北师大版高中数学选修1 3 空间向量的综合应用

北师大版高中数学选修1专题3空间向量的综合应用

1.若d=[x,2y-lf-是平面a的一个法向量，且b=(-1,2,1)，下=(33,—2)都与平面a

平行，则向量d等于()

A.27531\B.9531\

52，26'4752，26，47

9_27_工、_9__1__1\

C.D./，~

52，52'4/522647

2.已知点4(2,—1,2)在平面a内，元=(3,1,2)是平面a的一个法向量，则下列点P中，在平面

a内的是()

A.P(l,-U)B.P(1,3,|)

C.P。，-3,|)D,P(-l,3,-|)

3.已知平面a,B的法向量分别为a=(-l,y,4),b=(x,-l,-2)且aL0,则x+y的值为

()

A.-8B.-4C.4D.8

4.已知n为平面a的一个法向量，l为一条直线，则"，1元"是"，〃a"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.下列命题是真命题的有()

A.直线I的方向向量为a=(1,-1,2),直线m的方向向量为族=(2,1,-：),则/与m垂

直

B.直线I的方向向量为a=(0,1,-1).平面a的法向量为元=(1,-1,-1),则11a

C.平面a,0的法向量分别为4=(0,1,3),石=(1,0,2),则a//p

D.平面a经过三点4(1,0,-1),6(0,1,0),6(-1,2,0),向量n=是平面a的法向量，

则u+t=1

6.如图，正方体ABCD-A,B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点，如果B】E1

平面4BF,则CE与DF之和为

7.如图所示，在直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为

CE上的点，且BF_L平面4CE.

(1)求证：4E1平面BCE：

(2)求证：平面BDFJ.平面48CD.

8.如图，在正四面体ABCD中，。是ABCD的中心，E,F分别是AB,AC上的动点，且

BE=ABA,CF=(1-X)CA.

⑴若0E〃平面ACD,求实数A的值.

(2)若A=|,求平面DEF和平面BCD所成角的余弦值.

9.如图所示，在直三棱柱ABC-A^Cr中，ACLBC,且BC=3,AC=4,CQ=3,点P在棱

力必上，且三棱锥A-PBC的体积为4,则直线BG与平面PBC所成角的正弦值等于

「x/10

A.当B.在c-VD.W

4

10.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A.B^Dr，AB=1,BC=2,AA.=3,则点B

到直线4C的距离为()

D.1

11.在正四棱锥P-ABCD中，M,N分别为PA,PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值

为V2,则异面直线DM与AN所成角的余弦值为()

1

A.BcD

3-3-I-A

12.在直三棱柱ABC-A'B'C中，所有的棱长都相等，M为B'C的中点，N为A'B'的中点，则

AM与BN所成角的余弦值为_.

13.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上,

E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为9,则cos。的最大值

为一.

14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD_L底面4BCD,E是48上一点,

(1)求二面角E-PC-D的大小；

(2)求点B到平面PEC的距离.

15.如图所示，四棱锥P-ABCD的底而为矩形，各棱及底边BC,DA的长均为a,AB,CD的长

为\[2a,过底面对角线AC作与PB平行的平面交PD于点E.

(1)求二面角E-AC-D的余弦值；

⑵记AC与BD的交点为0,求E0与底面ABCD所成角的大小;

⑶求DO与平面EAC所成角的正弦值.

答案

【答案】D

【解析】由题意知5-K=0,a-c=0,

_x+4y__=o,解得

3%+y=0,

所以a=

52'26

【知识点】利用空间向量判定线线的垂直、平行关系

2.【答案】B

【解析】对于选项A,PA=(1,0,1).则对•元=5#0,故排除A；

对于选项B,港=(1,一4弓)，则PA-n=0,故B正确；

同理可排除C,D.

故选B.

【知识点】空间向量的应用

3.【答案】A

【解析】因为平面a,p的法向量分别为a=(-l,y,4),6=(x,-l,-2)且a10,

所以ab=0,

即—x—y—8=0,

则x+y=-8.

【知识点】空间向量的坐标运算

4.【答案】B

【解析】当"l_L方'时，由于I可能在平面a内，所以无法推出“2〃a”.

当"l〃a"时,"11n".

综上所述，"I14是"l〃a"的必要不充分条件.

【知识点】充分条件与必要条件

5.【答案】A；D

【解析】因为5=(1,-1,2),6

所以五不=1x2—lxl+2x(~m=0,则五1B,

所以直线I与m垂直，故A正确；

u,—(0,1,—1)»n—(1,—1,—1),则d,元=0x1+1x(—1)+(—1)x(—1)—0,则5J_it,

所以I//a或，ua,故B错误；

因为n7=(0,1,3),而=(1,0,2),

所以汨与我不共线，

所以a〃£不成立，故C错误；

因为4(1,0,-1),6(0,1,0),C(-1,2,0),

所以AB=(-1,1,1),BC=(-1,1,0),

因为向量n=(l,u,t)是平面a的法向量，

所以尼•亚=0,即10,解得u+f=1(故D正确.

【知识点】利用空间向量判定线面的垂直、平行关系、利用空间向量判定面面的垂直、平行关系

6.【答案】1

【解析】以D］为坐标原点，分别以石工，国,取的方向为x轴、y轴、z轴，建立空

间直角坐标系.

设CE=x,DF=y,则易知E(x,l,l),F(0,0,l-y),B(l,l,l),

所以庭=(x-1,0,1)，~FB=(1,1,y),

因为BiE1平面4BF,

所以FB-O=(l.l,y)•(x-1,0,1)=0,则x+y=l.

［知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题

7.【答案】

(1)因为四边形ABCD为正方形，

所以BC1.AB.

因为二面角D-AB-E为直二面角，

所以8cl平面4EB.

以线段AB的中点为原点0,OE所在直线为x轴，4B所在直线为y轴，过。点平行于AD

的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,

则4(0,-1,0),8(0,1,0),C(0,l,2),0(0,-1,2).

设E(XQ,0,0)(x0>0).

因为F为CE上的点，正=(一％,1,2),

所以设EF=AEC=(-Ax0,A,2A),

所以F((l-A)x0,/l,2A),

所以BF=((1-A)X0,A-1,2A),AC=(0,2,2),荏=(Xo，l,O).

因为BF1平面4CE,

所以乔•阮=2(4-1)+44=0,

且BF-AE=(<1-X)x^+A-1=0,解得与=1或—1(舍)，％=土

所以E(1,O,O),F(|,g|).

AE=(1,1,0),BE=(1,-1,0),

所以AE-BE=O,

所以AE1BE.

因为BC1平面4EB,

所以BCLAE.

又因为BCC\BE=B,BCu平面BCE,BEu平面BCE,

所以AE1平面BCE.

(2)由题意可知，平面ABCD的法向量为OE=(1,0,0).

设平面BDF的法向量为沅=(x,y,z),乔=(|,一|,|),

BD=(0,-2,2),

所以m-BF=|x—|y+|z=0且m-BD=—2y+2z=0,

取z=l,则y=l,x=0,

所以m=(0,1,1).

因为m-OE=0,

所以平面BDFJ.平面力BCD.

【知识点】平面与平面垂直关系的判定、直线与平面垂直关系的判定、利用向量的坐标运算解决立

体几何问题

8.【答案】

(1)如图，取CD的中点G,连接BG,AG.

因为。是等边三角形BCD的中心，

所以点。在BG上，

且五=2-

因为OE〃平面ACO,平面ABGn平面AC。=AG,OEu平面ABG,

所以OE//AG,

所以BE=^BA,

即丽=|就

所以A=|.

(2)当4=g时，点E,F分别是AB,AC的中点.连接BO并延长，过。作。生平行于

CD,连接AO,则易知Ox,OB,OA两两垂直.建立如图所示的空间直角坐标系。町z,

不妨设OB=2,

则5(0,-2,0),A(0,0,2®,C(V3,l,0),D(一气1,0),f(0,-l,V2),F(y,1,V2),

所以丽=(今}°)，屁=(8，-2,或).

设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),

则露

fV3x+3y=0,

所以

(V3x-2y+V2z=0,

令z=1,

则五=(一.,1,1)・

又平面BCD的一个法向量为沅=(0,0,1).

设平面DEF和平面BCD所成的角为6,

mA\mn\5VH

则cos0=^i=^r-

【知识点】利用空间向量判定线面的垂直、平行关系、二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何

问题、直线与平面平行关系的性质

9.【答案】C

【解析】由已知得AAy_L底面ABC,且ACLBC,

所以

^A-PBC=^P-ABC

=gXS&ABC,P4

=""3X4-

=4,

解得PA=2.

如图所示，以点C为坐标原点，CB,CA,CCi所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

则€(0,0,0),P(0,4,2),8(3,0,0),6(0,0,3),

贝I」CB=(3,0,0),CP=(0,4,2),西=(-3,0,3).

设平面BCP的法向量为n=(x,y,z),

则由［HE?=0,

{n-CP=0,

可得修照=0,

即航L

得x=0,

令y=l,得z=-2,

所以n=(0.1.-2)为平面BCP的一个法向量.

设直线BC、与平面PBC所成的角为3,

贝IJ

sin。=|cos值,BCj|

_R跖I

~同两

__________H6|_________

-V12+(-2)2XV(-3)2+32

_包

一

故选C.

【知识点】线面角

10.【答案】B

【解析】过点B作BE垂直&C,垂足为E,设点E的坐标为（居％z）,

易知4式0,0,3),5(1,0,0),C(l,2,0),A^C=(1,2,-3),砧=(x,y,z-3),BE=(x-l,y,z).

CA^E//A^C,

因为

W-A^C=0,

{x_y_z-3

所以l=2=~f

%—1+2y—3z=0,

5

10

解得

y=T

z=*

所以BE=(-,，W),

所以点B到直线&C的距离|丽|=竿.

【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、利用向量的坐标运算解决立体几何问题

11.【答案】B

【解析】如图所示.

不妨设正四棱锥底面边长为2,则由该正四棱锥侧面与底面所成二面角的正切值为V2,易得其高

为V2,取底面正方形的中心为原点0,建立如图所示的空间直角坐标系，

则4（1,一1,0）,8（1,1,0）,C（-l,l,0）,£）（-1,-1,0）,P（0,0,V2）,

则M疗），

所以丽=（右若）,福=（-昊,¥）•

设DM与视所成的角为9,则3。=用吗

故选B.

【知识点】异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题

12.【答案】绊

14

【解析】以A为原点，在平面ABC中，过4作AC的垂线为x轴，AC所在直线为y轴,

AA1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设直三棱柱ABC-A'B'C中，所有的棱长都为2,则4（0,0,0）,M（y,|,2）,B（V3,l,0）,

N（黑,2），

所以而?=停,|,2）,前=（-苧，甘,2）.

设AM与BN所成的角为6,

则8$。=瞥饕；=比现=叵.

\AM\\BN\V7XV514

【知识点】异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题

13.【答案】1

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系:

设正方形边长为2,M(0,y,2)(0<y<2),则EM=(-l,y,2),AF=(2,1,0),

...cos0=|S|=_^.

llEMIMFlI75-7^2+5

令t=2—y,则0WtW2.当t=0时，cos6>=0；

当0<t<2时，cos”营库『=今育法|>p当泊|，即t=2时，cos。

取最大值

【知识点】异面直线所成的角、空间向量的应用

14.【答案】

(1)以D为原点，向量DA,DC,DP的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,

如图所示，

所以0(0,0,0),P(0,0,V2),C(0,2,0),E仔泗,而=停卷,一甸,FC=(-y,1,0).

设平面PEC的一个法向量为n=(x,y,z),

由n-PF=0,元•前=0,

Y%+1y-V2z=0,

得

V3,3n

-------X+-7=0,

I22：

令y=1,贝！I%=V3,z=V2,

所以n=(V3,1,V2).

取平面PCD的法向量为访=(1,0,0).

设二面角E-PC-D的大小为仇

由图可知0为锐角,

所以…黑V2

T9

所以8=；,

4

即二面角E-PC-D的大小为7.

4

（2）由（1）知平面PEC的一个法向量为n=（V3,1,V2）,

又B停,2,0）,

所以丽=（0,-|,0）,

所以点B到平面PEC的距离4=噂=4.

|n|4

【知识点】二面角、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）