2025版新教材高中数学课时作业66三角函数的应用新人教A版必修第一册

课时作业66三角函数的应用基础强化1.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动，已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：s1＝5sin(2t＋eq\f(π,6))，s2＝10cos2t.当t＝eq\f(2π,3)时，s1与s2的大小关系是()A．s1>s2B．s1<s2C．s1＝s2D．不能确定2．音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击某个音叉时，在肯定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝eq\f(1,1000)sinωt.图2是该函数在一个周期内的图象，依据图中数据可确定ω的值为()A．200B．400C．200πD．400π3．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间：t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，当t∈[0，60]，A，B两点间的距离为d(单位：cm)，则d＝()A．5sineq\f(t,2)B．10sineq\f(t,2)C．5sineq\f(πt,30)D．10sineq\f(πt,60)4．已知点P是单位圆上的一个质点，它从初始位置P0(eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2))起先，按逆时针方向以角速度1rad/s做圆周运动，则点P的纵坐标y关于运动时间t(单位：s)的函数关系为()A．y＝sin(t－eq\f(π,3))，t≥0B．y＝sin(t－eq\f(π,6))，t≥0C．y＝－cos(t－eq\f(π,3))，t≥0D．y＝－cos(t－eq\f(π,6))，t≥05．(多选)如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是()A．该质点的运动周期为0.7sB．该质点的振幅为5C．该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零D．该质点的运动周期为0.8s6．(多选)血压是指血液在血管内流淌时作用单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流淌的动力．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．在未运用抗高血压药的前提下，18岁以上成人收缩压≥140mmHg或舒张压≥90mmHg，则说明这位成人有高血压．设从未运用过抗高血压药的小王今年26岁，从某天早晨6点起先计算(即早晨6点起，t＝0)，他的血压p(t)(单位：mmHg)与经过的时间t(单位：h)满意关系式p(t)＝116＋22sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋\f(π,3)))，则()A．血压p(t)的最小正周期为6B．当天下午3点小王的血压为105C．当天小王有高血压D．当天小王的收缩压与舒张压之差为447．港口水深是港口重要特征之一，表明其自然条件和船舶可能利用的基本界限，如图是某港口一天6时到18时的水深改变曲线近似满意函数y＝3sin(eq\f(π,6)x＋φ)＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos[eq\f(π,6)(x－6)](A>0，x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.9.如图，某地夏天从8～14时用电量改变曲线近似满意函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2)).(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式．10.如图，一个大风车的半径为4m，8min旋转一周，它的最低点P0离地面2m，它的右侧有一点P1且距离地面4m．风车翼片的一个端点P从P1起先计时，按逆时针方向旋转．(1)试写出点P距离地面的高度h(m)关于时刻t(min)的函数关系式h(t)；(2)在点P旋转一周的时间内，有多长时间点P距离地面超过8m?实力提升11.从诞生之日起，人的体力、心情、智力呈周期性改变，在前30天内，它们的改变规律如下图所示(均为正弦型曲线)：体力、心情、智力在从诞生之日起的每个周期中又存在着高潮期(前半个周期)和低潮期(后半个周期).它们在一个周期内的表现如下表所示：高潮期低潮期体力体力充足疲乏乏力心情心情开心心情烦躁智力思维灵敏反应迟钝假如从同学甲诞生到今日的天数为5860，那么今日同学甲()A．体力充足，心情烦躁，思维灵敏B．体力充足，心情开心，思维灵敏C．疲乏乏力，心情开心，思维灵敏D．疲乏乏力，心情开心，反应迟钝12．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一劳动节某商场的人流量满意函数F(t)＝50＋4sineq\f(t,2)(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的()A．[0，5]B．[5，10]C．[10，15]D．[15，20]13.水车是一种利用水流的动力进行浇灌的工具，其工作示意图如图所示，设水车的半径为4m，其中心O到水面的距离为2m，水车逆时针匀速旋转，旋转一周的时间为60s，当水车上的一个水筒A从水中(A0处)出现时起先计时，经过t(单位：s)后水筒A距离水面的高度为f(t)(在水面下高度为负数)，则f(130)＝()A．3mB．4mC．5mD．6m14．(多选)气候改变是人类面临的全球性问题，随着各国二氧化碳排放，温室气体猛增，对生命系统形成威逼，我国主动参加全球气候治理，加速全社会绿色低碳转型，力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和目标．某校高一数学探讨性学习小组同学探讨课题是“碳排放与气候改变问题”，探讨小组视察记录某天从6时到14时的温度改变，其改变曲线近似满意函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，0<φ<π)，如图，则()A．φ＝eq\f(3π,4)B．函数f(x)的最小正周期为16πC．∀x∈R，f(x)＋f(x＋8)＝40D．若g(x)＝f(x＋m)是偶函数，则|m|的最小值为215．如图，游乐场中的摩天轮逆时针匀速转动，每转一圈须要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米．假如你从最低处登上摩天轮并起先计时，当你第4次距离地面60.5米时所用时间为________分钟．16．少林寺作为国家AAAAA级旅游景区，每年都会接待大批游客，在少林寺的一家特地为游客供应住宿的客栈中，工作人员发觉为游客打算的食物有些月份剩余不少，奢侈很严峻．为了限制经营成本，削减奢侈，安排适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发觉每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性改变，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在1月份最少，在7月份最多，相差约400；③1月份入住客栈的游客约为300人，随后逐月递增，在7月份达到最多．(1)试用一个正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<π)描述一年中入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系；(2)请问客栈在哪几个月份要至少打算600份食物？课时作业661．解析：当t＝eq\f(2π,3)时，s1＝5sin(2×eq\f(2π,3)＋eq\f(π,6))＝5sineq\f(3π,2)＝－5，s2＝10cos(2×eq\f(2π,3))＝－5，所以s1＝s2.故选C.答案：C2．解析：由图象可得，ω>0，T＝4×eq\f(1,800)＝eq\f(1,200)，即eq\f(2π,ω)＝eq\f(1,200)，则ω＝400π.故选D.答案：D3．解析：由题知，∠AOB＝eq\f(t,60)×2π＝eq\f(tπ,30)，过O作AB的垂线，则AB＝2×5×sineq\f(\f(tπ,30),2)＝10sineq\f(πt,60).故选D.答案：D4．解析：由题意可知，t＝0时，y＝－eq\f(\r(3),2)，对于B，t＝0时，y＝－eq\f(1,2)，可解除；对于C，t＝0时，y＝－eq\f(1,2)，可解除；对于D，t＝0时，y＝－eq\f(\r(3),2)，但是不符合“按逆时针方向以角速度1rad/s做圆周运动”，可解除．故选A.答案：A5．解析：由题图可知，质点的振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8s，所以A错，D正确；该质点的振幅为5，所以B正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3s和0.7s时运动速度最大，在0.1s和0.5s时运动速度为零，故C正确．综上，BCD正确．答案：BCD6．解析：对于A选项，血压p(t)的最小正周期为eq\f(2π,\f(π,6))＝12，A错；对于B选项，下午3点时，即t＝9，可得p(9)＝116＋22sin(eq\f(3π,2)＋eq\f(π,3))＝116－22coseq\f(π,3)＝105，B对；对于C选项，因为p(t)max＝116＋22＝138<140，p(t)min＝116－22＝94≥90，所以，当天小王有高血压，C对；对于D选项，当天小王的收缩压与舒张压之差为p(t)max－p(t)min＝138－94＝44，D对．故选BCD.答案：BCD7．解析：由图象知最小值为2，故－3＋k＝2，所以k＝5，故最大值为3＋k＝3＋5＝8.答案：88．解析：依题意知，a＝eq\f(28＋18,2)＝23，A＝eq\f(28－18,2)＝5，所以y＝23＋5cos[eq\f(π,6)(x－6)]，当x＝10时，y＝23＋5cos(eq\f(π,6)×4)＝20.5.答案：20.59．解析：(1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.(2)由图象可知，8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，∴A＝eq\f(1,2)×(50－30)＝10，b＝eq\f(1,2)×(50＋30)＝40.∵eq\f(1,2)×eq\f(2π,ω)＝14－8，∴ω＝eq\f(π,6).∴y＝10sin(eq\f(π,6)x＋φ)＋40.将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝eq\f(π,6).∴所求解析式为y＝10sin(eq\f(π,6)x＋eq\f(π,6))＋40，x∈[8，14].10．解析：(1)以圆环的圆心为坐标原点，过圆心且平行于地面的直线为x轴，过圆心且垂直于地面的直线为y轴建立平面直角坐标系xOy.以x轴非负半轴为始边，OP1为终边的角为－eq\f(π,6)；点P时刻t所转过的圆心角为：eq\f(2π,8)t＝eq\f(π,4)t.若t时刻时蚂蚁爬到圆环P点处，那么以x轴非负半轴为始边，OP为终边的角为eq\f(π,4)t－eq\f(π,6)，则P点纵坐标为4sin(eq\f(π,4)t－eq\f(π,6))，所以h(t)＝4sin(eq\f(π,4)t－eq\f(π,6))＋6.(2)令h(t)＝4sin(eq\f(π,4)t－eq\f(π,6))＋6≥8，即sin(eq\f(π,4)t－eq\f(π,6))≥eq\f(1,2)，所以eq\f(π,6)＋2kπ≤eq\f(π,4)t－eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z，解得eq\f(4,3)＋8k≤t≤4＋8k，k∈Z，所以在一周范围内，P距离地面超过8m持续时间为：(4＋8k)－(eq\f(4,3)＋8k)＝eq\f(8,3)分钟．11．解析：由图中数据可知体力的周期为T1＝23，心情的周期为T2＝28，智力的周期为T3＝33.从同学甲诞生到今日的天数为5860，故对于体力，有5860＝23×254＋18，处于低潮期，疲乏乏力；对于心情，有5860＝28×209＋8，处于高潮期，心情开心；对于智力，有5860＝33×177＋19，处于低潮期，反应迟钝；故今日同学甲疲乏乏力，心情开心，反应迟钝．故选D.答案：D12．解析：由2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(t,2)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π].故选C.答案：C13．解析：由题设，水车的角速度为eq\f(2π,60)/s＝eq\f(π,30)/s，又水车的半径为4m，中心O到水面的距离2m，设经过t(单位：s)后水筒A距离水面的高度为f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋2，(ω>0，|φ|<eq\f(π,2))，由题意可知A＝4，ω＝eq\f(π,30)，由于t＝0时，水筒A在A0处，即f(0)＝4sinφ＋2＝0，即sinφ＝－eq\f(1,2)，由于|φ|<eq\f(π,2)，故取φ＝－eq\f(π,6)，故t(单位：s)后水筒A距离水面的高度可表示为f(t)＝4sin(eq\f(πt,30)－eq\f(π,6))＋2，∴f(130)＝4sin(eq\f(130π,30)－eq\f(π,6))＋2＝4(m)，故选B.答案：B14．解析：依题意A>0，ω>0，0<φ<π，依据图象可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2A＝30－10,b＝20))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝10,b＝20))，f(x)＝10sin(ωx＋φ)＋20，依据图象可知eq\f(T,2)＝14－6＝8，T＝16，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,16)＝eq\f(π,8)，B选项错误．f(x)＝10sin(eq\f(π,8)x＋φ)＋20，f(6)＝10sin(eq\f(3π,4)＋φ)＋20＝10，sin(eq\f(3π,4)＋φ)＝－1，0<φ<π，eq\f(3π,4)<eq\f(3π,4)＋φ<eq\f(7π,4)，eq\f(3π,4)＋φ＝eq\f(3π,2)⇒φ＝eq\f(3π,4)，A选项正确．f(x)＝10sin(eq\f(π,8)x＋eq\f(3π,4))＋20.f(x＋8)＝10sin[eq\f(π,8)(x＋8)＋eq\f(3π,4)]＋20＝10sin(eq\f(π,8)x＋eq\f(3π,4)＋π)＋20＝－10sin(eq\f(π,8)x＋eq\f(3π,4))＋20，所以f(x)＋f(x＋8)＝40，C选项正确．g(x)＝f(x＋m)＝10sin[eq\f(π,8)(x＋m)＋eq\f(3π,4)]＋20＝10sin(eq\f(π,8)x＋eq\f(π,8)m＋eq\f(3π,4))＋20是偶函数，eq\f(π,8)m＋eq\f(3π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，m＝8k－2，k∈Z，所以当k＝0时，|m|的最小值为2，D选项正确．故选ACD.答案：ACD15．解析：设从最低处登上摩天轮后逆时针匀速转动的时间为t分钟，因为每转一圈须要12分钟，则匀速转动t分钟所转动的角为eq\f(π,6)t，则距离地面的距离为f(t)＝40.5－40coseq\f(π,6)t＝－40coseq\f(π,6)t＋40.5(t≥0)米，由f(t)＝60.5，得－40coseq\f(π,6)t＋40.5＝60.5，得coseq\f(π,6)t＝－eq\f(1,2)，得eq\f(π,6)t＝2kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)或eq\f(π,6)t＝2kπ＋eq\f(4π,3)(k∈Z)，即t＝12k＋4(k∈Z)或t＝12k＋8(k∈Z)，故第1次距离地面60.5米时所用时间为