高中数学必修2-第2课时 平面与平面平行

第2课时平面与平面平行

h预习导学i挑战自我，点点落实

［学习目标］

1.理解平面与平面平行的判定定理、性质定理的含义.

2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述平面与平面平行的判定定理、

性质定理，并知道其地位和作用.

3.能运用平面与平面平行的判定定理、性质定理证明一些空间面面关系的简单

问题.

［知识链接］

I.直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,

则该直线与该平面平行.

2.直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一

平面与此平面的交线与该直线平行.

［预习导引］

面面平行的判定定理、性质定理

\^理

表小、面面平行的判定定理面面平行的性质定理

一个平面内的两条相交直线与另两个平面平行，则任意一个平面

文字叙述一个平面平行，则这两个平面平与这两个平面相交所得的交线互

行相平行

aUa、

bUaa//p、

符号表示>^a///3gr\y=g^a//b

B8c尸b.

b//p>

Z^7

图形表示口

F课堂讲义J重点难点，个个击破

要点一平面与平面的位置关系

例1已知下列说法：

①若两个平面a〃/，aua,buB,则a//b\

②若两个平面a〃6，aua,buB,则a与。是异面直线；

③若两个平面a〃夕，aca,bu。,则。与〃一定不相交；

④若两个平面a〃夕，aua,buB,则。与。平行或异面；

⑤若两个平面aCQ=/?,aua,则a与夕一定相交.

其中正确的是（将你认为正确的序号都填上）.

答案③④

解析①错.。与人也可能异面；

②错.a与8也可能平行；

③对...七〃夕，.♦.a与夕无公共点.

又,：aua,bu8,

'.a与b无公共点；

④对.由已知及③知：。与人无公共点，

那么a〃匕或a与Z?异面；

⑤错.。与夕也可能平行.

规律方法两个平面的位置关系有两种：平行和相交，没有公共点则平行，有公

共点则相交.熟练掌握这两种位置关系，并借助图形来说明，是解决本题的关键.

跟踪演练1如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两

个平面的位置关系一定是（）

A.平行B.相交

C.平行或相交D.不能确定

答案C

解析如图所示，由图可知C正确.

要点二平面与平面平行的判定

例2如图，在正方体ABC。-AiBGOi中，M,E,F,N分别是48,BiCi,

C\D\,D1A1的中点.

求证：（1）E,F,B,。四点共面；

⑵平面MAN〃平面EFDB.

证明⑴连结8Q,

■:E,尸分别是BC,GDi的中点，：.EF//B\D\.

而BO〃助Oi,：.BD//EF.

：.E,F,B,。四点共面.

Q）易知MN〃B\D\,B\D\//BD,：.MN//BD.

又MNQ平面EFDB,BOu平面EFDB,

...MN〃平面EFDB.

连结DF,MF.

,：M,F分别是AiB,GOi的中点，

：.MF//A\D\,MF=A\D\.：.MF//AD,MF=AD.

四边形AOFM是平行四边形，J.AM//DF.

又AMQ平面BDFE,DFu平面BDFE,

〃平面BDFE.

又,：AMCMN=M,AM,MNu平面PMN,

：.平面MAN//平面EFDB.

规律方法证明两个平面平行的关键在于证明线面平行.在证明面面平行时，可

利用面面平行判定定理的推论：如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平

面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即证一个平面内的两条相交直线与另

一个平面的两条相交直线分别平行即可.

跟踪演练2如图，三棱锥尸一ABC中，E,F,G分别是AB,AC,AP的中点.证

明平面GEE〃平面PCB.

证明因为E,EG分别是A8,AC,AP的中点，

所以EE〃BC,GF//CP.

因为后凡GRZ平面PCB,BC,CPu平面PCB,

所以〃平面PCB,GF〃平面PCB.

又EFCGF=F,EF,GFu平面GFE,

所以平面GFE〃平面PCB.

要点三面面平行的性质定理的应用

例3如图，平面四边形的四个顶点A,B,C,。均在平行四边形A5CO

所确定的一个平面a外，且A4，，BB',CC,。。互相平行.

求证：四边形ABC。是平行四边形.

证明在口48'。'。中，A'B'//C'D',

•.'A'B'a平面CD'DC,C'D'U平面C'D'DC,

；.A5〃平面C'D'DC.

同理4A〃平面CDDC.

又A'ACA'B'=A,A'A,A'B'u平面A'B'BA,

，平面〃平面C'D'DC.

•平面ABC。n平面A'B'BA=AB,

平面ABCDA平面C'D'DC=CD,

：.AB//CD.

同理

...四边形ABCD是平行四边形.

规律方法1.利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线

看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与

两平行平面都相交.

2.面面平行=线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、

线面及面面平行的相互转化.

跟踪演练3如图所示，两条异面直线。。与两平行平面a,4分别交于8,

A和。，C,M,N分别是AB,CO的中点.

求证：MN//平面a.

证明过A作AE〃。。交a于£,取AE的中点P,

连结MP,PN,BE,ED.

\'AE//CD,：.AE,CO确定平面AEDC

则平面AE£>Cna=OE,平面AEDCC4=AC.

,：a///3,：.AC//DE.

又P,N分别为AE,CD的中点，

PN//DE."：PNQa,DEua,

：.PN//a.

又M,P分别A3,AE的中点，

，MP//BE,又MRa,BEua,

：.MP//a,又MPCPN=P,MP,PNu平面MPN,

平面MPN//a.

又MNu平面MPN,：.MN//a.

守当堂检测当堂训练，体验成功

1.圆柱的两个底面的位置关系是（）

A.相交B.平行

C.平行或异面D.相交或异面

答案B

解析圆柱的两个底面无公共点，则它们平行.

2.下列说法正确的是()

①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；

②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；

③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；

④一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行.

A.①③B.②④

C.②③④D.③④

答案D

解析由两平面平行的判定定理知③④正确.

3.在正方体EFG”-EIFIGIH中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是

()

A.平面Ei/Gi与平面

B.平面与平面RHiG

C.平面与平面

D.平面与平面

答案A

解析EG//E\G\,EC辑平面E1FG1,EiGiu平面BFGi,〃面EiFGi,同理

EHi〃平面EiFGi,且EGCEHi=E,EG,EHiu平面EGHi,平面EGHi〃平

面E\FG\.

4.已知a和。是异面直线，且au平面a,Ou平面夕，a///3,b//a,则平面a与

6的位置关系是.

答案平行

解析在。上任取一点O,则直线”与点。确定一个平面力

设yAQ=/,则/u£,

...a与/无公共点，：.a//l,：.l//a.

又。〃a,bC/=O,根据面面平行的判定定理可得a〃夕.

5.若平面a〃平面£,aua,下列说法正确的是.

①a与月内任一直线平行；②。与A内无数条直线平行；③。与万内任一直线不

垂直；④a与夕无公共点.

答案②④

c,

解析•••〃(=a,a与夕无公共点，④正确；如图，在正方

体中，令线段所在的直线为a,平面ABC。为平面夕，平面AiB—GOi为

平面a,显然。与口内无数条直线平行，故②正确；又故在夕内存

在直线与a垂直，故①③错误.

课堂小结

常见的面面平行的判定方法：

(1)利用定义：两个平面没有公共点.

(2)归纳为线面平行.

①平面a内的所有直线(任一直线)都平行于人则a〃夕；

②判定定理：平面a内的两条相交直线a,8都平行于川.

aca、

bua

aC\b=P>^a///3,五个条件缺一不可.

a//p

b〃B>

应用时的关键是在a内找到与尸平行的相交直线a,b.

(3)化归为线线平行：平面a内的两条相交直线与平面口内的两条相交直线分别

平行，则a〃以证明后可用).

(4)利用平行平面的传递性：两个平面同时和第三个平面平行，则这两个平面平

行.

尹课时精练J解疑纠偏，训练检测

一、基础达标

1.a//a,b〃B，a//[i,则a与人位置关系是()

A.平行B.异面

C.相交D.平行或异面或相交

答案D

解析如图(1),(2),(3)所示，。与8的关系分别是平行、异面或相交.

a------------a——~/~a

b/b7b

%/////

(1)⑵(3)

2.下列说法中正确的是()

A.如果两个平面a,4只有一条公共直线a,就说平面a,4相交，并记作aC4

=a

B.两平面a,4有一个公共点A,就说a,4相交于过A点的任意一条直线

C.两平面a,尸有■—个公共点A,就说a,4相交于A点，并记作aCl£=A

D.两平面ABC与DBC相交于线段

答案A

解析B不正确，若AeaC』，则a,4相交于过A点的一条直线；同理C不正

确；D不正确，两个平面相交，其交线为直线而非线段.

3.平面a内有不共线的三点到平面夕的距离相等且不为零，则a与4的位置关

系为()

A.平行B.相交

C.平行或相交D.可能重合

答案C

解析若三点分布于平面夕的同侧，则a与尸平行，若三点分布于平面£的两侧，

则。与£相交.

4.a是平面a外的一条直线，过。作平面夕，使夕〃a,这样的夕有()

A.只能作一个B.至少一个

C.不存在D.至多一个

答案D

解析•••”是平面a外的一条直线，

.,.a//a或a与a相交.

•.•当a〃a时，夕只有一个，当a与a相交时，夕不存在.

5.平面。与尸平行的条件可能是()

A.a内有无穷多条直线与夕平行

B.直线。〃a,a//[i

C.直线aua,直线8u£,且a〃4，b//a

D.a内的任何直线都与夕平行

答案D

解析

①

如图①，a内可有无数条直线与夕平行，但a与夕相交.

②

如图②，a//a,a//p,但a与夕相交.

如图③，aua,buB,a"B,b//a,但a与夕相交.故选D.

6.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中,

①〃平面OE；②CN〃平面Ab；③平面BOM〃平面AFN；④平面8DE〃平

面NCF.

以上四个命题中，正确命题的序号是.

答案①②③④

解析以ABCZ）为下底面还原正方体，如图：

则易判定四个命题都是正确的.

7.已知底面是平行四边形的四棱锥P—ABC。,点E在尸。上，且PE：ED=2：1.

在棱PC上是否存在一点F,使BF〃平面AEC?证明你的结论，并说出点F的

位置.

解存在，点E为PC的中点时，〃平面AEC理由如下：如

图，连结8。交AC于。点，连结。E,过8点作0E的平行线

交PD于点G,过点G作GF//CE,交PC于点F,连结BF.

VBG//OE,BG(t平面AEC,OEu平面AEC,

...3G〃平面AEC.同理，GF〃平面AEC

又BGCGF=G,GF,BGu平面BGF,

，平面8GF〃平面AEC.

•.•BFu平面BGF,

〃平面AEC.

'."BG//OE,。是3。的中点，

是G。的中点.

又；PE：ED=2：1,

，G是PE的中点.

而GF//CE,

:.F为PC的中点.

因此，当点尸是PC中点时，〃平面AEC.

二'能力提示

8.设a〃4，AGa,B-C是A3的中点，当A,8分别在平面a,夕内运动时,

那么所有的动点C()

A.不共面

B.当且仅当A,B分别在两条直线上移动时才共面

C.当且仅当A,8分别在两条给定的异面直线上移动时才共面

D.不论A,B如何移动，都共面

答案D

解析由面面平行的性质定理，点C应在过A3中点且平行于a(或份的平面内.故

选D.

9.如图，P是△ABC所在平面外一点，平面。〃平面ABC,a分别交线段布,

N八A，R，「

PB，00于A'，笈，C，若以'：川=2：3,则管£=_

答案言

解析由平面a〃平面ABC,^-AB//A'B',BC//B'C,AC//A'C,由等角定理得

ZABC=ZA'B'C,NBCA=NB'C'A',ZCAB=ZC'A'B',

从而△A5CS/\4B，C,△/MBs△巩b,

S&A'B'CA'B'、、RA'4

^7=W=W=25-

10.如图所示，在正方体ABCO—AiBiGDi中，E,F,G,"分别为CG,CiDi,

D\D,CO的中点，N是8C的中点，点M在四边形EFG”及其内部运动，则M

满足时，有MN〃平面

答案Md/77（答案不唯一，如;77nGE=M等）

解析如图，取BG的中点P,

连结NP,NH,MN,HF,PF,则可证明平面NPFH//平面BDDiBi,

若MNu平面NPFH,

则MN〃平面BDDiBi.故M为上任意一点.

11.如图所示，在三棱柱ABC—4BG中，点0,E分别是8C与3iG的中

点.

求证：平面〃平面AOG.

证明由棱柱性质知，B\C\//BC,BiCi=BC.

又。，E分别为8C,&G的中点，

所以CiE〃DB,CiE=DB,

则四边形GO8E为平行四边形，

因此GO,

又GOu平面ADC\,

EBQ平面ADCi,

所以平面AOCi.

连结OE,同理，EB\//BD,EBi=BD,

所以四边形EDBBi为平行四边形，

则ED〃B\B,ED=BiB.

因为B\B=A\A,

所以EQ〃AiA,ED=A\A,

则四边形ED4Al为平行四边形，

所以

又AiEQ平面A。。，AOu平面AOG,

所以4E〃平面ADCi.

由Ai