高考文数一轮课件2第二章函数第五节指数与指数函数

第五节指数与指数函数总纲目录教材研读1.指数幂的概念考点突破2.有理数指数幂3.指数函数的图象与性质考点二指数函数的图象及性质考点一指数幂的化简与求值考点三指数函数的应用1.指数幂的概念(1)根式的概念教材研读根式的概念符号表示备注如果①

xn=a

,那么x叫做a的n次方根

n>1且n∈N*当n为奇数时,正数的n次方根是一个②

正数

,负数的n次方根是一个③负数

零的n次方根是零当n为偶数时,正数的n次方根有④两个

,

它们互为⑤相反数

±

负数没有偶次方根(2)两个重要公式

=

(

)n=⑨

a

(注意a必须使

有意义).2.有理数指数幂(1)分数指数幂的表示(i)正数的正分数指数幂:

=⑩

(a>0,m,n∈N*,n>1).(ii)正数的负分数指数幂:

=

=

(a>0,m,n∈N*,n>1).(iii)0的正分数指数幂是

0

,0的负分数指数幂无意义.(2)有理数指数幂的运算性质(i)aras=

ar+s

(a>0,r,s∈Q).(ii)(ar)s=

ars

(a>0,r,s∈Q).(iii)(ab)r=

arbr

(a>0,b>0,r∈Q).3.指数函数的图象与性质

a>10<a<1图象

定义域

R

值域

(0,+∞)

性质过定点

(0,1)

当x>0时,

y>1

;当x<0时,

0<y<1

当x>0时,

0<y<1

;当x<0时,

y>1

在(-∞,+∞)上是

单调增函数

在(-∞,+∞)上是

单调减函数

1.计算[(-2)6

-(-1)0的结果为

()A.-9

B.7

C.-10

D.9答案

B原式=

-1=23-1=7.故选B.B2.函数f(x)=3x+1的值域为

()A.(-1,+∞)

B.(1,+∞)

C.(0,1)

D.[1,+∞)答案

B∵3x>0,∴3x+1>1,即函数f(x)=3x+1的值域为(1,+∞).B3.(2016北京东城期中)函数y=ax-

(a>0,且a≠1)的图象可能是

()

答案

D当x=-1时,y=

-

=0,所以函数y=ax-

的图象必过定点(-1,0),结合选项可知选D.D4.(2014北京海淀一模)已知f(x)=ax和g(x)=bx是指数函数,则“f(2)>g(2)”

是“a>b”的

()A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件答案

C因为f(x)=ax和g(x)=bx是指数函数,所以a>0且a≠1,b>0且b≠1.若f(2)>g(2),则a2>b2,所以a>b,充分性成立.若a>b,则a2>b2,所以f(2)>g(2),必要性成立.C5.当a>0且a≠1时,函数f(x)=ax-2-3的图象必过定点

.答案(2,-2)解析令x-2=0,则x=2,此时,f(x)=1-3=-2,故函数f(x)=ax-2-3的图象必过定

点(2,-2).（2，-2）6.若指数函数f(x)=(a-2)x为减函数,则实数a的取值范围为

.答案(2,3)解析∵f(x)=(a-2)x为减函数,∴0<a-2<1,即2<a<3.(2，3）典例1化简下列各式:考点一指数幂的化简与求值考点突破(1)

+2-2×

-(0.01)0.5;(2)

·b-2·(-3

b-1)÷(4

·b-3

;(3)

.解析(1)原式=1+

×

-

=1+

×

-

=1+

-

=

.(2)原式=-

b-3÷(4

·b-3

=-

b-3÷(

)=-

·

=-

·

=-

.(3)原式=

=

·

=

.易错警示(1)指数幂的运算首先将根式、小数指数幂统一化为分数指数幂,以便

利用法则计算,但应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加;②运算的

先后顺序.(2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.(3)运算

结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.1-1

+(0.002

-10×(

-2)-1+(

-

)0=

.答案-

解析原式=

+

-

+1=

+50

-10(

+2)+1=

+10

-10

-20+1=-

.-

1-2

÷

·

=

.答案

a2

解析原式=

÷

·

=

(

-2

)·

·

=

·a·

=a2.

a2

考点二指数函数的图象及性质典例2(1)(2016北京通州高三摸底)已知a=1,b=

,c=30.9,则a,b,c的大小关系是

()A.a<b<c

B.b<c<a

C.c<a<b

D.b<a<c(2)(2016北京顺义期末)设函数f(x)=|2x-1|,c<b<a,且f(c)>f(a)>f(b),则2a+2c

与2的大小关系是

()A.2a+2c>2

B.2a+2c≥2C.2a+2c≤2

D.2a+2c<2答案(1)D(2)D解析(1)∵b=

<

=1,30.9>30=1,∴b<a<c,故选D.(2)作出y=|2x-1|的图象如图所示:

要使c<b<a,且f(c)>f(a)>f(b)成立,则有c<0且a>0,∴2c<1<2a.∴f(c)=1-2c,f(a)=2a-1.又f(c)>f(a),∴1-2c>2a-1,即2a+2c<2.故选D.方法技巧(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断选项中的图象是

否过这些点,若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图象问题,一般

是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到

的.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(3)有关指

数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结

合求解.2-1

(2015北京石景山一模)函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所

示,则函数g(x)=ax+b的大致图象是

()

B答案

B由f(x)的图象可知0<a<1,b<-1,则函数g(x)为减函数,且g(0)=1+

b<0,故选B.2-2设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是

()A.a<b<c

B.a<c<b

C.b<a<c

D.b<c<a答案

C因为指数函数y=0.6x在(-∞,+∞)上为减函数,所以0.60.6>0.61.5,即a>b,又0<0.60.6<1,1.50.6>1,所以a<c,故选C.C2-3

(2017北京丰台一模)如果a=21.2,b=

,c=2log2

,那么

()A.c>b>a

B.c>a>b

C.a>b>c

D.a>c>b答案

D

a=21.2>2,b=

<1,c=2log2

=log23∈(1,2),∴a>c>b.故选D.D典例3已知函数f(x)=

.(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有最大值3,求a的值;(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.考点三指数函数的应用解析(1)当a=-1时,f(x)=

,令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而y=

在R上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是

(-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2).(2)令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=

,由于f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值-1,因此必有

解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值为1.(3)由指数函数的性质知,要使f(x)的值域为(0,+∞),应使y=ax2-4x+3的值域为R,因此只能a=0(因为若a≠0,则y=ax2-4x+3为二次函数,其值域不可能为R).

故a的值为0.方法技巧1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域问题(1)函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同.(2)先确定f(x)的值域,再根据指数函数的值域、单调性确定函数y=af(a)的

值域.2.与指数函数有关的复合函数的单调性问题利用复合函数单调性判断形如y=af(x)的函数的单调性,它的单调区间与f(x)的单调区间有关.若a>1,函数y=f(x)的单调增(减)区间即为y=af(x)的单

调增(减)区间;若0<a<1,函数y=f(x)的单调增(减)区间即为函数y=af(x)的单

调减(增)区间,概括起来即为“同增异减”.3.与指数函数有关的复合函数的最值问题,往往转化为二次函数的最值

问题.3-1已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为

()A.a<b<c

B.c