新教材苏教版必修第二册10.1两角和与差的三角函数

第10章三角恒等变换

10.1两角和与差的三角函数

10.1.3两角和与差的正切

基础过关练

题组一利用两角和与差的正切公式求值

1.（2021江苏江浦高级中学高一月考）若tan（；+a）=2,则tana的值为（）

2.(2021吉林长春外国语学校高一期末)已知tan(aV)=2,tan(a+£)=-3,则

tan(/?+%()

A.1B.-1

C.-zD.三

3.（2021江苏徐州第三中学高一月考）化简霁*箸-=（）

A.-yB.-V3

C.yD.V3

4.（2021江苏海安中学高一期中）第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家

赵爽的弦图为基础进行设计的.如图，会标是由4个全等的直角三角形与一个小正

方形拼成的一个大正方形,若小正方形的面积为4,大正方形的面积为100,设直角三

角形中较大的锐角为。，则tan（。-加）

A二B.Z

5.计算:gtanlO°+V3tan200+tanlO°tan20

6.已知tan(a+=2声,求：

(l)tan(a+3-彳)的值；

(2)tan(a+£)的值.

易错

题组二利用两角和与差的正切公式求角

7.（2020浙江杭州萧山中学高一期末）若A是△/反?的内角，满足tan代；+；：：；；；,则A

的大小是（）

A.30°B.45°

C.60°D.120°

8.（2020江苏南通通州、海安高一上学期期末）已知tan*，tan£=T，且a,8G

（0,n）,则a+fi=（）

A-TB-T

C.—D.—

64

9.（2021山东平度第一中学高一期中）已知tana,tan£是方程/+3V3JT+4=0的两

根，且则a+8=（）

2B片

C.-gD.热号

10.如图是由三个正方形拼接而成的长方形，则a+£+y等于

11.已知tan<z=2,tan£=-；,其中0<a<^<£<JI.

⑴求tan(a-8)；

⑵求a+B的值.

题组三利用两角和与差的正切公式进行化简

12.下列四个式子是恒等式的为()

(a+£)=sina+sin£

(a+8)=cosacos£+sinasin8

(⑦_£)_tana-tan/?

'/1-tanatan^

(a+j0)sin(a-y?)=sin2a-sin2B

13.(2021江苏洪泽中学高一月考)已知43都是锐角,且今后

p(l+tan/f)(l+tan^=2.求证:/+庐;.

能力提升练

题组一利用两角和与差的正切公式求值

1.(2021江苏响水中学高一期中,北)已知&•cos(n+^)=cos2"sin?0,

且sinJ#0,则tan(6+§的值为()

A.V3B.yC.2-V3D.2+V3

2.侈选）（2021福建莆田仙游一中高一开学考试*）已知0<且

tantan£是方程/-/^+2=0的两个不相等的实数根,则下列结论正确的是

A.tana+tanB=-mB./n>2y[2

C.研tan。24（a+£）=-勿

3.（2020江苏盐城中学高一学情检测,"）已知a,£均为锐角，且

5cos（a+£）=3cos（a-£）,则tan（a+£）的最小值是.

4.（2020江苏无锡、江阴高一上学期期末,*）在平面直角坐标系x勿中,已知角a

的顶点与原点0重合,始边与x轴的非负半轴重合，它的终边上有一点尸的坐标是

（3a,a）,其中a#0.

⑴求cos（a-；）的值；

⑵若tan（2a+£）=l,求tan£的值.

题组二利用两角和与差的正切公式求角

5.（2020江苏张家港外国语学校高一期末,*）在

中,tan/+tan班tanf^BV^tan?庐tan/tanC则角庐（）

6.（2021广东佛山一中高一期中,"）已知a,£W（0,n）,且tan（a-£）告,tan£=-

等,则2"£的值为

11------------

7.（2020江苏姜堰中学高二期末,/）若4/8。的三个内角满足：2庐力+C；且

水乐C,tan4tan俏2+g,求角力,旦。的大小.

深度解析

8.（2021江苏连云港海头高级中学高一期中,*：）如图，在平面直角坐标系xOy中，以

0x轴为始边作两个锐角。，万,它们的终边分别与单位圆相交于48两点，已知48

的横坐标分别为零言

⑴求tan（a+£）的值；

⑵求a+2B的值.

题组三两角和与差的正切公式的综合应用

9.（2020江苏扬州中学高一阶段检测,"）已知等腰%的腰为底的2倍,则顶角A

的正切值是（）

A.暂B.gC.乎D.孚

287

10.(*)是否存在锐角a,f,使得①。+2£=争②tan]•tan£=2-8同时成立？若存

在，求出。，£的值;若不存在,请说明理由.

答案全解全析

第10章三角恒等变换

10.1两角和与差的三角函数

10.1.3两角和与差的正切

基础过关练

1.Atan(：+a)=署*2,解得tana=l.

故选A.

2.A因为tan(a-g)=2,tan(a+£)=-3,

所以tan(0+9

=tan[(a+0)-(a-3)]

_tan(a+p)-tan(a-^)

14-tan(a+p)tan(a-^J

=而a=1♦故选A-

3.A因为tan(12。-72。)喘"嚅.

=tan(-60°)=-V3,

所以詈誓票=代==一白=一景故选A.

tanl2-tan72tan(-60)V33

4.答案B

信息提取①会标是一个大正方形;②大正方形由4个全等的直角三角形与一个小

正方形拼成;③小正方形的面积为4,大正方形的面积为100.

数学建模以第24届国际数学家大会会标为背景,构建数学模型，求解直角三角形

中某个角的三角函数值.设直角三角形较长直角边为&由勾股定理列得关于a的

方程，从而求得tan9的值，再由正切的两角差公式求解.

解析根据题意，每个直角三角形的两条直角边的长度之差为2,斜边的长度为10,

故设直角三角形较长直角边为&则另一直角边为(42),

.•.1+(3-2)2=100,解得a=8,

Asincos夕=|,则tan9-,

/.tan(e

\4/l+tan67

5.答案1

解析Vtan100+tan200=tan300(1-tanlOtan200)=y(l-tanl00tan200),

/.V3tanl0°+V5tan200+tanl0°tan20°=V3(tanlO°+tan20°)+tanl00tan20°=

百义苧(1-tanlO°tan20°)+tanl0°tan20°=1.

6.解析⑴tan(a+g)

=tan[(a+^)+(/?-f)]

二tan(a+给+tan(0号)

1-tan(a+g)tan(0-/)

—V2+2yf2—_p:

-1-72X2V2-..

⑵tan(。£)=tan[(a+*)+沪需螭能；2后3.

易错警示

直接运用两角和与差的正切公式进行求值、化简与证明的关键是准确记忆公式，特

别是7±.)中的符号规律是“分子相同、分母相反”.

7.C由题意得taM=岑*=第若*=tan60°=V3,

又4是△放的内角，所以4=60°.故选C.

8.B,Itana=»0,tan£=-£(),且a,£e(0,n),

•••ae(o《"飞㈤，

14

又tan(。+£)=；喘吗=*=-1,

''1-tanatan/?

/.a+6哼故选B.

9.C因为tana,tan£是方程1+3h矛+4=0的两根,

所以(tana+tan，=-3V3,

Itanatan^=4,

贝ijtan(。+£)=^^=普=6,

''1-tanatan/?1-4

又a,£G(《，0),所以-n<a+£<0,

因此a+£=号.

故选C.

10.答案i

解析由题图易知tana三,tan£三，/三,二tan(。+尸)守第=1,

又0<a+£4，

,a+f=».a+£+

11.解析(1)把tana=2,tan£=-；代人得

tan(a-fi户拌2。=.2gL=7.

'，l+tanatanpi+2x(-1)

(2)把tana=2,tan£=-；代人得

tan(4+£)=：na+ta吗=、+(2=],

又0<。<瑞<£",所以为a+£今,

所以a+£哼

12.D由两角和与差的正弦、余弦、正切公式可知,A,B,C中的等式不一定成立.

选项D中,sin(。+£)sin(。-£)=(sin<7cos£+cos。sin£)(sinacos£一

cosasin£)=sir?acos2j5-cos2Qsin~£=sin'a(1-sin275)-(l-

sinJci)sinLS=sin?o—sin?£.故选D.

13.证明•.•(l+tan/)(l+tan句=2,

，1+tanA+tan班tanHtan庐2,

l-tanAan^tan/l+tan^,

又l—tan4tan#0,

•••黑黑=l，,tanH+家1,

又..U是锐角,后％

能力提升练

1.DVV2sin(0-^cos(Ji+夕尸cos?，一sir?。，

.,.&(sin8cos:cos8sing(—COS夕)二COS""sin一夕，

/.(sin夕—cos8)(-cos")=(cos"sin0)•(cos夕+sinJ),I.sinJ(cos。一

sin。尸0,

Vsin夕W0,...cos，一sin，二O,.'tan夕=1,

，tan(e+9=2!!^=噜2+g.

V6)l-tan0tang1无

故选D.

2.BCD由tana,tanB是方程x-/nx+2=0的两个不相等实数根，

得tana+tan£=z»,tana•tan£=2,故A错误；

由0<a<£g,tana,tan£均为正数，

得zzFtana+tan£=/22洞Q=2或，当且仅当tana=tan£时取等号,因为方

程有两个不相等实数根，所以tanaWtan£,故等号取不到，故B正确；

加"tana=2tana+tan822,2tana•tan/?=4,当且仅当2tana=tan取等号，故C正

确;tan(。+£)=普*叩勺故口正确.

'71-tana•tan£-1

故选BCD.

3.答案1

解析因为5cos(a+£)=3cos("£),

所以5cosacos£-5sinasin

=3cos<7cos£+3sin。sin£,

所以2cosocos£=8sin〃sin£,

故tanQtan£三，

因为。，£均为锐角，所以tan〃>0,tan£>0.

所以tan(a+B产署翳力(tana+tan£)2含2,tanatan*,

当且仅当tana=tan£=g时等号成立，

所以tan(。+£)的最小值是:

4.解析⑴由题意可得，当a>0时，点。在第一象限，

cosa=-3a

(3a)2+a210

sin.~7o~

J(3a)，。2

.•.cos(a-g=cosacos*inasi曰;

当a<0时，点尸在第三象限,

3a3a__35/10

COSQ二!

J(3a)2+a2710a―10

sm4二/.a__V10

J(3a)，a2710：a.一"16~1

.\cos(a-7)=cosQcos：+sinasin?二一等

\4/445

综上，当a>0时,cos(a.)=*当a<0时,cos(a-；)=-等.

(2)由题意可得tana=l,

tan2a=tan(a+a)=sna+tana=3,

''1"tancr,tana4

*/tan(2a+£)=1,

/.tan£=tan[(2Q+储-2〃]二.tan(2a+0)-tan2a_1

l+tan(2a+/7)tan2a7'

5.C因为〃班田180°,

所以tan(/+6)=-tanH

因为tan/+tanatan6>3V5,

所以tan/l+tanG^V5-tanA

又tar?庐tan力tang

所以由tan(/+6)=黑感得

-tan作学驾，

l-tan2F'

所以-tan^l-tan'功=3V5-tan8,

所以tan'2?=3V5,所以tanj?=V5.

又0。<^<180°，所以庐60°.

6.答案号

解析tan("£)=「"}=竽

''14-tana•tan?3

5/3

把tan氏-等代入得由。+共唱解得的「a哼

11l+taw卜警)39

/小V3,2^/3

贝ijtan(2a-£)=tan[La+(。-T^=叵

''''』1-tana•tan(a4-p)-73273

因为tana普<1,所以0<a<：,即0C2a<*

因为tan£=-¥<0,所以军尸<n,

则-n<2"£<0,所以2"£=号.

7.解析由题意知檄I'。。，

解得5=60°且/+年120°,

又tan/tang+V5,

tan4+tan俏tan(/+0(1-tanltan6)

=tanl20。X(1-2-百)

=-V3X(-l-V3)=3+V3.

，tan4tan。可作为一元二次方程V-(3+V5)x+2+百=0的两根,

解得X1=1,X2=2+V5,

又YO°OK乐仪180°,

...tan/4=l,tan(?=2+V3,

即4=45°,1=75°.

.•.角。的大小分别为45°,60°,75°.

方法技巧

两角和与差的正切公式有两种变形形式：

①tana±tan£=tan（a土£）（1干tanatan£）；②1干tana•tan£=：：：鬻［当

a±£为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和（或差）时常

用变形形式②.

8.解析由题