适用于新教材2025版高中数学重难点突破练一新人教A版必修第二册

PAGE重难点突破练(一)重难点一平面对量的线性运算1.下列各式中,不表示向量的是 ()A.0·a B.a+bC.3|b| D.4a2.(多选题)已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,肯定能使a,b共线的是 ()A.2a-3b=4e且a+2b=-2eB.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0C.当x+y=0时,xa+yb=0D.已知梯形ABCD,其中=a,=b3.在△ABC中,=15,EF∥BC,EF交AC于点F,设=a,=b,则等于 ()A.-a+15b B.a-1C.23a-13b D.13a4.如图,四边形ABCD是一个梯形,∥且||=2||,M,N分别是DC,AB的中点,已知=e1,=e2,试用e1,e2表示下列向量.(1)=____________;

(2)=____________.

5.已知菱形ABCD的边长为2,则向量-+的模为______,||的范围是____________.

6.已知△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,M是斜边AB的中点,=a,=b.求证:(1)|a-b|=|a|;(2)|a+(a-b)|=|b|.7.已知△OAB中,点C是点B关于点A的对称点,点D是线段OB的一个靠近B的三等分点,设=a,=b.(1)用向量a与b表示向量,;(2)若=45,求证:C,D,E三点共线.重难点二平面对量的数量积运算1.已知非零向量a,b满意a=1,且a-b·a+b=12A.14 B.C.22 D.2.如图,AB是半圆O的直径,P是半圆弧上的点,M,N是AB的两个三等分点,且AB=6,则·= ()A.3 B.4 C.6 D.83.已知向量a,b满意|a|=5,|b|=4,|b-a|=61,则a与b的夹角θ= ()A.150° B.120°C.60° D.30°4.(多选题)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满意=2a,=2a+b,则下列结论中正确的是 ()A.a为单位向量B.a⊥bC.b∥D.4a+5.在平行四边形ABCD中,与的夹角为2π3,=1,=2,=,则·=________.

6.在△ABC中,AB=6,AC=4,∠A=120°,=m+,则的最小值为________,若⊥,则m=________.

7.已知向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,c=ma+3b.(1)当b⊥c时,求实数m的值;(2)当m=6时,求向量a和c的夹角.8.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.(1)求证:(a-b)⊥c;(2)若ka+b+c>1(k重难点三平面对量基本定理与向量加、减、数乘的坐标表示1.已知a=(1,-1),b=(1,1),则32a-12b= (A.(1,-1) B.(1,-2)C.(2,-1) D.(2,-2)2.若向量a=(1,2),b=(0,1),且ka-b与a+2b共线,则实数k的值为 ()A.-1 B.-12 C.1 3.(多选题)已知向量a=(1,3),b=(-2,1),c=(3,-5),则 ()A.(a+2b)∥c B.(a+2b)⊥cC.|a+c|=10+34 D.|a+c|=2|b|4.如图所示,在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,M为AD的中点,若=λ+μ,则λ+μ的值为 ()A.53 B.-12 C.12 5.已知在非平行四边形ABCD中,AB∥DC,且A,B,D三点的坐标分别为(0,0),(2,0),(1,1),则顶点C的横坐标的取值范围是____________.

6.平面内给定三个向量:a=(3,2),b=(-1,3),c=(5,2).(1)求6a+b-2c;(2)求满意a=mb+nc的实数m,n;(3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.7.如图,在平行四边形ABCD中,F是边CD的中点,AF与BD交于点E,用向量方法证明:E为线段BD的三等分点.重难点四数量积的坐标表示1.向量a=(1,3),b=(3,1),则向量a+b与a-b的夹角为 ()A.π12 B.π6 C.π3 2.已知向量a=(3,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=3,则b= ()A.32,12 B.12,32C.14,334 D.3.(多选题)已知向量a=(-3,2),b=(-1,0),则下列选项正确的有 ()A.(a+b)·b=4 B.(a-3b)⊥bC.|a-b|=2|b| D.a2=b2+4a·b4.已知向量a=(0,-23),b=(1,3),则向量a在向量b上的投影向量的坐标为 ()A.32,332 B.-32,3C.32,-332 D.-32,-35.已知向量a=(1,2),b=(2,-3),若向量c满意(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c=________.

6.在△ABC中,∠A=45°,M是AB的中点,若|AB|=|BC|=2,D在线段AC上运动,则·的最小值为________.

7.已知=(4,0),=(2,23),=(1-λ)+λ(λ2≠λ).(1)求·及在上的投影向量的模;(2)证明:A,B,C三点共线,并在=时,求λ的值;(3)求||的最小值.8.如图,在矩形ABCD中,BC=3AB=6,E为AB的中点,F是BC边上靠近点B的三等分点,AF与DE交于点G.设=a,=b.(1)求∠EGF的余弦值;(2)用a和b表示.重难点突破练(一)重难点一1.C0·a是向量的数乘运算,结果仍为向量,a+b是向量的加法,结果是向量,3|b|是实数不是向量,4a是向量的数乘运算,结果仍为向量.2.ABA.联立2a-3b=4e和a+2b=-2e消去向量e可得出4a+b=0,所以b=-4a,且a≠0,所以a,b共线;B.因为a,b都是非零向量,且λ≠μ,λa-μb=0,所以λ,μ都不为0,所以a=μλb,所以a,bC.当x=y=0时,满意x+y=0,此时对随意的向量a,b都有xa+yb=0,所以得不出a,b共线;D.因为AB与CD不肯定平行,所以得不出a,b共线.3.A因为=15,所以=-45.又因为EF∥BC,所以=15=15(-),所以=+=-45+15(-)=15-=-a+15b.4.【解析】(1)因为∥,||=2||,所以=2,=12.=+=e2+12e1.(2)=++=-12-+12=-14e1-e2+12e=14e1-e2答案:(1)e2+12e1(2)14e1-5.【解析】因为-+=++=,又因为||=2,所以|-+|=||=2.又因为=+,且在菱形ABCD中,||=2,所以|||-|||<||=|+|<||+||即0<||<4.答案:2(0,4)6.【证明】因为△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,所以CA=CB.又M是斜边AB的中点,所以CM=AM=BM.(1)因为-=,又||=||,所以|a-b|=|a|.(2)因为M是斜边AB的中点,所以=,所以a+(a-b)=+(-)=+=+=,因为||=||,所以|a+(a-b)|=|b|.7.【解析】(1)因为=a,=b,所以=+=-a-b,=+=+13=+13(+)=2a+13(-a+b)=53a+1(2)因为=-=45(-b)+a+b=a+15b=35,所以与共线,又因为与有公共点C,所以C,D,E三点共线.重难点二1.C因为非零向量a,b满意a=1,且a-b·a+所以a2-b2=12,b2=12,b=2.D·=(+)·(+)=-=8.3.B由|b-a|=61有b-a2=61⇒a2-2a·b+所以25-2×5×4cosθ+16=61,解得cosθ=-12.因为θ∈0故θ=120°.4.ACD△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满意=2a,=2a+b,则a=12,AB=2,所以a=1,即a是单位向量,A正确;由=2a,=2a+b得b=-2a=-=,故a,b的夹角为120°,故B错误;因为=+=2a+b,所以=b,C正确;4a+b·=4a·b+b2=4×1×2×cos120°+4=-4+4=0,故D正确.5.【解析】·=·=·=-+·-12·+12=-+12·+12=-1+12×2×1×cos2π3+12×22=12.答案:16.【解析】因为=m+,所以==m2+2m·+=62·m2+2×6×4×cos120°m+42=36m2-24m+16=36m-132+12≥12,所以≥23.若⊥,则·=0,即·=0,整理得:-m+m-1·+=0,所以-36m-12m-1+16=0,解得:m=答案:2377.【解析】(1)因为b⊥c,所以b·c=0,即b·ma所以ma·b+3b2=0,因为a·b=a·b·cos120°=1×2×-1所以-m+12=0,所以m=12.(2)当m=6时,c2=6a+3b2=36a2+36a·b+9b2=36,所以c=6,所以a·c=a·6设向量a与c的夹角为θ,则cosθ=a·cac=12,因为向量的夹角的范围为0°≤θ≤180°,所以向量8.【解析】(1)因为向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°,所以a·b=b·c=c·a=-12所以(a-b)·c=a·c-b·c=0,所以(a-b)⊥c.(2)不等式ka+b+⇔k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1,因为a=b=c=1,a·b=b·c=a·c=-12,所以k2-2k>0,所以k>2或k<0,即k的取值范围为{k|k>2或k<0}重难点三1.B因为a=(1,-1),b=(1,1),所以32a-12b=32,-2.B因为a=(1,2),b=(0,1),所以ka-b=k(1,2)-(0,1)=(k,2k-1),a+2b=(1,2)+2(0,1)=(1,4),因为ka-b与a+2b共线,所以4k-(2k-1)=0,解得k=-123.AD由题意可得a+2b=(-3,5),a+c=(4,-2).因为a+2b=-c,所以(a+2b)∥c,则A正确,B错误;对于C,D,因为|a+c|=42+(-2)2=25,b=(-2)2+14.D因为在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,所以在△ABD中,BD=12AB=1.又BC所以BD=13BC所以=+=+13.因为M为AD的中点,所以=12=12+16.因为=λ+μ,所以λ=12,μ=16,所以λ+μ=5.【解析】当ABCD为平行四边形时,则=+=(2,0)+(1,1)=(3,1),故满意题意的顶点C的横坐标的取值范围是(1,3)∪(3,+∞).答案:(1,3)∪(3,+∞)6.【解析】(1)6a+b-2c=6(3,2)+(-1,3)-2(5,2)=(18,12)+(-1,3)-(10,4)=(7,11).(2)因为a=mb+nc,m,n∈R,所以(3,2)=m(-1,3)+n(5,2)=(-m+5n,3m+2n).所以-m+5所以m=417,n=11(3)a+kc=(3+5k,2+2k),2b-a=(-5,4).又因为(a+kc)∥(2b-a),所以(3+5k)×4-(-5)×(2+2k)=0.所以k=-11157.【证明】设=a,=b,则=-=b-a,=+=+12=b+12a.因为点A,E,F与点B,D,E分别共线,所以存在实数λ,μ,使=λ,=μ,于是=λ2a+λb,=μb-μa.由于+=,所以(1-μ)a+μb=λ2a+λb.因为a与b不共线,所以1-μ=λ2,μ所以=23,所以点E为线段BD的三等分点.重难点四1.D设θ为a+b与a-b的夹角,因为a=(1,3),b=(3,1),则a+b=(1+3,1+3),a-b=(1-3,3-1),|a+b|=6+2,|a-b|=6-2,又cosθ=(a+b因为0≤θ≤π,所以θ=π22.B设b=(x,y),其中y≠0,则a·b=3x+y=3.由x2+即b=123.ABD由题意可知,对于A:因为a+b=(-4,2),所以(a+b)·b=-4×(-1)+2×0=4,故选项A正确,对于B:因为a-3b=(-3-3×(-1),2-3×0)=(0,2),所以(a-3b)·b=0×(-1)+2×0=0,所以(a-3b)⊥b,故选项B正确,对于C:因为a-b=(-2,2),所以|a-b|=(-2)2+22=22,2|b|=2·(-1)2+0对于D:因为a2=|a|2=(-3)2+22=13,b2+4a·b=|b|2+4a·b=(-1)2+02+4×[(-3)×(-1)+2×0]=13,所以a2=b2+4a·b,故选项D正确4.D向量a在向量b上的投影向量为a·b|b|·b|b|=-62·b5.【解析】设c=(x,y),则c+a=(x+1,y+2),a+b=(3,-1).因为(c+a)∥b,c⊥(a+b),所以2解得x即c=-7答案:-6.【解析】在△ABC中,∠BAC=45°,|AB|=|BC|=2,所以∠BCA=45°,∠ABC=90°,△ABC是等腰直角三角形,|AC|=22.如图,以AC所在的直线为x轴,以AC的