高中数学第一轮复习

■■■SUNNY

三力散育

高中数学第一轮复习讲义

①集合，函数，数列

2012

目录

目录.............................................................................0

第一章集合与简易逻辑一一集合的概念...........................................2

第一章集合与简易逻辑——集合的运算...........................................4

第一章集合与简易逻辑一一含绝对值的不等式的解法...............................6

第一章集合与简易逻辑------元二次不等式的解法.................................9

第一章集合与简易逻辑一一简易逻辑.............................................11

第一章集合与简易逻辑——充要条件..............................................14

第一章集合与简易逻辑一一数学巩固练习........................................17

第二章函数一一函数的概念.....................................................22

第二章函数一一函数的解析式及定义域..........................................24

第二章函数一一函数的值域.....................................................28

第二章函数一一函数的奇偶性...................................................31

第二章函数一一函数的单调性...................................................34

第二章函数一一反函数.........................................................37

第二章函数一一二次函数.......................................................40

第二章函数一一指数式与对数式.................................................43

第二章函数一一指数函数与对数函数............................................45

第二章函数一一函数的图象.....................................................47

第二章函数一一函数的最值.....................................................51

第二章函数一一函数的应用.....................................................53

第二章函数一一数学巩固练习...................................................56

第三章数列一一数列的有关概念.................................................60

第三章数列一一等差数列、等比数列的基本运算..................................62

第三章数列一一等差数列、等比数列的性质及应用................................64

第三章数列一一数列求和.......................................................67

第三章数列一一数列的实际应用.................................................70

第三章数列一一数学巩固练习...................................................73

第一章集合与简易逻辑一一集合的概念

(一)主要知识：

1.集合、子集、空集的概念；

2.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法；

3.若有限集A有〃个元素，则A的子集有2"个，真子集有2"-1,非空子集有2"-1

个，非空真子集有2"-2个.

(二)主要方法：

1.解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么；

2.弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；

3.抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；

4.正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化.

(三)例题分析：

例1.已知集合P={y=£+1},Q={y|y=d+I},E={x|y=/+1},

F={(x,y)|y=x2+1},G={x|x>l},则(D)

(A)P=F(B)Q=E(C)E=F(O)Q=G

解法要点：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简.

例2.设集合P={x-y,x+y,孙},0+忆尤2_丫2,。},若p=Q,求的值及

集合P、

解：•.•P=。且。6。，：.QeP.

⑴若x+y=O或x-y=O,则/-9=0,从而Q={/+,2,0,。},与集合中元

素的互异性矛盾，二且x-ywO；

(2)若孙=0,则x=0或y=0.

当y=0时，P={x,x,0},与集合中元素的互异性矛盾，.•.yHO；

当x=0时，p={_y,y,()},Q={y2-y\O},

-

，2

y①或y_y②

由P=Q得一

yywO

由①得丁=一1，由②得y=l.

•”号Qi或止匕时P=Q={i,-LO}.

b1b1

例3.设集合M={x|x=/+z，ZeZ},N=[x\x=^+-,keZ},则(B)

(A)M=N(B)M^N(C)M卫N

解法一：通分；

解法二：从！开始，在数轴上表示.

4

例4.若集合4=k|》2+办+1=(),%6尺},集合8={1,2},且AqB,求实数。的

取值范围.

解：(1)若A=。，则△=。2一4<0,解得-2<。<2；

(2)若IGA,则/+a+l=O,解得。=一2,此时A={1},适合题意；

(3)若2eA,则22+2a+l=0,解得°=_|,此时A={2,|},不合题意；

综上所述，实数加的取值范围为[-2,2).

例5.设/(x)=x?+px+q,A={x|x=/(x)},B={%|/[/(%)]=x}>

(1)求证：A^B；

(2)如果A={—1,3},求8.

(四)巩固练习：

1.已知M={x|2站一5》一3=0},N={x\mx=1},若NJM,则适合条件的实

数M的集合P为{0,-2,白；P的子集有&_个；P的非空真子集有上个.

2.已知：f(x)=x2+ax+b,A={x\f(x)=2x}={2},则实数a、b的值分别为

-2,4.

3.调查100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药,

那么既带感冒药又带胃药的人数的最大值为75,最小值为55.

3I

4.设数集”={x|m+N={x|〃——<x<n},且M、N都是集合

43

{xIOWxWl}的子集，如果把。-a叫做集合{x|aWxW耳的“长度”，那么集MflN

的长度的最小值是

12

第一章集合与简易逻辑一一集合的运算

(一)主要知识：

1.交集、并集、全集、补集的概念；

2.AflBMoAC，AUB=AOA3B；

3.C“AnCUUB),CuAUQB=Co(AnB).

(二)主要方法：

1.求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；

2.含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题；

3.集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键.

(三)例题分析：

例1.设全集U={x[0<x<10,xeN*},若Ap|6={3}，40。*={1，5,7}，

CUAQCUB={9},则A={1,3,5,7},3={2,3,4,6,8}.

解法要点：利用文氏图.

例2.已知集合A={x|+3/+2》>o},5=+ax+b<0^,若

An5={-v|0<x<2},AU6={x[x>-2},求实数a、8的值.

解：由J?+3/+2x>0得x(x+l)(x+2)>0,—2<x<—1或x>0,

...A=(—2,—l)U(0,叱)，XVAn^={x|0<x<2},且AU6={x|x>—2},

和2是方程炉+办+b=0的根,

由韦达定理得:「广宁”，.,.仁=；

说明：区间的交、并、补问题，要重视数轴的运用.

例3.已知集合4={(乂刈犬—2y=0},B={(x,y)|2二=0},则4口8=。；

x-2-

AU6={(x,y)|(x-2y)(y-l)=0}；.

解法要点：作图.

注意:化简8={(x,y)|y=l,x#2},(2,1)eA.

例4.已知集合

A={,I丁_(/+a+l)y+q(/+1)>0},5==—x2—x+—,0<x<3},

若Ans=。，求实数。的取值范围.

例5.已知集合

A={(x,y)|d+侬_y+2=0,xe/?},B={(x,^)|x—y+l=0,0<x<2)»

若AABN。，求实数加的取值范围.

分析：本题的几何背景是：抛物线y=x2+mx+2与线段y=x+l(0〈x«2)有公共

点，求实数机的取值范围.

解法一：由产+〃优?+2=0得/+(僧_1口+1=0①

(x-y+1=0

•.•An870,.•.方程①在区间［0,2］上至少有一个实数解，

首先，由△=(/”—1)2-420,解得：加23或加W—1.

设方程①的两个根为国、々，

(1)当加23时，由西+w=-(m-l)<0及％-工2=1知否、々都是负数，不合题意;

(2)当机(一1时，由玉+马=一(加一1)>0及N=1>。知*、4是互为倒数的

两个正数，

故七、&必有一个在区间［。，1］内，从而知方程①在区间［0,2］上至少有一个实数

解，

综上所述，实数机的取值范围为(-00,-1］.

解法二：问题等价于方程组卜=丁7加+2在［0,2］上有解，

ly=x+l

即丁+(加-1)%+1=0在［0,2］上有解，

令f(x)=x2+(zn-l)x+l,则由/(0)=1知抛物线y=/(%)过点(0,1),

，抛物线y=/（x）在［0,2］上与x轴有交点等价于/（2）=22+2（/n-l）+l<0①

A=（m-l）2-4>0

或Jo<^^<2②

2

/（2）=22+2（777-1）+1>0

aa

由①得一一，由②得一一<加<1,

22

,实数机的取值范围为（-00,-1］.

（四）巩固练习：

1.设全集为U,在下列条件中，是8GA的充要条件的有（D）

①AUB=A,②GjAns="，③C“AQG/,④AUG/B=U，

（A）l个（8）2个（C）3个（0）4个

2.集合A=｛（x,y）|y=a|x|｝,3=｛（x,y）|y=x+。｝,若AflB为单元素集,实数

。的取值范围为.

第一章集合与简易逻辑一一含绝对值的不等式的解法

（一）主要知识：

1.绝对值的几何意义：|x|是指数轴上点x到原点的距离；|%-马|是指数轴上

%,超两点间的距离

2.当c>0时，\ax+b\>cc^ax+b>c^ax+b<—c,

\ax+h\<cd>—c<ax+h<c；

当c<0时，|at+/?|>c<=>%€R,\ax+b\<cx&（/）.

（二）主要方法：

1.解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一

次（二次）不等式（组）进行求解；

2.去掉绝对值的主要方法有：

(1)公式法：|x|<a(a>0)=—a<x<a,|x|>a(a>0)ox>a或x<—a.

(2)定义法：零点分段法；

(3)平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方.

(三)例题分析：

例1.解下列不等式：

(1)4<|2x-3|<7；(2)|%-2|<|x+l|；(3)|2x+l|+|x-2|>4.

解：(1)原不等式可化为4<2x-3W7或-7«2x-3<T,.•.原不等式解集为

]7

22

(2)原不等式可化为(x-2)2<(x+l)2,即尤〉L.•.原不等式解集为4,+00).

22

(3)当—时，原不等式可化为—2x—1+2—%>4,•*.x<—1>此时xv—1；

2

当一，<工<2口寸，原不等式可化为2x+l+2—x>4,x>1,止匕时lvxv2；

2

当工22时，原不等式可化为2x+l+x—2>4,/.%>-,止匕时x22.

3

综上可得：原不等式的解集为(-oo,-l)U(l,”).

例2.(1)对任意实数x,|九+1|+|九-2|>〃恒成立，则。的取值范围是(-8,3)；

(2)对任意实数%,|%-1|-|工+3|<〃恒成立，则。的取值范围是(4,+8).

解：(1)可由绝对值的几何意义或y=|x+l|+|九-2|的图象或者绝对值不等式的

性质|x+l|+|%—2|=|x+l|+|2—x|>|x+1+2—x|=3得|x+11+|x—2|23,/.a<3；

(2)与(1)同理可得|x—1|—|x+3区4,/.«>4.

例3.设。解关于x的不等式：|以一2|2".

解：原不等式可化为ax-2>bx或ax-2<-bx,即(。-6)x22①或

•2

(。+力)九W2nxM---②，

a+b

当。>人>0时，由①得xN上,J此时，原不等式解为：x>—^x<^—；

a-ha-ba+h

2

当Q=〃>0时，由①得・•・此时，原不等式解为：%<—;

a+b

当Ova<力时，由①得x4一,・♦.此时，原不等式解为：x<—.

a-ha+b

77

综上可得，当。>人>0时，原不等式解集为（-O0,上］U［」~,+8），

a+ba-b

2

当Ova时，原不等式解集为（—8,」］.

a+b

例4.已知A={x||2x—3|<a},8={x||x区10},且人呈8，求实数。的取值范围.

解：当时，A=。，此时满足题意;

当时，

a>0|21—31<an---<x<"",V

22

3—ci

>-10

=>6(<17,

3+a

r<10

综上可得，。的取值范围为（-oo』7］.

例5.在一条公路上，每隔100初7有个仓库（如下图），共有5个仓库.一号仓

库存有10/货物，二号仓库存20r,五号仓库存40,其余两个仓库是空的.现在

想把所有的货物放在一个仓库里，如果每吨货物运输Um需要0.5元运输费，那

么最少要多少运费才行？

一~二~三~四~一

解：以一号仓库为原点建立坐标轴，

则五个点坐标分别为A五&：100,4:200,4：300,A:400,

设货物集中于点B:x,则所花的运费y=5|x|+10|x-100|+20|x-200|,

当OWxWlOO时，y=-25x+9000,此时，当x=100时，ymin=6500；

当100<x<400时，y=-5x+7000,止匕时，5000<^<6500；

当XN400时，y=35x-9000,此时，当x=400时，ymin=5000.

综上可得，当x=400时，为而=5000,即将货物都运到五号仓库时，花费最少,

为5000元.

（四）巩固练习：

YV3

1.|——1>——的解集是（-1,0）;|2%-3|>3%的解集是（-8,-）；

1+x1+x--------5

2.不等式卑”21成立的充要条件是|a|〉|回;

\a\-\b\---------

3.若关于x的不等式|x-4|+|x+3|<。的解集不是空集，则ae(7,+oo)；

4.12x-log2x|<2x+1log2x\,则xe(l,+oo)

第一章集合与简易逻辑-----元二次不等式的解法

(一)主要知识：

1.一元二次不等式、对应方程、函数之间的关系；

2.分式不等式要注意大于等于或小于等于的情况中，分母要不为零；

3.高次不等式要注重对重因式的处理.

(二)主要方法：

1.解一元二次不等式通常先将不等式化为ax2+bx+c>0或

依2+加+c<0(a>0)的形式，然后求出对应方程的根(若有根的话)，再写出

不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间；

2.分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理;

3.高次不等式主要利用“序轴标根法”解.

(三)例题分析：

例1.解下列不等式：

(1)x2-x-6<0；(2)-x2+3x+10<0；(3)A~(-+1)(—2->0.

(x+2)(x-l)

解：(1)—2<x<3；(2)x>5orx<—2；

(3)原不等式可化为

x(x+l)(x—2)(x+2)(x—1)>0

=>-2<x<-lor0<x<lorx>2.

(x+2)(x-l)，0

例2.已知A={x|x2-3x+2«0},B={x|x2-(«+l)x+<?<0},

(1)若求a的取值范围；

(2)若3=求a的取值范围.

解：A={x|l<x<2},

当a>l时，B={x|l<x<a}；当a=l时，8={1}；当a<l时，5={x|a<x<l}.

(1)若4*3,则尸沙=>。>2；

手a>2

(2)若8=

当a=l时，满足题意；当a>l时，a<2,此时l<a<2；当”1时，不合题意.

所以，。的取值范围为[1,2).

例3.已知/(x)=》2+2(a-2)x+4,

(1)如果对一切xeR,/(x)>0恒成立，求实数〃的取值范围;

(2)如果对XG[-3,1],f(x)>0恒成立，求实数。的取值范围.

解：(1)A=4(«-2)2-16<0=>0<a<4；

卜°-2)<一3或|-3《--2)V1卜(a-2)>1

(2)

1/(-3)>0[A<0[/(I)>0

解得ae。或l〈a<4或一，<a<l,a的取值范围为(一,,4).

22

例4.已知不等式a^+bx+c〉。的解集为｛x[2<x<4｝,则不等式ex?+法+“<()

的解集为—.

解法——：(x-2)(x-4)<0即一%2+6%—8>0的解集为｛x[x>；orx<；｝,

，不妨假设a=-l,b=6,c=—8,则cd+笈+。即为一8犬2+6x-l<0,解得

｛xI—<X<一｝.

42

a<0c<0

解法二由题意：-『6二一鸿,

ex2+bx+a<0可化为+-X+—>OB|Jx2--x+->0,

cc48

解得｛x|x>g或X<；｝.

例5.已知二次函数f(x)=ax2+hx^-c的图象过点(-1,0),问是否存在常数a,b,c,

使不等式X</(x)<1(l+V)对一切XGR都成立？

解：假设存在常数a,仇c满足题意,

•.•/(x)的图象过点(―1,0),1)=。—人+c=0①

又,不等式/(x)Wg(l+*2)对一切xeR都成立，

.•.当尤=1时，1</(1)<工(1+12),即lWa+h+cWl,：.a+b+c=[②

由①②可得：a+c--,b--,/./(x)-ax2+—x+(——a),

2222

由/(x)<—(1+x2)对一切xeR都成立得：x<ax2+]X+d-a)«:(1+%2)恒

成立，

CUCX4~((I)20,,〜、？

・•・{22的解集为R,

(2〃-1)/+%-2a<0

."2。-1<0\a>0

..511且4,H即n4

--4«(--«)<0[l+8cz(2«-l)<0[(l-4a)-<0

(l-4a)2<0

._1.1

••d——,••C-:—,

44

.•.存在常数。=工,〃=」,，=」使不等式34/(x)«,(1+尤2)对一切xeR都成立.

4242

(四)巩固练习：

1.若不等式(。-2)犬2+2(a-2)x-4<0对一切xeR成立，则a的取值范围是

(-2,2].

2.若关于X的方程V+办+/-1=0有一正根和一负根，则

3.关于x的方程制x-3)+3=/x的解为不大于2的实数，则加的取值范围为

3

(-oo,--]U(0,DU(l,+<»).

4.不等式乜空f»0的解集为(YO,T)U(0,2]"X=-1.

x(4+x)---------------------------------

第一章集合与简易逻辑一一简易逻辑

(一)主要知识：

1.理解由“或”“且”“非”将简单命题构成的复合命题;

2.由真值表判断复合命题的真假；

3.四种命题间的关系.

(二)主要方法：

1.逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关

系，解题时注意类比；

2.通常复合命题“p或q”的否定为''力且r"、“p且q”的否定为“力

或F”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等；

3.有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若p,

则q”的形式；

4.反证法中出现怎样的矛盾，要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题

设、定义、定理、公理、公式、法则等矛盾，甚至自相矛盾.

(三)例题分析：

例1.指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假：

(1)菱形对角线相互垂直平分.

(2)“2W3”

解：(1)这个命题是“p且q”形式，p:菱形的对角线相互垂直；q:菱形的对角

线相互平分，

为真命题，q也是真命题且4为真命题.

(2)这个命题是“"或q”形式，〃：2<3；q:2=3,

为真命题，4是假命题或4为真命题.

注：判断复合命题的真假首先应看清该复合命题的构成形式，然后判断构成它的

简单命题的真假，再由真值表判断复合命题的真假.

例2.分别写出命题“若/+丁=0,则全为零”的逆命题、否命题和逆否

命题.

解：否命题为：若V+VNO,则不全为零

逆命题：若全为零，则/+y2=o

逆否命题：若不全为零，则V+VNO

注：写四种命题时应先分清题设和结论.

例3.命题“若相>0,则/+X-m=0有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你

的结论.

解：方法一：原命题是真命题，

*/m>0>A=l+4m>0>

因而方程+X—机=0有实根，故原命题”若相>0,则f+X—m=0有实根”是

真命题；

又因原命题与它的逆否命题是等价的，故命题“若〃?〉0,则Y+X-机=0有实

根”的逆否命题是真命题.

方法二：原命题“若加>0,则f+x_w=o有实根”的逆否命题是“若/+》_机=0

无实根，则来<0”.*.*+»=0无实根

A=1+4加<0即机<——<0，故原命题的逆否命题是真命题.

4

例4.(考点6智能训练14题)己知命题p：方程x2+/wc+l=0有两个不相等

的实负根，命题q：方程+4(/〃-2)x+l=0无实根；若p或g为真，〃且q为

假，求实数"的取值范围.

分析：先分别求满足条件〃和4的机的取值范围，再利用复合命题的真假进行转

化与讨论.

解：由命题p可以得到：=：.m>2

[m>0

由命题4可以得到：△=[4(〃z-2)]2-16<0：.-2<m<6

•••〃或4为真，〃旦4为假”,(7有且仅有一个为真

当p为真，4为假时，\^^>m>6

[m<-2,orm>6

<2

当〃为假，q为真时，1—=>-2<m<2

[-2<m<6

所以，，%的取值范围为{加|加26或-2</〃W2}.

例5.已知函数/(幻对其定义域内的任意两个数a/，当a<h时，都有

f(a)<f(b),证明：/(x)=0至多有一个实根.

解：假设/(x)=0至少有两个不同的实数根%,王，不妨假设司<々，

由方程的定义可知：f（xt）=Q,f（x2）=O

即/U,）=/U2）

由已知工1<々时，有/（%）</（々）这与式①矛盾

因此假设不能成立

故原命题成立.

注：反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题.

例6.用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程：or?+必+。=0（。70）有有

理根，那么a,仇。中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（）

A.假设a,仇c都是偶数B.假设a,。,c都不是偶数

C.假设a,仇c至多有一个是偶数D.假设a2,c至多有两个是偶数

（四）巩固练习：

1.命题“若p不正确，则4不正确”的逆命题的等价命题是（）

A.若q不正确，则p不正确B.若“不正确，则〃正确

C若p正确，则q不正确D.若p正确，则4正确

2.“若62一4改<0,则办2+版+。=0没有实根”，其否命题是（）

A若廿-4400,则ax?+匕x+c=O没有实根

B若从一4ac>0,则公2+bx+c=0有实根

C若/-4acN0,则ax?+bx+c=0有实根

D若后—4acZ0,贝iJa^+bx+c=O没有实根

第一章集合与简易逻辑一一充要条件

（一）主要知识：

1.充要条件的概念及关系的判定；

2.充要条件关系的证明.

（二）主要方法：

1.判断充要关系的关键是分清条件和结论；

2.判断〃=>夕是否正确的本质是判断命题“若“，则q”的真假；

3.判断充要条件关系的三种方法：

①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法(或图解法).

4.说明不充分或不必要时，常构造反例.

(三)例题分析：

例1.指出下列各组命题中，〃是q的什么条件(在“充分不必要”、“必要不

充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答)

(1)在AASC中，p:A>B,:sinA>sinB

(2)对于实数x,y,p:x+y或

(3)在AABC中，p:sinA>sin8,q:tanA>tanB

(4)已知〃：(x-l)2+(y-2)2=0,q:(x-l)(y-2)=0

解：(1)在AABC中，有正弦定理知道：—=—

sinAsinB

sinA>sin3oa>b又由a>/?u>A>3

所以，sinA>sinB<=>A>B即〃是q的的充要条件.

(2)因为命题“若x=2且y=6,则x+y=8”是真命题，故〃=>q,

命题“若x+y=8,则x=2且y=6"是假命题，故q不能推出p,

所以〃是4的充分不必要条件.

(3)取4=120,3=30",p不能推导出q；取A=30,3=120,q不能推导出p

所以，〃是“的既不充分也不必要条件.

(4)因为P={(1,2)},Q={(x,y)|x=l或y=2},P注Q,

所以，夕是9的充分非必要条件.

例2.设则V+y2<2是|》|+|加0的()、是|尤|+及|<2的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不

必要条件

解：由图形可以知道选择B,D.(图略)

例3.若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件,

命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

条件

解：因为甲是乙的充分非必要条件，故甲能推出乙，乙不能推出甲，

因为丙是乙的必要非充分条件，故乙能推出丙，丙不能推出乙，

因为丁是丙的充要条件，故丁能推出丙，丙也能推出丁，

由此可知，甲能推出丁，丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件，选B.

例4.设x,ywR,求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是町20.

证明：充分性：如果xy=0,那么，①x=0,y工0②=0③x=0,y=0于

是|x+y|=|x|+|y|

如果肛>0即x〉0,y〉0或x<0,y<0,

当x>0,y>0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|,

当x<0,y<0时，|x+y|=_x_y=(-幻+(-y)=1xI+1yI，

总之，当孙NO时，|x+y|=|x|+|y|.

必要性：由|x+y|=|x|+|y|及eR

得(x+y)2=(|x|+|y|)2即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2

得|9|=xy所以孙>0故必要性成立，

综上，原命题成立.

例5.已知数列｛叫的通项%…,为了使不等式

"〃+3〃+42/1+3

an〉log；(rT)-\log；”]/对任意“eM恒成立的充要条件.

解：

。”+]—an=--------F-.........----------------=(-------------——-------)+(-———---------)>0，

2H+42〃+5n+32n+42n+62n+52n+6

aaa

则n>n-\>,,-2>•■•>«2>

欲使得题设中的不等式对任意neN*恒成立，

只须｛4｝的最小项q>log^(t-1)log^_nt即可，

I19

又因为q=士+上=三，

4520

9Ii

即只须，—1w1且log；(，—1)-log；Q—1)—<0,

角毕得-1<log,(r-l)<t(t>1),

即—l,

t

解得实数/应满足的关系为f>匕或且1/2.

2

例6.(1)是否存在实数加，使得2x+/n<0是无之-2%-3>0的充分条件？

(2)是否存在实数m,使得2x+m<0是f-2x-3>0的必要条件？

解：欲使得2x+m<0是/一2l—3>0的充分条件，则只要

{x|x<-y}c{x|x<-l或X>3},贝只要-24-1即〃?22,

故存在实数加22时，使2x+m<0是/-21-3>0的充分条件.

(2)欲使2x+m<0是f-2x-3〉0的必要条件，则只要

m___

{彳|为<一一}?{工上<一1或%>3},则这是不可能的,

故不存在实数机时，使2x+/?7<0是X2-2》-3>0的必要条件.

(四)巩固练习：

1.若非空集合MgN,则“ae"或aeN”是“aeA/DN”的条件.

2.0<x<5是|x-2|<3的条件，

3.直线a,b和平面a,尸，a〃人的一个充分条件是()

A.alla.bllaB.alla.bIIp.allp

C.aka.bLp.all[3D.aka.bkp.a±p

第一章集合与简易逻辑一一数学巩固练习

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的答案填在后面的表格中)

1.={x\x=^+^,keZ},N={x\x=^-+^,k&Z},则

(A)M=N(B)M桂N(C)M^N(D)M「N=@

2.已知命题p：若/+y2=o,则％、y全为0；命题q：若a>b,则,<，.给

ab

出下列四个复合命题：①0且Q,②0或q,③④f，其中真命题的个数为

(A)l(3)2(C)3(D)4

3.A,8,C是三个集合，那么“A=B”是"AC|C=BnC”成立的

(A)充分非必要条件(8)必要非充分条件

(C)充要条件(。)既非充分也非必要条件

4.已知函数/(x)=/,集合A={x|/(x+D=ox,xeR},且AUR+=R+，则实

数。的取值范围是

(A)(0,+oo)(3)(2,+8)(C)[4,+8)(O)(—S,0)U[4,+8)

5.已知全集。={1,2,3,4,5,6,7,8},集合M={2,3,4},P={1,3,6},则集合{5,7,8}是

(A)M\JP(5)MAP(C)电(MflP)(D)6(MUP)

6.A={x\x=a2+l,aeN},B={y\y=b'-4b+5,beN},则下列关系中正确的

是(A)A=3⑻B§A(C)(O)AnB=。

7.下列命题中，使命题“是命题N成立的充要条件的一组命题是

(A)M:a>b',N:ac2>be2(S)M:a>b,c>d;Nia—d>b-d

(C)M:a>b>09c>d>Q\N\aobd(D)M:|a-b\=^a\4-\b\;N:ab<0

8.不等式(。-2*+21-2,-4<0对于xeR恒成立，那么。的取值范围是

⑷(一2,2)(fi)(-2,2](C)(~°°，2](0(-<»，-2)

9.如果区仇，满足c<匕<。，且。。<0,那么下列选项中不一定成立的是

(ah>ac(B)c(b—a)>0(C)cb2<ab2(D)ac(a-c)<0

10.二次函数/(x)的二次项系数为正数，且对任意项xcR都有/(x)=/(4-x)成

立，若/(I-2/)</(1+2彳-/)，则x的取值范围是

(A)x>2(B)x<—2或0<x<2(C)—2<x<0(D)x<—2或x>0

请将选择题的答案填在下面的表格中：

题号12345678910

答案CBAADADBCC

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)

11.在函数/(%)=加+芯+。中，若a,"c成等比数列且/(0)=-4,则/(x)有最大

值(填“大”或“小”)，且该值为且.

12.对任意实数x,7(x)是x和一一2中的较大者，则/(x)的最小值为二

13.已知定义在闭区间［0,3］上的函数/。)=依2-2履的最大值为3,那么实数女

的取值集合为｛-3,1｝.

14.已知以下四个命题：

①如果为,%是一元二次方程at?+加+c=O的两个实根，且看<々，那么不等

式加+〃x+c<0的解集为<大<々｝；

<0,则(x—l)(x—2)40；

x-2

③“若加>2,则d-2x+m>0的解集是实数集R”的逆否命题；

④若函数在(-oo,+oo)上递增，且a+bNO,则

f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).

其中为真命题的是②③④(填上你认为正确的序号).

三、解答题(本大题共4小题，共34分，解答题应写出文字说明，证明过程或

演算步骤)

15.(本题7分)解关于x的不等式"一片二"4I.

x-a

答案：①当a<0或a>1时，

②当。=0或。=1时，XE0;

③当0<avl时，X£(片,〃］o

16.(本题7分)设S是实数集R的真子集，且满足下列两个条件:

①1金S；②若aeS,则」一eS,

1-12

问：(I)若2eS,则S中一定还有哪两个数？

(II)集合S中能否只有一个元素？说明理由.

答案：(I)-I,-；

2

(II)不可能.

17.(本题10分)函数/(x)对一切实数均有

/(x+y)-/(y)=(x+2y+l)x成立，且/⑴=0,

(1)求/(O)的值;

(2)当0Wx<3时，/(x)+3<2x+a恒成立，求实数。的取值范围.

答案：(1)-2；

(II)(1,4-00).

18.（本题10分）已知集合A={x|x2|d-21|},B={x\x1-2ox+cz<0},若

A^B=B9求实数。的取值范围.

答案:aG[0,1],易错点:A=[1,3]U{。}的表不不规范。

第二章函数一一函数的概念

（一）主要知识：

1.对应、映射、像和原像、一一映射的定义；

2.函数的传统定义和近代定义；

3.函数的三要素及表示法.

（二）主要方法：

1.对映射有两个关键点：一是有象，二是象惟一，缺一不可；

2.对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解，这是处理函数问题的关键;

3.理解函数和映射的关系，函数式和方程式的关系.

（三）例题分析：

例1.（1）A=R,B={y|y>0},/:x->y=|%|；

（2）A={x|xN2,xeN*},6={y|yeN},f:xy=x2-2x+2；

（3）A={x|x>0},B-[y\yeR},7:x—>y=+\[x.

上述三个对应（2）是A到B的映射.

例2.已知集合知={(匕刈%+卜=1},映射了:MfN,在/作用下点(x,y)的象

是(2，,2V),则集合N=(D)

(A){(x,y)|x+y=2,x>0,y>0}(B){(x,y)|xy=l,x>0,y>0}

(C){(x,y)|盯=2,x<0,y<0}(D){(x,y)㈤=2,x>0,y>0}

解法要点：因为x+y=2,所以2匚2，=2'+>'=2.

例3.设集合M={-1,0,1},TV={-2,-1,0,1,2},如果从M到N的映射/满足条

件：对M中的每个元素x与它在N中的象/（幻的和都为奇数，则映射/的个数

是（。）

（A）8个（8）12个（C）16个（0）18个

解法要点：•••x+/（x）为奇数，，当x为奇数-1、1时，它们在N中的象只能为

偶数-2、0或2,由分步计数原理和对应方法有3?=9种；而当x=0时，它在N

中的象为奇数-1或1,共有2种对应方法.故映射了的个数是9x2=18.

例4.矩形ABC。的长AB=8,宽49=5,动点E、F分别在8C、C。上，且

CE=CF=x,(1)将AAEF的面积S表示为x的函数/(x),求函数S=/(x)的

解析式；

(2)求S的最大值.

解：⑴

°1211

s=/(X)=SaABCD-S^CEF-S^BE-5AA0F=40--x---x8x(5-x)--x5x(8-x)

1,13I,13、2169

=——XH——X=——(X--)H----.

22228

VCE<CB<CD,：.Q<x<5,

.•.函数S=/(x)的解析式：S=f(x)=--(x--)2+—(0<x<5)；

228

(2)•；/(x)在xw(O,5］上单调递增，Smax=/(5)=20,即S的最大值为20.

例5.函数/(x)对一切实数x,y均有/(x+y)-/(y)=(x+2y+l)x成立，且

/⑴=0，

(1)求/(0)的值；

(2)对任意的玉e(0,；),x2e(0,1),都有/a)+2<log"W成立时，求。的取

值范围.

解：(1)由已知等式f(x+y)-f(y)-(x+2y+l)x,令x=\,y=0得

f(If(0)=2,

又•.•/⑴=0,/./(0)=-2.

(2)由./•(x+y)—/(y)=(x+2y+l)x,令y=0得/(x)—八0)=(x+l)x,由(1)

知/(0)=—2,f(x)+2=x2+x.

,/玉e(0,-),.../a)+2=M+%=(&+；)2_；在玉e(0,g)上单调递增，

3

/(x1)+2e(0,-).

要使任意％e(0,g),x2e(0,g)都有/(吞)+2<log“马成立，

当a>l时，log“X2<logJ，显然不成立.

0<"1网

当0<a<1时，log”x2>log,,；,13，解得1

l°g"5用4

的取值范围是d?』）.

（四）巩固练习:

1•给定映射/:（x,y）—＞（2x+y,"）,点（&,-&）的原象是万）或'

2.下列函数中，与函数y=x相同的函数是（C）

(A)y=—(B)y=(«y(C)y=lglOl(O)y=2*「

X

x-3,(x>10)

3.设函数/(x)=<则/⑸=8.

_/(/U+5)),U<10)

第二章函数一一函数的解析式及定义域