2025版新教材高中数学期末素养测评卷新人教A版必修第一册

期末素养测评卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设命题p：∃x∈R，x2＋1＝0，则命题p的否定为()A．∀x∉R，x2＋1＝0B．∀x∈R，x2＋1≠0C．∃x∉R，x2＋1＝0D．∃x∈R，x2＋1≠02．集合A＝{1，2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则A∪B＝()A．{1，2，3}B．{1，2，－3}C．{1}D．{－1，1，2，－3}3．函数f(x)＝lnx＋2x－5的零点所在的区间是()A．(1，2)B．(2，3)C．(3，4)D．(4，5)4．已知a＝0.23，b＝30.2，c＝log0.23，则a，b，c的大小关系为()A．b>a>cB．a>c>bC．c>a>bD．a>b>c5．函数f(x)＝eq\f(2x,x2－1)的图象大致为()6．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x≤1,x＋1，x>1))，则f(f(ln2))的值为()A．1B．2C．3D．e7．我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制．在面度制下，角θ的面度数为eq\f(2π,3)，则角θ的正弦值为()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)D．－eq\f(\r(3),2)8．设函数f(x)的定义域为D，假如对随意的x1∈D，存在x2∈D，使得eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)＝c(c为常数)，则称函数y＝f(x)在D上的均值为c，下列函数中在其定义域上的均值为1的是()A．y＝(eq\f(1,2))|x|B．y＝tanxC．y＝2sinxD．y＝x2＋2x－3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若sinα·cosα<0，则α终边可能在()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限10．已知a>0>b，则()A．ab<b2B．a2>b2C．2a>2bD．eq\f(a,b)<111．设a，b∈R，定义运算a⊗b＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥b,b，a<b))，已知函数f(x)＝sinx⊗cosx，则()A．f(x)是偶函数B．2π是f(x)的一个周期C．f(x)在[0，eq\f(π,4)]上单调递减D．f(x)的最小值为－112．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|log2x|，0<x≤2,（\f(1,2)）x－3－1，x>2))，令g(x)＝f(x)－k，则()A．若g(x)有1个零点，则k<0或k>1B．若g(x)有2个零点，则k＝1或k＝0C．f(x)的值域是(－1，＋∞)D．若存在实数a，b，c(a<b<c)满意f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围为(2，3)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，eq\r(2))，则f(4)＝________．14．已知2a＝3，2b＝5，则log245＝________.(用a，b表示)15．一次函数y＝mx＋n(m>0，n>0)的图象经过函数f(x)＝loga(x－1)＋1的定点，则eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值为________.16．已知函数y＝φ(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是y＝φ(a＋x)－b为奇函数．据此，写出图象关于点(1，0)对称的一个函数解析式________，函数f(x)＝－x＋eq\f(6,x－1)图象的对称中心是________.四、解答题：本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知角α的终边经过点P(m，3)，且cosα＝－eq\f(\r(10),10).(1)求m的值；(2)求eq\f(sin（α－\f(π,2)）＋sin（α－2π）,cos（\f(5π,2)＋α）＋cos（π－α）)的值．18．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)，若不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤6}且f(1)＝－10.(1)求f(x)；(2)对于随意的x∈R，不等式f(x)≥(2k－5)x－7恒成立，求k的取值范围．19．(12分)已知a∈R，全集U＝R，集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)<2x－a≤8))))，函数y＝eq\r(log\s\do9(\f(1,2))（3x－2）)的定义域为B.(1)当a＝2时，求(∁UB)∩A；(2)若x∈B是x∈A成立的充分不必要条件，求a的取值范围．20．(12分)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(φ))<\f(π,2)))的图象关于直线x＝－eq\f(π,12)对称，且函数f(x)的最小正周期为π.(1)求f(x)；(2)求f(x)在区间[0，eq\f(7π,12)]上的最大值和最小值．21．(12分)某药业公司的股票在交易市场过去的一个月内(以30天计，包括第30天)，第x天每股的交易价格P(x)(元)满意P(x)＝60－|x－20|(1≤x≤30，x∈N*)，第x天的日交易量Q(x)(万股)的部分数据如下表：第x(天)12410Q(x)(万股)14121110.4(1)给出以下两种函数模型：①Q(x)＝ax＋b；②Q(x)＝a＋eq\f(b,x).请你依据上表中的数据．从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票日交易量Q(x)(万股)与时间第x天的函数关系(简要说明理由)，并求出该函数的关系式；(2)依据(1)的结论，求出该股票在过去一个月内第x天的日交易额f(x)的函数关系式，并求其最小值．22．(12分)已知函数f(x)＝2－eq\f(12,3ax＋a)(a>0且a≠1)为定义在R上的奇函数．(1)推断并证明f(x)的单调性；(2)若函数g(x)＝logeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))x－mlog2x2＋m，x∈[2，4]，对于随意x1∈[2，4]，总存在x2∈[－1，1]，使得g(x1)＝f(x2)成立，求m的取值范围．期末素养测评卷1．答案：B解析：依据存在量词命题的否定为全称量词命题得，命题p的否定为∀x∈R，x2＋1≠0.故选B.2．答案：A解析：由x2－4x＋3＝0，(x－1)(x－3)＝0，解得x＝1或x＝3，∴B＝{1，3}，∴A∪B＝{1，2，3}．故选A.3．答案：B解析：由于y＝lnx，y＝2x－5在其定义域上都为增函数，故函数f(x)＝lnx＋2x－5在(0，＋∞)上为增函数，又f(1)＝－3<0，f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3＋1>0，故f(x)＝lnx＋2x－5在(2，3)内有唯一零点．故选B.4．答案：A解析：0<0.23<0.20＝1，1＝30<30.2<31＝3，log0.23<log0.21＝0，则a，b，c的大小关系为b>a>c.故选A.5．答案：A解析：由题可得函数f(x)定义域为{x|x≠±1}，且f(－x)＝eq\f(－2x,x2－1)＝－f(x)，故函数为奇函数，故解除B，D；由f(2)＝eq\f(4,3)>0，f(eq\f(1,2))＝eq\f(1,－\f(3,4))＝－eq\f(4,3)，故C错误．故选A.6．答案：C解析：f(f(ln2))＝f(eln2)＝f(2)＝2＋1＝3.故选C.7．答案：D解析：设角θ所在的扇形的半径为r，则eq\f(\f(1,2)r2θ,r2)＝eq\f(2π,3)，所以θ＝eq\f(4π,3)，所以sinθ＝sineq\f(4π,3)＝－sineq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2).故选D.8．答案：B解析：由题意得c＝1，则eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)＝1，即f(x1)＋f(x2)＝2，将问题转化为关于x2的方程是否存在有解问题，对于A，y＝(eq\f(1,2))|x|的定义域为R，值域为(0，1]，当x1＝1时，f(x1)＝eq\f(1,2)，此时不存在x2∈R，使f(x1)＋f(x2)＝2，所以A错误；对于B，y＝tanx的定义域为D＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))，值域为R，则对于随意x1∈D，总存在x2∈D，使得tanx1＋tanx2＝2，所以B正确；对于C，y＝2sinx的定义域为R，值域为[－2，2]，当x1＝－eq\f(π,2)时，f(x1)＝－2，此时不存在x2∈R，使f(x1)＋f(x2)＝2，所以C错误；对于D，y＝x2＋2x－3，定义域为R，值域为[－4，＋∞)，当x1＝3时，f(x1)＝12，此时不存在x2∈R，使f(x1)＋f(x2)＝2，所以D错误．故选B.9．答案：BD解析：因为sinα·cosα<0，若sinα>0，cosα<0，则α终边在其次象限；若sinα<0，cosα>0，则α终边在第四象限．故选BD.10．答案：ACD解析：对于A，由a>0>b，则ab<0，b2>0，所以ab<b2成立，故A正确；对于B，由a>0>b，令a＝1，b＝－2，则a2<b2，所以a2>b2不成立，故B错误；对于C，由a>0>b，且y＝2x在R上单调递增，所以2a>2b成立，故C正确；对于D，由a>0>b，则eq\f(a,b)<0，所以eq\f(a,b)<1成立，故D正确．故选ACD.11．答案：BC解析：因为f(x)＝sinx⊗cosx＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinx，sinx≥cosx,cosx，sinx<cosx))，画出f(x)的图象，如图，对于A：f(eq\f(π,2))＝1，f(－eq\f(π,2))＝0，即f(－eq\f(π,2))≠f(eq\f(π,2))，所以f(x)不是偶函数，A错误；对于B：由图可知f(x)的一个周期为eq\f(π,4)－(－eq\f(7π,4))＝2π，B正确；对于C：当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))时，sinx≤cosx，则f(x)＝cosx，而f(x)＝cosx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上单调递减，C正确；对于D：由图可知，f(x)的最小值为－eq\f(\r(2),2)，D错误．故选BC.12．答案：BCD解析：由函数y＝log2x的图象，依据函数图象的翻折变换，由函数y＝(eq\f(1,2))x的图象，依据函数图象的平移变换，向右平移3个单位，向下平移1个单位，可得函数f(x)的图象，如图：函数g(x)的图象可由函数f(x)经过平移变换得到，明显当－1<k<0或k>1时，函数g(x)的图象与x轴存在唯一交点，故A错误；由函数f(x)的图象，本身存在两个交点，向下平移一个单位，符合题意，故B正确；由图象，易知C正确；设f(a)＝f(b)＝f(c)＝d，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－log2a＝d,log2b＝d,（\f(1,2)）c－3－1＝d))，由前两个方程可得－log2a＝log2b，则ab＝1，由图象可知d∈(0，1)，解得c∈(2，3)，即abc＝c∈(2，3)，故D正确．故选BCD.13．答案：2解析：设y＝f(x)＝xα，∵幂函数y＝f(x)的图象过点(2，eq\r(2))，∴f(2)＝2α＝eq\r(2)，∴α＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2))，∴f(4)＝4eq\s\up6(\f(1,2))＝2.14．答案：2a＋b解析：因为2a＝3，2b＝5，所以a＝log23，b＝log25，故log245＝log2(5×9)＝log25＋2log23＝b＋2a＝2a＋b.15．答案：8解析：对于函数f(x)＝loga(x－1)＋1，令x－1＝1，∴x＝2，y＝1，则该函数图象过定点(2，1)，将(2，1)代入y＝mx＋n(m>0，n>0)，得2m＋n＝1，故eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝(eq\f(1,m)＋eq\f(2,n))(2m＋n)＝4＋eq\f(n,m)＋eq\f(4m,n)≥4＋2eq\r(\f(n,m)·\f(4m,n))＝8，当且仅当eq\f(n,m)＝eq\f(4m,n)且2m＋n＝1，即m＝eq\f(1,4)，n＝eq\f(1,2)时取等号．16．答案：y＝x－1(答案不唯一)(1，－1)解析：由题意，依据函数图象的平移变换，函数y＝φ(x)可由奇函数y＝φ(x＋1)－0向右平移1个单位得到，取奇函数y＝x，将该函数向右平移1个单位，可得函数y＝x－1，设函数f(x)图象的对称中心为(a，b)，则f(x＋a)－b＝－x－a＋eq\f(6,x＋a－1)－b，由函数y＝f(x＋a)－b是奇函数，则f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，即x－a＋eq\f(6,－x＋a－1)－b＝x＋a－eq\f(6,x＋a－1)＋b，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝－1)).17．解析：(1)因为已知角α的终边经过点P(m，3)，且cosα＝－eq\f(\r(10),10)，所以eq\f(m,\r(m2＋9))＝－eq\f(\r(10),10)，解得m＝－1.(2)由(1)可得tanα＝－3.原式＝eq\f(－cosα＋sinα,－sinα－cosα)＝eq\f(1－tanα,1＋tanα)＝eq\f(1－（－3）,1－3)＝－2.18．解析：(1)由f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤6}且f(1)＝－10，知－1，6为方程ax2＋bx＋c＝0的两实数根，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)＝－1＋6,\f(c,a)＝－1×6,a＋b＋c＝－10,a>0))，解得a＝1，b＝－5，c＝－6，所以f(x)＝x2－5x－6.(2)由(1)知f(x)＝x2－5x－6，则由x∈R，f(x)≥(2k－5)x－7恒成立，得x2－2kx＋1≥0恒成立，由题意得Δ＝4k2－4≤0，解得－1≤k≤1，所以k的取值范围为[－1，1].19．解析：(1)A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,4)<2x－a≤8))＝{x|2－2<2x－a≤23}＝{x|a－2<x≤a＋3}，即A＝(a－2，a＋3].由logeq\s\do9(\f(1,2))(3x－2)≥0，得0<3x－2≤1，解得eq\f(2,3)<x≤1，即B＝(eq\f(2,3)，1].当a＝2时，A＝(0，5]，∁UB＝(－∞，eq\f(2,3)]∪(1，＋∞).∴(∁UB)∩A＝(0，eq\f(2,3)]∪(1，5].(2)由x∈B是x∈A的充分不必要条件，可知集合B是集合A的真子集.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2≤\f(2,3),a＋3≥1))，解得－2≤a≤eq\f(8,3)，经检验符合集合B是集合A的真子集，所以a的取值范围是[－2，eq\f(8,3)].20．解析：(1)因为函数f(x)的最小正周期为π，所以ω＝eq\f(2π,T)＝2.∵x＝－eq\f(π,12)为f(x)的一条对称轴，∴－eq\f(π,6)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)⇒φ＝kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)，又|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,3)，故f(x)＝2sin(2x－eq\f(π,3)).(2)当x∈[0，eq\f(7π,12)]时，2x－eq\f(π,3)∈[－eq\f(π,3)，eq\f(5π,6)]，所以当2x－eq\f(π,3)＝－eq\f(π,3)，即x＝0时，f(x)min＝－eq\r(3).当2x－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(5π,12)时，f(x)max＝2.21．解析：(1)对于函数Q(x)＝ax＋b，依据题意，把点(1，14)，(2，12)代入可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝14,2a＋b＝12))，解得a＝－2，b＝16，∴Q(x)＝－2x＋16.而点(4，11)，(10，10.4)均不在函数Q(x)＝－2x＋16的图象上；对于函数Q(x)＝a＋eq\f(b,x)，依据题意，把点(1，14)，(2，12)代入可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝14,a＋\f(b,2)＝12))，解得a＝10，b＝4，此时Q(x)＝10＋eq\f(4,x).而(4，11)，(10，10.4)均在函数Q(x)＝10＋eq\f(4,x)的图象上．所以Q(x)＝10＋eq\f(4,x)(1≤x≤30，x∈N*).(2)由(1)知P(x)＝－|x－20|＋60＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋40，1≤x≤20，x∈N*,－x＋80，20≤x≤30，x∈N*)).所以f(x)＝P(x)·Q(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（10＋\f(4,x)）（x＋40），1≤x≤20，x∈N*,（10＋\f(4,x)）（－x＋80），20<x≤30，x∈N*))，即f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10x＋\f(160,x)＋404，1≤x≤20，x∈N*,－10x＋\f(320,x)＋796，20<x≤30，x∈N*))，当1≤x≤20，x∈N*时，f(x)＝10x＋eq\f(160,x)＋404≥2eq\r(10x·\f(160,x))＋404＝484，当且仅当10x＝eq\f(160,x)时，即x＝4时等号成立，当20<x≤30，x∈N*时，f(x)＝－10x＋eq\f(320,x)＋796为减函数．所以函数的最小值为f(x)min＝f(30)＝496＋eq\f(32,3)>484，综上可得，当x＝4时，函数f(x)取得最小值为484.22．解析：(1)由题意函数f(x)＝2－eq\f(12,3ax＋a)(a>0且a≠1)为定义在R上的奇函数，得f(0)＝2－eq\f(12,3＋a)＝0，解得a＝3.∴f(x)＝2－eq\f(12,3x＋1＋3)＝2－eq\f(4,3x＋1)，验证：f(－x)＝2－eq\f(4,3－x＋1)＝2－eq\f(4·3x,3x＋1)，则f(－x)＋f(x)＝2－eq\f(4·3x,3x＋1)＋2－eq\f(4,3x＋1)＝4－4＝0，即f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝2－eq\f(4,3x＋1)为奇函数；任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝2－－2＋＝－＝，∵x1，x2∈R，且x1<x2，所以3x1－3x2<0，3x1＋1>0，3x2＋1>0，∴f(x1)－f(x2)＝eq\f(4（3x1－3x2）,（3x2＋1）（3x1＋1）)<0，故f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)在R上单调递增．(2)由(1)知，f(x)在R上单调递增，∴x∈[－1，1]时，f(－1)≤f(x)≤f(1)，即－1≤f(x)≤1，即f(x)的值域为[－1，1]，设为A.g(x)＝logeq\o\al(\s\up1(2),\