适用于新教材2025版高中数学课时素养检测二十二棱柱棱锥棱台的表面积和体积新人教A版必修第二册

PAGE二十二棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)1．正方体的表面积为96，则正方体的体积是()A．48eq\r(6)B．64C．16D．96【解析】选B.设正方体棱长为a，则6a2＝96，a＝4，V正方体＝a3＝64.2．已知高为3的三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B1­ABC的体积为()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),6)D．eq\f(\r(3),4)【解析】选D.V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×3＝eq\f(\r(3),4).3．(2024·开封高一检测)已知正四棱锥P­ABCD的底面正方形的中心为O，若高PO＝eq\r(2)，∠PAO＝45°，则该四棱锥的表面积是()A．4＋2eq\r(2)B．4＋4eq\r(2)C．4＋2eq\r(3)D．4＋4eq\r(3)【解析】选D.依题意，正四棱锥的高PO⊥底面ABCD，且∠PAO＝45°，知△PAO为等腰直角三角形，则侧棱PA＝eq\f(PO,sin∠PAO)＝eq\f(\r(2),sin45°)＝2，且AO＝PO＝eq\r(2)，则底面正方形ABCD的对角线AC＝2AO＝2eq\r(2)＝eq\r(2)AB，得正方形的边长AB＝2，从而知正四棱锥的4个侧面均是边长为2的正三角形；所以底面积为|AB|2＝4；侧面积为4S△PAB＝4×eq\f(1,2)×2×2×sin60°＝4eq\r(3)，故正四棱锥的表面积为4＋4eq\r(3).4．(2024·衡水高一检测)鼎是古代烹煮用的器物，它是我国青铜文化的代表，在古代被视为立国之器，是国家和权力的象征．图①是一种方鼎，图②是依据图①绘制的方鼎简易直观图，图中四棱台ABCD­A1B1C1D1是鼎中盛烹煮物的部分，四边形ABCD是矩形．其中AD＝40cm，AB＝30cm，A1B1＝20cm，点A1到平面ABCD的距离为18cm.则这个方鼎一次最多能容纳的食物体积为(假定烹煮的食物全在四棱台ABCD­A1B1C1D1内)()A.10400cm3B．14000cm3C．14800cm3D．15200cm3【解析】选D.由题意，几何体ABCD­A1B1C1D1为四棱台，所以平面ABCD∥平面A1B1C1D1，设AA1∩BB1＝P，过点P作平面ABCD的垂线，分别于平面ABCD，平面A1B1C1D1相交于点O，O1所以eq\f(PO1,PO)＝eq\f(A1B1,AB)＝eq\f(20,30)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(A1B1,AB)＝eq\f(A1D1,AD)＝eq\f(A1D1,40)＝eq\f(2,3)，所以A1D1＝eq\f(80,3)cm，四棱台ABCD­A1B1C1D1的体积为VABCD­A1B1C1D1＝eq\f(1,3)h(S1＋S2＋eq\r(S1S2))＝eq\f(1,3)×18eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30×40＋20×\f(80,3)＋\r(30×40×20×\f(80,3))))＝6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1200＋\f(1600,3)＋800))＝15200(cm2).5．棱台上、下底面面积之比为1∶9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是()A．4∶9B．10∶19C．7∶19D．5∶9【解析】选C.设棱台高为2h，上底面面积为S，则下底面面积为9S，中截面面积为4S，eq\f(V上,V下)＝eq\f(\f(1,3)（S＋\r(S·4S)＋4S）·h,\f(1,3)（4S＋\r(4S·9S)＋9S）·h)＝eq\f(7,19).6．(多选题)(2024·徐州高一检测)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两空间图形的说法正确的是()A．侧面积之比为1∶4B．侧面积之比为1∶8C．体积之比为1∶27D．体积之比为1∶26【解析】选BD.依题意知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.二、填空题(每小题5分，共10分)7．(2024·江苏高考)如图，长方体ABCD­A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E­BCD的体积是________．【解题指南】考查空间几何体的体积，可通过棱锥和棱柱的体积转化求得．【解析】设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则长方体的体积为abc＝120，三棱锥E­BCD的体积为eq\f(1,3)S△BDC×eq\f(1,2)c＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)ab×eq\f(1,2)c＝eq\f(1,12)abc＝10.答案：108.(2024·杭州高一检测)如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体，若该几何体的体积为60，则该几何体的表面积为________．【解析】设正四棱柱的底面边长为m，则4(42－m2)＝60，解得m＝1，则该几何体的表面积为42×4＋(42－12)×2＋4×1×4＝110.答案：110三、解答题9．(10分)已知某几何体的直观图如图所示，其中底面为长为8，宽为6的长方形，顶点在底面投影为底面中心，高为4.(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.【解析】(1)几何体的体积为V＝eq\f(1,3)·S矩形·h＝eq\f(1,3)×6×8×4＝64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高为h1＝eq\r(42＋32)＝5，左、右侧面的底边上的高为h2＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2).所以几何体的侧面面积为S＝2×(eq\f(1,2)×8×5＋eq\f(1,2)×6×4eq\r(2))＝40＋24eq\r(2).【补偿训练】某个实心零部件的形态是如图所示的几何体，其下部是底面均为正方形，侧面为全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1­ABCD，其上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD­A2B2C2D2.现需对该零部件表面进行防腐处理，已知AB＝10，A1B1＝20，AA2＝30，AA1＝13(单位：cm)，若加工处理费为0.2元/cm2，则需支付加工处理费多少元？【解析】因为四棱柱ABCD­A2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以该零部件上部的表面积S1＝S四棱柱上底面＋S四棱柱侧面＝A2Beq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋4AB·AA2＝102＋4×10×30＝1300(cm2)，又四棱台A1B1C1D1­ABCD的上下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，所以该零部件下部的表面积S2＝S四棱台下底面＋S四棱台侧面＝A1Beq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋4×eq\f(1,2)×(AB＋A1B1)×h等腰梯形的高＝202＋4×eq\f(1,2)×(10＋20)×eq\r(132－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×（20－10）))\s\up12(2))＝1120(cm2)，则该实心零部件的表面积S＝S1＋S2＝1300＋1120＝2420(cm2)，0.2×2420＝484(元)，故需支付加工处理费484元．(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)1．棱长为2的正四面体的表面积是()A．eq\r(3)B．4C．4eq\r(3)D．16【解析】选C.每个面的面积为eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，所以正四面体的表面积为4eq\r(3).2．(2024·郑州高一检测)如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面ABCD中，AB∥CD，AB＝3，CD＝1，侧棱AA1＝4，若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好过AD，BC，B1C1，A1D1的中点，那么当底面ABCD水平放置时，水面高为()A.2B．eq\f(5,2)C．3D．eq\f(7,2)【解析】选B.设四棱柱的底面梯形的高为2a，AD，BC的中点分别为F，E，所求的水面高为h，则水的体积V＝SABEF·AA1＝eq\f(（2＋3）a,2)·4＝SABCD·h＝eq\f(（1＋3）2a,2)·h，所以h＝eq\f(5,2).3．已知一个正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为eq\r(5)，那么它的体积为()A．6eq\r(3)B．eq\r(3)C．2eq\r(3)D．2【解析】选B.因为正六棱锥的高h＝eq\r(（\r(5)）2－12)＝2，所以V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×6×eq\f(\r(3),4)×2＝eq\r(3).4．(多选题)如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，侧面AA1C1C中心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点，有下列推断，正确的是()A.直三棱柱侧面积是4＋2eq\r(2)B．直三棱柱体积是eq\f(1,3)C．三棱锥E­AA1O的体积为定值D．AE＋EC1的最小值为2eq\r(2)【解析】选ACD.在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，底面ABC和A1B1C1是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2＋eq\r(12＋12)×2＝4＋2eq\r(2)，故A正确；直三棱柱的体积为V＝S△ABC·AA1＝eq\f(1,2)×1×1×2＝1，故B不正确；三棱锥E­AA1O的高为定值eq\f(\r(2),2)，所以S△AA1O＝eq\f(1,4)×eq\r(2)×2＝eq\f(\r(2),2)，所以VE－AA1O＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,6)，故C正确；设BE＝x∈[0，2]，则B1E＝2－x，在Rt△ABC和Rt△EB1C1中，所以AE＋EC1＝eq\r(1＋x2)＋eq\r(1＋（2－x）2).由其几何意义，即平面内动点(x，1)与两定点(0，0)，(2，0)距离和的最小值，由对称可知，当E为BB1的中点时，其最小值为eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，故D正确．二、填空题(每小题5分，共20分)5．(2024·南京高一检测)已知一个正四棱柱的对角线的长是9cm，表面积等于144cm2，则这个棱柱的侧面积为________cm2.【解析】设正四棱柱的底面边长为a，高为b，则eq\r(2a2＋b2)＝9，4a·b＋2a2＝144，联立消b可得，8a4＋(72－a2)2＝81·4a2，即a4－52a2＋8×72＝0，解得，a2＝36或a2＝16，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝6,b＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4,b＝7))，当a＝6，b＝3时，侧面积S＝4ab＝72，当a＝4，b＝7时，侧面积S＝4ab＝112.答案：72或1126．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A­DED1的体积为________．【解析】V三棱锥A­DED1＝V三棱锥E­DD1A＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)7．(2024·沧州高一检测)乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，2000年之后国际竞赛用球的直径为40mm.现用一个底面为正方形的棱柱盒子包装四个乒乓球，为提倡环保理念，则此棱柱包装盒(长方体)表面积的最小值为________cm2.(忽视乒乓球及包装盒厚度)【解析】设A，B，C，D是四个球的球心，以下面积单位是cm2.(1)A，B，C，D四点共线，则S＝2×42＋4×4×16＝288.(2)A，B，C，D四点构成一个正方形，则S＝2×82＋4×8×4＝256.(3)A，B，C，D四点构成一正四面体，如图，设E是△BCD中心，则AE⊥BE，BE＝eq\f(\r(3),3)×4＝eq\f(4\r(3),3)，AE＝eq\r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq\f(4\r(6),3)，正四棱柱为正方体，棱长为eq\f(4\r(6),3)＋4，表面积为S＝6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(4\r(6),3)))eq\s\up12(2)＝32(5＋2eq\r(6))>256，比较可得表面积最小值为256cm2.答案：256【补偿训练】一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x＝6cm时，求该容器的容积．【解析】如图所示，由题意可知，这个正四棱锥形容器的底面是以6cm为边长的正方形，侧面的斜高PM＝5cm，高PO＝eq\r(PM2－OM2)＝eq\r(52－32)＝4(cm)，所以所求容积为V＝eq\f(1,3)×62×4＝48(cm3).8.如图所示，正四棱台ABCD­A1B1C1D1的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，则四棱台的表面积等于________，体积等于________．【解析】因为正四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，所以上底面、下底面的面积分别是4，16.因为侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，所以侧面的高为eq\r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－2,2)))\s\up12(2))＝eq\r(3)，一个等腰梯形的面积为eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(3)＝3eq\r(3)，所以四棱台的表面积为4＋16＋3eq\r(3)×4＝20＋12eq\r(3).四棱台的高h＝eq\r(（\r(3)）2－12)＝eq\r(2)，所以四棱台的体积V＝eq\f(1,3)×(4＋eq\r(4×16)＋16)×eq\r(2)＝eq\f(28\r(2),3).答案：20＋12eq\r(3)eq\f(28\r(2),3)三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1，V2的两部分，求V1∶V2.【解析】设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.因为E，F分别为AB，AC的中点，所以S△AEF＝eq\f(1,4)S，V1＝eq\f(1,3)heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(S＋\f(1,4)S＋\r(S·\f(S,4))))＝eq\f(7,12)Sh，V2＝Sh－V1＝eq\f(5,12)Sh，所以V1∶V2＝7∶5.10．(2024·菏泽高一检测)如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路途与AA1的交点记为M，求：(1)三棱柱的侧面绽开图的对角线长；(2)求该最短路途的长及eq\f(A1M,AM)的值；(3)三棱锥C1­ABM体积．【解析】(1)因为正三棱柱ABC­A1B1C1的侧面绽开图是长为6，宽为2的矩形，所以其对角线长为eq\r(62＋22)＝2eq\r(10)；(2)将侧面AA1B1B绕棱AA1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接DC1与AA1交于M，则DC1是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路途，其长为DC1＝eq\r(DC2＋CCeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，因为△DMA≌△C1MA1，所以AM＝A1M，故eq\f(A1M,AM)＝1；(3)因为CC1∥平面ABM，所以VC1­ABM＝VC­ABM＝VM­ABC，＝eq\f(1,3)S△ABC·AM＝eq\f