆心到切点连线的斜率k=—2—=,可得切线/的斜率勺=包，

1-03

2

故切线/的方程y+等呼[彳)，即x一回一2=0.

故答案为：x—\[?>y—2=0.

变式1.(2023・全国・高三专题练习)经过点(1,0)且与圆》2+丁_4*-25+3=0相切的直线方程为.

【答案】x+y-l=0

【分析】根据直线与圆相切，由圆心到直线的距离相等，分直线的斜率不存在和存在讨论求解.

【详解】解：圆/+/一4工一2^+3=0的标准方程为：(x-2)2+(y-l)2=2,

当直线的斜率不存在时，宜线方程为x=l,不符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线方程为y=Nx-l),即丘-y-4=0,

因为直线与圆相切，

所以圆心到直线的距离相等，即(二尸=叵,

化简得产+2%+1=0，

解得％=—1,x+y—1=0,

综上：直线方程为：x+y-l=(),

故答案为：x+y-l=0

变式2.(2023•山东泰安・校考模拟预测)已知点必1,@在圆C:x2+y2=〃?上，过用作OC的切线/,则/

的倾斜角为()

A.30B.60C.120D.150

【答案】D

【分析】先根据点在圆上，求出加=4,考虑/的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离列出方程，

求出斜率和倾斜角.

【详解】由题意得nz=l+3=4,

当/的斜率不存在时，此时直线方程为x=l,与圆C:x2+V=4相交，不合题意，

当/的斜率存在时，设切线/的方程为y-厉=火(>1),

则匕2金［=2,解得左=_且，

设/的倾斜角为0°4。＜180。，

故/的倾斜角为150.

故选：D

变式3.（2023・天津武清•天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知点4L0）,8（2,0）,经过点5作圆

（x-3）2+（y-2）2=5的切线与y轴交于点P,则|叫=.

【答案】V2

【分析】由直线与圆的位置关系作出切线，求得P（0,l）,即可得解.

【详解】如图所示，设圆心为C点，则C（3,2）,

（2-3）2+（0-2）2=5,则点B在圆上,且媪=*=2,

由PB与圆相切可得仁心•原c=Tn怎B=-g，所以切线方程为y=-；（x-2）,

令X=O,解得y=l,故尸（0,1）,

所以IA”=在+（0_1）2=0

故答案为：0.

变式4.（2023•河南开封・统考三模）已知点41,0）,8（2,0）,经过B作圆（x-3『+（y-2『=5的切线与y轴

交于点P，则tanZAPB=.

【答案】；

【分析】由直线与圆的位置关系作出切线，求得P（0,l）,再用两角和与差的正切公式即可得结果.

【详解】如图所示，设圆心为C点，则C（3,2）,

o-2-0

（2-3）2+（0-2）2=5,则点B在圆上，且端=*=2,

3—2

山尸3与圆相切可得：kPH-kll(:=-l^>kl,ll=--,贝iJtan/OP3=2,OB=2,

则OP=1,故尸(0,1),则tanZAPO=l,

tanZOPB-tanZOPA2-1J

从而可彳导tanZAPD=tan(ZOPfi-ZOPA)=

1+tanZOPBtanZOPA1+2x13

变式5.（2023秋•高二课时练习）从圆灯-2》+货-2>1=0外一点*3,2）向这个圆作两条切线，则两切

线夹角的余弦值为（）

A.gB.-C.2D.6

252

【答案】B

【分析】根据锐角三角函数，结合二倍角公式即可求解.

【详解】由V-2x+y2-2y+l=0得（x—l）?+（y—1）2=1,所以圆心为A（l,l）,半径为厂=1,设切点分别为及C,

连接PA，则ZBPC为两切线的夹角，

由于|PA|=J（3-1『+（2-=/，所以sin?AP3愕=表.

由二倍角公式可得cos?CP81-2sin2?APB1-2融=|,

故选:B

变式6.（2023秋•福建福州•高二福建省连江第一中学校联考期中）已知圆O:Y+V=3,/为过的

圆的切线,A为/上任一点，过4作圆N:（x+2Y+y2=4的切线AP,AQ,切点分别是P和Q,则四边形APNQ

的面积最小值是.

【答案】汉亘心病

33

【分析】求HI直线/的方程，再根据圆的切线长定理求出四边形面积的函数关系，借助点到直线距离求出最

小值作答.

【详解】依题意，直线QM的斜率为0,则直线/的斜率为一日，

直线/的方程为y—血=-在（尤-1）,即x+血y-3=0,圆N的圆心N（-2,0）,半径「=2,

因为为圆N的切线，则“AQNZ,APN,四边形APNQ的面积:

SA/W=2S械=2X；IAP"=2j|ANj=24|4N『-4

1-24-0-3155

乂N(—2,0)到/的距离d=-j====-j=,于是|AN\n.n=d=-j=,

2739

因此(SA/WQ)min=2

所以四边形APN。的面积最小值为冬詈.

故答案为：汉亘

3

（二）过圆外一点的切线方程

'例5.（2023秋・福建莆田•高二校联考期末）求圆。:/+>2一©=0在点尸（1,6）处的切线方程.

【答案】X-岛+2=0

【分析】根据点尸(1,6)在圆。上，求得可得％=-百，得到切线斜率2=也，结合立线的点斜式方程，

即可求解.

【详解】由圆的方程Q：d+y2-4x=0,乂由点尸(1,6)在圆。上，

可得号,。=［叵=-6,所以切线斜率k="，

,Q2-13

所以切线方程为丫-6=停5-1),即x-6y+2=0.

变式1.(2023秋.北京.高二北京一七一中校考阶段练习)过点(T⑶的圆*+3y+(丫-1)2=1的切线方程为

【答案】x=T或3x+4y=0

【分析】根据切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解.

【详解】当切线的斜率不存在时，

切线的方程为x=T，圆心(-3,1)到该直线的距离等于半径1,符合题意，

当切线的斜率存在时，

设过点(-4,3)的切线方程为y—3=A(x+4),即履-y+4#+3=O,

•••圆心到直线kx-y+4k+3=0的距离等于半径，

切线方程为3x+4y=O,

综上所述，切线方程为x=T或3x+4y=0.

故答案为：x=-4或3x+4y=0.

变式2.(2023春•重庆沙坪坝•高一重庆一中校考期末)在平面直角坐标系中，圆C过点A(4,0),8(2,2),

且圆心C在x+y-2=0上.

(1)求圆C的方程；

(2)若己知点P(4,26),过点尸作圆C的切线，求切线的方程.

【答案】(1)(X-2)2+V=4

(2)x-y/3y+2=0

【分析】(1)根据题意，求出AB的中垂线方程，与直线2x-y-4=0联立，可得圆心C的坐标，求出圆的

半径，即可得答案；

(2)分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案.

【详解】(1)因为圆C过A(4,0),8(2,2),则AB的中垂线过圆心C,

设AB的中点为"，则M(3,l),

因为砥所以AB的中垂线方程为广1=工-3,即y=x-2,

0—2

又圆心在x+y-2=0,

X+y-2=0,,[x=2

联立…，解得k，

因此圆心C(2,0),半径厂=|。4|=2,

所以圆C的方程为(x-2)2+y2=4.

(2)因为(4-2-+(2石丫>4,所以P(4,26)在圆C外，

过户(4,26)作圆C的切线，

若切线斜率不存在时，则切线方程为x=4,满足与圆C相切，

若切线斜率存在时，设切线方程y-2G=A(x-4),即履-)—4%+26=0,

则2干2a=2,解得％=且，

Jl+二3

所以切线方程为且x-y-4x巫+2百=0,即x-6y+2=0.

33

综上：切线方程为x=4或x-6y+2=0.

变式3.(2023秋・广东阳江•高二阳江市阳东区第一中学校考期中)已知点尸(2,4),圆0：/+y2=4,则

过点P与圆O相切的直线有条；切线方程为.

【答案】2x=2或3x-4y+10=0

【分析】根据给定条件，确定点P与圆。的位置关系即可作答.

【详解】依题意，22+不=20>4,即点P在圆。外，所以过点P与圆。相切的直线有2条；

显然圆心0(0,0)到直线x=2的距离为圆。的半径2,即直线x=2为圆O的一条切线，

过点F的圆。的切线斜率存在时，设方程为y-4=&(x-2),即日-y-2Z+4=0,

I-2A+4Ic3

由"I=2,解得上=：,贝IJ切线方程为3x-4y+10=0,

所以所求切线方程为x=2或3x-4），+10=0.

变式4.（2023•浙江•校联考模拟预测）已知圆G：/+y2=4和圆G：（x-3）2+（y-2）2=l,则过点

且与C，C?都相切的直线方程为.（写出一条即可）

【答案】x=2或5x+12y-26=0（写出一条即可）

【分析】由直线与圆的位置关系通过几何法计算即可.

【详解】若过例的切线斜率不存在，即为x=2,此时显然与两圆都相切;

44

若过例的切线斜率存在，不妨设为=则C（0,0），G（3,2）到y-§=Mx-2）的距离分别为

45

即y_§=竟(x_2)n5x+12y_26=0.

综上过例与两圆都相切的直线为：x