高中数学附加题附加题

矩阵

B、选修4一2：矩阵与变换

2x-y=3

请用逆矩阵的方法求下面二元一次方程组的解《

y+3x=2

20

1、已知矩阵4=0§,点M(—1,-1),点N(l,l).

(1)求线段MN在矩阵A对应的变换作用下得到的线段MN的长度;

(2)求矩阵A的特征值与特征向量.

a0

1、己知圆C：V+y2=l在矩阵A(”>0力>0)对应的变换作用下变为椭圆

0b

—4-^=1,求。，b的值.

94

]bl一「2一

1、已知矩阵加=有特征值4=4及对应的一个特征向量4=.

c2J|_3

(1)求矩阵M；

(2)求曲线5/+8町+4/=1在/的作用下的新曲线方程.

设M是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y轴方向

伸长为原来5倍的伸压变换.

(1)求直线4x-10y=l在“作用下的方程；

(2)求M的特征值与特征向量.

求曲线2r—2孙+1=0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程，其中〃=

1

N=

-11

已知二阶矩阵A="b，矩阵A属于特征值儿=-1的一个特征向量为四=1,属

cd\

于特征值

3

4=4的一个特征向量为％=2.求矩阵A.

已知直角坐标平面X0V上的一个变换是先绕原点逆时针旋转45,再作关于X轴反射变换,

求这个变换的逆变换的矩阵.

已知二阶矩阵A有特征值4=1及对应的一个特征向量4=『]和特征值%=2及对应的

一个特征向量e?=；,试求矩阵A.

-2-11「4-1'

已知矩阵人=,B=,求满足AX=B的二阶矩阵X.

-43J[-31

'2a'

1.已知a,b是实数，如果矩阵M=LJ所对应的变换将直线x—y=l变换成x+2y=l,

求a,b的值.

1.(本题满分10分)

已知在一个二阶矩阵M对应变换的作用下，点A(l,2)变成了点4(7,10),点8(2,0)变成

了点e(2,4),求矩阵M.

(本小题满分10分)

已知矩阵加=12的一个特征值为3,求另一个特征值及其对应的一个特征向量.

2x

已知为矩阵属于人的一个特征向量，求实数a,人的值及A2»

1

一-

1O-O

=

试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的函数解析式，其中/W=O22

.01

」-

在平面直角坐标系xOy中，直线x+y+2=0在矩阵1"对应的变换作用下得到

b4

直线〃z:x-y-4=0,求实数a,b的值.

已知矩阵A=3：,若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为ai=：,属于特征值1的

LcdjL1J

"3_

一个特征向量为a2=、,求矩阵A,并写出A的逆矩阵.

L-2」

已知aSwR,若矩阵M=所对应的变换把直线/:2x—y=3变换为自身，求

»,3

a,b的值.

m0

已知矩阵4=_]n.在平面直角坐标系中，设直线/：2x+y—7=0在矩阵A对应

的变换作用下得到另一直线/'：9x+y—91=0,求实数m、n的值.

2a

已知矩阵ML2",其中若点口1，-2)在矩阵M的变换下得到点尸'(-4,0),

(1)求实数a的值；

(2)求矩阵"的特征值及其对应的特征向量.

-2-11「4

已知矩阵人=,B=,求满足AX=B的二阶矩阵X.

-43J[-31_

已知矩阵A=P~2.

3-7_

（1）求逆矩阵A,

一3一

（2）若矩阵X满足AX=],试求矩阵X.

-201「11

21.已知矩阵4=]],向量4=2，求向量a，使得A2a=夕.

将曲线孙=1绕坐标原点按逆时针方向旋转45。，求所得曲线的方程.

21.为了保证信息安全传输，设计一种密码系统，其加密、解密原理如下图:

明文X加密，密文Y发送r密文Y解密:文X

现在加密方式为：把发送的数字信息X,写为“孙%M2a22”的形式，先左乘矩阵

62

■1417

A=°，再左乘矩阵8=35,得到密文丫，现在已知接收方得到的密文是

-22J148

35.

4,12,36,72,试破解该密码.

B.（选修4-2矩阵与变换）已知二阶矩阵M有特征值a=8及对应的一个特征向量

1U」，并且矩阵M对应的变换将点（T，2）变换成（一2,4）。

（1）求矩阵M；

（2）求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系。

B.选修4-2:矩阵与变换

12

曲线G：》2+2/=1在矩阵M=0]的作用下变换为曲线C2,

求G的方程•

—1a

B.选修4—2：（矩阵与变换）已知小若矩阵M=，「所对应的变换把直线/：

2x一产3变换为自身，求〃，人的值.

B.选修4-2矩阵与变换

已知矩阵A=""，若矩阵力属于特征值1的一个特征向量为a1=3，属于特征

值5的一个特征向量为a产.求矩阵4并写出力的逆矩阵.

1.(矩阵与变换)求矩阵M=的特征值及其对应的特征向量.

B.选修4一2:矩阵与变换

ac

设T是矩阵所对应的变换，已知4(1,0),且T(A)=P.设。＞0,当△POA的

面积为百，ZPOA=~,求a,Z?的值;

3

B.选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵人=°I,矩阵B=°2,直线乙：x—y+4=0经矩阵A所对应的变换

a0j\b0j1

得到直线4，直线4又经矩阵B所对应的变换得到直线4:X+y+4=0,求直线乙的方程.

B.选修4—2：矩阵与变换

-1a——

已知小bGR,若矩阵M=,°所对应的变换把直线/：2%—丫=3变换为自身，

L匕3」

求a,b的值.

B.选修4一2：矩阵与变换

设M是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y方向伸长为原来5倍的伸压变换。

(1)求直线4x-10y=l在M作用下的方程；

(2)求M的特征值与特征向量。

8.选修4一2矩阵与变换

已知矩阵4=-2'11「11-2-.

(I)计算46；

(II)若矩阵。把直线/：x+y+2=0变为直线求直线/'的方程.

B、选修4-2：矩阵与变换

求曲线C：xy=l在矩阵M=对应的变换作用下得到的曲线Ci的方程。

1.已知a,b是实数，如果矩阵河=口，所对应的变换将直线x—y=l变换成x+2y=l,

求a,b的值.

(选修4-2：矩阵与变换)

已知矩阵乂=12的一个特征值为3,求其另一个特征值。

2x

21.［选做题］

B.(选修4-2：矩阵与变换)

■?r

求矩阵的特征值及对应的特征向量.

12_

21.B(4-2矩阵与变换，本题满分10分)

已知矩阵A将点(1,0)变换为(2,3),且属于特征值3的.一个特征向量是；，求矩阵A.

1.四边形ABCD和四边形A'B'C'D'分别是矩形和平行四边

形,其中点的坐标分别为A(—1,2),B(3,2),C(3,-2),

I)(-1,-2),H(-1,0),B'(3,8),C(3,4),

D'(-1.-4).求将四边形ABCD变成四边形A3'C'。'的变

换矩阵M.

1-1

1、已知矩阵人=,其中aeR,若点P(l,l)在矩阵A的变换下得到P<0,-3).

a1

(1)求实数。的值；(2)矩阵A的特征值和特征向量.

7T

2.变换7；是逆时针旋转!•的旋转变换，对应的变换矩阵是变换乙对应用的变换矩阵

「1「

是.

201

(I)求点P(2,l)在工作用下的点P'的坐标；

(II)求函数y=Y的图象依次在工，刀变换的作用下所得曲线的方程.

1、选修4-2:矩阵与变换

已知］3］,求矩阵B.

124—1

2、选修4一4:坐标系与参数方程.

%=2+2，，

已知在直角坐标系xOy内，直线/的参数方程为4（t为参数）.以Ox为极轴建立

y=1+41,

极坐标系，圆C的极坐标方程为o=20sin（9+?）.

⑴写出直线/的普通方程和圆C的直角坐标方程；

（2）判断直线/和圆C的位置关系.

1.已知圆的极坐标方程为："-4夜P8$［，-制+6=0.

⑴将极坐标方程化为普通方程；

⑵若点P（x,y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值.

2、在极坐标系中，圆。的极坐标方程为Q=2sin。,

（1）过极点的一条直线/与圆相交于。，A两点，且NAOX=45°,求。4的长.

7T

（2）求过圆上一点P（2,—）,且与圆相切的直线的极坐标方程；

2

C.（选修4一4：坐标系与参数方程）

以平面直角坐标系的原点0为极点，X轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（两种坐标

系中取相同的单位长度），已知点A的直角坐标为（-2,6）,点B的极坐标为（4,；TT）,

TT

直线/过点A且倾斜角为一，圆。以点B为圆心，4为半径，试求直线/的参数方程

4

和圆C的极坐标方程.

aG

x=-3+——s,x=r+

2.直线，2（s-为参数）和曲线＜（r为参数）相交于A、B两点.求线段AB的

1

y=­sy=t-

2

长.

21.C（4-2极坐标与参数方程，本题满分10分）

椭圆中心在原点，离心率为g，点P（尤,y）是椭圆上的点，若2x-也y的最大值为10,

求椭圆的标准方程.

C.(选修4一4：坐标系与参数方程)

x=-^t+2,

已知曲线C的极坐标方程是/?=2sin〃，直线/的参数方程是5(f为参数).

卜带

(I)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(II)设直线/与x轴的交点是是曲线C上一动点，求MN的最大值.

C.(选修4-4：坐标系与参数方程)

TT

若两条曲线的极坐标方程分别为夕=1与2=2cos(6+g),它们相交于A、B两点，求

线段AB的长。

2.在极坐标系■下，已知圆O：0=cos6+sin6和直线/：psin(e-£j=#.

(1)求圆0和直线/的直角坐标方程；

(2)当。w(0,兀)时，求直线/与圆。公共点的一个极坐标.

C、选修4-4：极坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知圆C：0=2近85。和直线/：。=£(P€氏)相交于人、B两点，

求线段AB的长。

C.选修4-4参数方程与极坐标

已知椭圆C：P=2cos6,直线/：夕cos。—psin9=4,求过点C且与直线/垂直的

直线的极坐标方程。

C.选修J4：坐标系与参数方程

「=2«+5),

将参数方程J1。为参数)化为普通方程.

［尸内二)

C.选修4一4:坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是Q=4COS。.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴

叵,

X=----1+m

的正半轴，建立平面直角坐标系，直线/的参数方程是2L（t是参数）.若/与C

V2

相交于AB两点，且同月=可

（1）求圆的普通方程，并求出圆心与半径;

（2）求实数m的值.

C.选修4一4：参数方程与极坐标

_.V2

X=-1H---1

2x=—l+2cos。

试判断直线/：l（t为参数）与曲C:.（。为参数）的位置关系.

V2y=2+2sin。

2

2.（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的参数方程为"="‘cos夕，

y=sin。

其中。为参数,以0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为

2pcos（^+1）=3面.求椭圆C上的点到直线/距离的最大值和最小值.

C.选修4-4参数方程与极坐标

'x=l+2cos。，,，/

已知圆C的参数方程为1广（，为参数），若P是圆C与x轴正半轴的交点，

y=V3+2sin^

以原点0为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设过点P的圆C的切线为/,求直线/的

极坐标方程.

21.运用旋转矩阵，求直线2x+y—1=0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程.

x=2（/+1）,

C.选修I：（坐标系与参数方程）将参数方程J1。为参数）化为普通方程.

y=4（t--）

VI

C.选修4—4:坐标系与参数方程

P为曲线C|：F=（。为参数）上一点，求它到直线C：/=1+”。为参

[y=sin〃-[y=2

数）距离的最小值.

x=3cos。

C.(选修4-4参数方程与极坐标)已知曲线C：〔y=2sin°,直线/：

p(cos。-2sin6)=12

⑴将直线1的极坐标方程化为直角坐标方程；

⑵设点尸在曲线c上，求p点到直线/距离的最小值.

22.以直角坐标系的原点。为极点，x轴的正半轴为极轴.已知点P的直角坐标为(1,-5),

点M的极坐标为(4,上).若直线/7T过点P,7T且倾斜角为上，圆C以M为圆心、4为半

23

径.

(1)求直线/的参数方程和圆C的极坐标方程；

(2)试判定直线/和圆C的位置关系.

求直线(t为参数)被圆「"osa，(0为参数)截得的弦长.

[y=1-2/[y=3sina

卜=品，1

22.求曲线C1：{2t被直线/：y=x—3所截得的线段长.

Ly=f+i-

x=—(ez+e-/)cos0,

分别在下列两种情况下，把参数方程2化为普通方程:

y=；(e，-e-1)sin0

(1)。为参数，t为常数;

(2)t为参数，。为常数.

若两条曲线的极坐标方程分别为夕=1与O=2cos(0+刍，它们相交于A,B两点，求线段AB

的长.

在极坐标系中，已知直线/：pcos(。+/=!\々，圆C：0=4cos，，求直线/被圆C截得

的弦长.

x-2(?+-)

将参数方程，；(t为参数)化为普通方程.

y=4«——)

在极坐标系中，直线/的极坐标方程为6=f(peR),以极点为原点，极轴为x轴的正半

x—2cosa,

轴建立平面直角坐标系，曲线。的参数方程为4(a为参数)，求直线/与曲

y=1+cosla

线。的交点P的直角坐标.

在极坐标系中，圆C：/?=10cos9和直线/:3℃ose-4/?sine-30=0相交于A、B

两点，求线段AB的长.

参数方程

C、选修4—4：参考方程与极坐标

x=—(e'+<?'')cos0

分别在下列两种情况下，把参数方程,2化为普通方程:

y=；(d-<?'')sin0

(1)。为参数，f为常数;

(2)f为参数，。为常数;

2、已知圆M的参数方程为/+yi-4故cosa-4Rysina+3R2=0(R>0).

(1)求该圆的圆心的坐标以及圆M的半径；

(2)若题中条件R为定值，则当a变化时，圆M都相切于一个定圆,试写出此圆的极坐标

方程.

2,在极坐标系中，求经过三点。(0,0),A(2，-).8(2&,-)

24

的圆的极坐标方程.

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合.若直线/的极坐标

方程为夕sin(。-7)=3五.

（1）把直线/的极坐标方程化为直角坐标系方程;

（2）已知P为椭圆C：工+^=1上一点，求P到直线/的距离的最大值.

169

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合.若曲线G的

方程为p2=8psin。-15,曲线G的方程为卜=2,cosa,（夕为参数）.⑴将弓的

y=V2sina

方程化为直角坐标方程；（2）若上的点Q对应的参数为a=皇，尸为G上的动点，

求PQ的最小值.

以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.

已知直线I的极坐标方程为Qcos（9+2psin（9=0,曲线c的参数方程为

4cosa

c.'（a为参数），又直线I与曲线C交于A,B两点，求线段AB的长.

在平面直角坐标系xOy中，己知曲线C的参数方程为产=2。。$&，（&为参数）.以直角坐

[y=sina

标系原

点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为

『cos（6-£）=2&.点

P为曲线C上的动点，求点P到直线/距离的最大值.

TT

已知A是曲线Q=12sin6上的动点，B是曲线p=12cos（。一代）上的动点，试求线段A3

6

长的最大值.

在直角坐标系x0y中，已知曲线C的参数方程是〃=（8是参数），若以。为

[x=cos，

极点，X轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C

的极坐标方程.

若两条曲线的极坐标方程分别为2=1与0=2cos（e+?7T，它们相交于4B两点，求线段AB

的长.

..（Tt\_yf2

I.psina0—=—

2.在极坐标系下，已知圆0：Q=cos6+sine和直线（4J2.

（1）求圆0和直线/的直角坐标方程;

（2）当夕€（°，兀）时，求直线/与圆。公共点的一个极坐标.

2.（本题满分10分）

如图，三棱锥P—ABC中，底面ABC于6,N8C4=90,P8=BC=C4=4夜，

点瓦尸分别是PC,PA的中点，求二面角A—把一厂的余弦值.

x=3cos。

已知曲线，直线/:Q（cos8—2sin6）=12.

y=2sin6

⑴将直线/的极坐标方程化为直角坐标方程；

⑵设点P在曲线C上，求P点到直线/距离的最小值.

（本小题满分10分）

在极坐标系中，圆C的方程为°=2&sin（e+工），以极点为坐标原点，极轴为X轴的正

半轴建立平面直角坐标系，直线/的参数方程为A=\（f为参数），判断直线/和圆

[y=l+2f

C的位置关系.

在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为/xnm+Zcosa（a为参数），曲线D的

*

y=2sintz

参数方程为卜=2-射，（t为参数）。若曲线C、D有公共点，求实数m的取值范围。

y=3t—2

24.（本小题为谓做熟，满分8分）

已知直线/的参数方程：x=t（f为参数）和圆。的极坐标方程：

<

y=1+2，

p=2V^sin（e+?）.

（1）将直线/的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）判断直线/和圆。的位置关系.

yr

1.已知曲线C1的极坐标方程为°=6cos6,曲线。2的极坐标方程为，=?（0€田，曲线

G，C?相交于A,3两点.

（1）把曲线G，的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（2）求弦A8的长度.

21.已知。01与。U的极坐标方程分别为0=48S。，p=-4sin6>.

（1）写出。01和O02的圆心的极坐标;

（2）求经过。0｝和。02交点的直线的极坐标方程.

C.选修4一4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合。若曲线J的

—.,…一…[x=2x/2cosa,、，公山，、

方程为02=8psin，-15,曲线C2的方程为]（a为参数）。

y=J2sina

（1）将Ci的方程化为直角坐标方程；

（2）若C2上的点Q对应的参数为夕=3，P为J上的动点，求PQ的最小值。

4

22

22、（必做题，每题10分）第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在

深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿

者。

将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm）：

若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，

身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，

且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。

（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中提取5人，再从这5人中

选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？

（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用J表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”

的人数，试写出g的分布列，并求4的数学期望。

3、（本小题满分10分）男女

投掷A,B,C三个纪念币，正面向上的概率如91577899

9816124589

人〒人-86501723456

纪念币AB742118。1

概率1a119

将这三个纪念币同时投掷一次，设&表示出现正面向上的个数.

（1）求4的分布列及数学期望；

（2）在概率PC=i）（j=0,1,2,3）中，若尸©=1）的值最大，求a的取值范围.

在0,1,2,3,…，9这十个自然数中，任取3个不同的数字.

（1）求组成的三位数中是3的倍数的有多少个？

（2）将取出的三个数字按从小到大的顺序排列，设自为三个数字中相邻自然数的组数（例

如：若取出的三个数字为0,1,2,则相邻的组为0,1和1,2,止匕时岁的值是2）,求随机

变量J的分布列及其数学期望E4.

23.一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.

（1）设抛掷5次的得分为求J的分布列和数学期望EJ；

（2）求恰好得到eN”）分的概率.

22、在十字路口的路边，有人在促销木糖醇口香糖，只听喇叭里喊道：木糖醇口香糖，10

元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）。小明一看，只见一大堆瓶装口

香糖堆在一起（假设各种口味的口香糖均超过3瓶，且每瓶价值均相同）.

（1）小明花10元钱买三瓶，请问小明共有多少种选择的可能性？

（2）小明花10元钱买三瓶，售货员随便拿三瓶给小明，请列出有小明喜欢的草慈味口香糖

瓶数J的分布列，并计算其数学期望.

3.甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，

笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互

独立.根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分

别是0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是0.5,0,6,0.75.

（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；

（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为彳，求随机变量4的期望

23.（本小题满分10分）

甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为a,a（0＜。＜1）,三人各射击一次，

2

击中目标的次数记为乙

（1）求自的分布列及数学期望；

（2）在概率「4=。（，=0,1,2,3）中，若PC=1）的值最大，求实数a的取值范围.

某校组织一次篮球投篮测试，已知甲同学每次投篮的命中率均为1/2»

（1）若规定每投进1球得2分，甲同学投篮4次，求总得分X的概率分布和数学期

望。

（2）假设连续3次投篮未中或累计7次投篮未中，则停止投篮测试，问：甲同学恰

好投篮10次，被停止投篮测试的概率是多少？

22.（本小题为学做磔，满分12分）

甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分,

笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互

独立.根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分

别是0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是0.5,0.6,0.75.

（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；

（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为自，求随机变量J的期望£©）.

4.（本题满分10分）

在1,2,3,——,9这9个自然数中，任取3个不同的数.

（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率；

（2）求这3个数和为18的概率；

（3）设J为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3,则有两组相邻的数1,2

和2,3,此时J的值是2）.求随机变量J的分布列及其数学期望

22.袋中装着标有数字1,2,3,4的卡片各1张，甲从袋中任取2张卡片（每张卡片被取

出的可能性相等），并记下卡面数字和为X,然后把卡片放回，叫做一次操作。

（1）求在一次操作中随机变量X的概率分布和数学期望E（X）；

（2）甲进行四次操作，求至少有两次X不大于E（X）的概率.

22.一个口袋中装有大小和质地都相同的白球和红球共7个，其中白球个数不少于红

球个数.依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如

果取到白球，就停止取球.记取球的次数为随机变量X.若P（X=2）=±

（1）求口袋中的白球个数；

（2）求X的概率分布与数学期望.

22.有甲、乙两个箱子，甲箱中有6张卡片，其中2张写有数字°,2张写有数字1,2张

写有数字2；乙箱中也有6张卡片，其中3张写有数字°,2张写有数字1,1张写有数

字2.

（1）如果从甲、乙箱中各取一张卡片，设取出的2张卡片上数字之积为X，求X的

分布列及X的数学期望：

（2）如果从甲箱中取一张卡片，从乙箱中取两张卡片，那么取出的3张卡片都写有

数字°的概率是多少？

23.假定某射手每次射击命中的概率为三，且只有3发子弹.该射手一旦射中目标，就停止

4

射击，否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X,求：

⑴目标被击中的概率；⑵X的概率分布；⑶均值£（X）.

23.在2009年春运期间，一名大学生要从南京回到徐州老家有两种选择，即坐火车或汽车.

已知该大学生先去买火车票的概率是先去买汽车票概率的3倍，汽车票随时都能买到.

若先去买火车票，则买到火车票的概率为0.6,买不到火车票，再去买汽车票.

（1）求这名大学生先去买火车票的概率；

（2）若火车票的价格为120元，汽车票的价格为280元，设该大学生购买车票所花费钱

数为求］的数学期望值.

22、(本小题满分10分)在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一

巨大汽油罐.己知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，

每次射击命中率都是g,每次命中与否互相独立.

(1)求油罐被引爆的概率.

(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为列求f的分布列及f的数学期望

23.【必做题】本题满分10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在8：00,8：20,8：40这三个时刻随机发

出，且在8：00发出的概率为京8：20发出的概率为去8：40发出的概率为"；第二班

1

客车在9：00,9：20,9：40这三个时刻随机发出，且在9：00发出的概率为不9:20

发出的概率转，9：40发出的概率为"两班客车发出时刻是相互独立的，一位旅客预

计8：10到站.求：

(1)请预测旅客乘到第一班客车的概率；

(2)旅客候车时间的分布列；

(3)旅客候车时间的数学期望.

22.袋中装着标有数字1,2,3,4的卡片各1张，甲从袋中任取2张卡片(每张卡片被取出

的可能性都相等)，并记下卡面数字和为X,然后把卡片放回，叫做一次操作.

(1)求在一次操作中随机变量X的概率分布和数学期望£(X)；

(2)甲进行四次操作，求至少有两次X不大于E(X)的概率.

22.(本小题满分10分)

一个口袋装有5个红球，3个白球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球,

其中白球的个数为X.

⑴求摸出的三个球中既有红球又有白球的概率；

⑵求X的分布列及X的数学期望.

22.已知一口袋中共有4只白球和2只红球

(1)从口袋中一次任取4只球，取到一只白球得1分，取到一只红球得2分，设得分为

随机变量X,求X的分布列与数学期望；

(2)从口袋中每次取一球，取后放回，直到连续出现两次白球就停止取球，求6次取球

后恰好被停止的概率.

22.某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2

次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能

参加5次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是工，每次测试时间间隔恰当，每次测试

3

通过与否互相独立.

(1)求该学生考上大学的概率.

(2)如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X,求X的

分布列及X的数学期望.

4.如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或8或C.己知小球从每个叉口

落入左右两个管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的

小球落到A,B,C,则分别设为I,2,3等奖.

(1)已知获得I,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随机变量J为获得Z

(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量g的分布列及期望EC)；

(2)若有3人次(投入I球为I人次)参加促销活动，记随机变量"为获得1等奖或2

等奖的人次，求产①=2).

2.设在12个同类型的零件中有2个次品，现抽取3次进行检验,

每次抽一个，并且取出不再放回，若以变量X表示取出的次品个数.

(1)求X的分布列；

(2)求X的数学期望及方差.

22.袋中装着标有数字1,2,3,4的卡片各1张，甲从袋中任取2张卡片(每张卡片被取

出的可能性都相等)，并记下卡面数字和为X,然后把卡片放回，叫做一次操作.

(1)求在一次操作中随机变量X的概率分布和数学期望£(X)；

(2)甲进行四次操作，求至少有两次X不大于E(X)的概率.

23.(本小题10分)

在0,1,2,3,……，9这是个自然数中，任取三个不同的数字。

(1)求组成的三位数中是3的倍数的有多少个？

(2)将取出的三个数字按从小到大的顺序排列，设J为三个数字中相邻自然数的组数

(例如：若取出的三个数字为0,1,2,则相邻的组为0,1和1,2,此时《的值是2),

求随机变量J的分布列及其数学期望EJo

3.甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，

笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互

独立.根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分

别是0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是0.5,0,6,0.75.

(1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；

（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为g,求随机变量g的期望E（J）.

23.（本小题满分10分）

有一种闯三关游戏规则规定如下：用抛掷正四面体型骰子（各面上分别有1,2,3,4

点数的质地均匀的正四面体）决定是否过关，在闯第〃（〃=1,2,3）关时，需要抛掷〃次

骰子，当“次骰子面朝下的点数之和大于〃2时，则算闯此关成功，并且继续闯关，否则停

止闯关.每次抛掷骰子相互独立.

（I）求仅闯过第一关的概率；

（II）记成功闯过的关数为J,求J的分布列和期望.

22.（本题满分10分）

某次考试共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的；评分标准

为："每题只有一个选项是正确的，选对得5分，不选或选错得0分.”某考生每道题都给出

一个答案，已确定有5道题的答案是正确的，而其余3道题中，有一道题可判断出两个选项

是错误的，有一道题可以判断出一个选项是错误的，还有一道题因不了解题意.而乱猜，试

求该考生：

（I）得40分的概率；

（II）所得分数自的数学期望.

22.一个暗箱中有大小相同的3只白球和2只黑球共5只球，每次从中取出一只球，取到白

球得2分，取到黑球得3分.甲从暗箱中有放回地依次取出3只球.

（1）写出甲总得分J的分布列；

⑵求甲总得分。的期望E（J）。

3.设有3个投球手，其中一人命中率为q,剩下的两人水平相当且命中率均为p

（p,4G（0,1））,每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为4.

（1）当p=q=g时，求数学期望凤乡及方差丫修）；

（2）当〃+g=l时，将J的数学期望用p表示.

3、某商场搞促销，当顾客购买商品的金额达到一定数量之后可以抽奖，根据顾客购买商品

的金额，从箱中（装有4只红球，3只白球，且除颜色外，球的外部特征完