2022年中考数学三轮复习：数与式(附答案解析)

第第页2022年中考数学三轮复习：数与式一．选择题（共10小题）1．（2021•任城区二模）记sn＝a1+a2+…+an，令Tn＝，则Tn为a1，a2，…，an，这列数的“凯森和”．已知a1，a2，…a500的“凯森和”为2004，那么18，a1，a2，…a500的“凯森和”为（）A．2018 B．2019 C．2020 D．20212．（2021•娄底模拟）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2020的值是（）A． B．﹣ C． D．53．（2021•阳谷县一模）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，…）的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）．请依据上述规律，写出展开式中含x2019项的系数是（）A．﹣2021 B．2021 C．4042 D．﹣40424．（2021•开平区一模）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，根据上面的规律，用含有n（n为大于等于1的整数）的等式表示上面关系正确的是（）A．n+n+2＝n2 B．n（n+3）＝n2 C．（n+1）（n﹣1）＝n2﹣1 D．5．（2021•怀宁县模拟）已知实数a≠b≠c≠0，且满足＝a+6，＝b+6，则+﹣的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．26．（2021•渝中区校级三模）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第8个图案中共有圆点的个数是（）A．34 B．40 C．49 D．597．（2021•嘉善县一模）已知一列数a1，a2，a3，…，具有如下规律：a2n+1＝an+an+1，a2n＝an（n是正整数）．若a1＝1，则a37的值为（）A．1 B．5 C．7 D．118．（2021•云南模拟）观察下列关于x的单项式，探究其规律：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6，…按照上述规律，则第2020个单项式是（）A．6061x2020 B．﹣6061x2020 C．6058x2020 D．﹣6058x20209．（2020•江汉区模拟）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组，（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31）…，若AM＝（i，j）表示正奇数M是第i组第j个数（从左往右数），若A7＝（2，3），则A2019＝（）A．（32，26） B．（32，49） C．（45，42） D．（45，80）10．（2020•新野县三模）如图，在一张白纸上画1条直线，最多能把白纸分成2部分[如图（1）]，画2条直线，最多能把白纸分成4部分[如图（2）]，画3条直线，最多能把白纸分成7部分[如图（3）]，当在一张白纸上画20条直线，最多能把白纸分成（）部分．A．190 B．191 C．210 D．211二．填空题（共5小题）11．（2021•北京模拟）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学专著，其中包含了“鸡兔同笼”“物不知数”等许多有趣的数学问题．《孙子算经》中记载：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”其译文为：“有一个正整数，除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的正整数．”请用含有k的代数式表示满足条件的所有正整数．12．（2021•洪泽区二模）将2021个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点A，A1，A2，A3，…，A2021和点M，M1，M2，…，M2020是正方形的顶点，连接AM1，AM2，AM3，…，AM2020，分别交正方形的边A1M，A2M1，A3M2，…，A2020M2019于点N1，N2，N3，…，N2020，则N2020A2020长为．13．（2021•徐汇区二模）古希腊数学家把下列一组数：1、3、6、10、15、21、…叫做三角形数，这组数有一定的规律性，如果把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为x2，…，第n个三角形数记为xn，那么xn﹣1+xn的值是（用含n的式子表示）．14．（2021•长沙模拟）规定：在一个矩形中，先剪下一个最大的正方形称为裁剪1次，再在剩余的图形中剪下一个最大的正方形称为裁剪2次，……依次进行，若裁剪n次后，最后剩余的图形也是一个正方形，我们把这样的矩形称为完美矩形．已知在完美矩形中，两条相邻边长分别为4，a，若a＝7，则n＝；若1＜a＜3，且n＝3，则a＝．15．（2021•咸宁模拟）下面是一组有规律的算式，根据其中规律，第n个算式为：12+22+32+…+n2＝．12＝；第1个算式12+22＝；第2个算式12+22+32＝；第3个算式12+22+32+42＝；第4个算式…三．解答题（共5小题）16．（2021•五莲县模拟）（1）计算：；（2）先化简，再求值，其中a，b满足．17．（2021•重庆模拟）一个三位自然数a，满足各数位上的数字之和不超过10，并且个位数字与百位数字不同，我们称这个数为“完美数”．将a的个位数字与百位数字交换得到一个新数a'，记G（a）＝．例如，当a＝125时，a'＝521，G（125）＝＝﹣36；当a＝370时，a'＝73，G（370）＝＝27．（1）判断236（选填“是”或“不是”）完美数，计算G（321）＝；（2）已知两个“完美数”m，n，满足m＝100a+10+b，n＝100c+d（0≤b＜a≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，a，b，c，d为整数），若G（m）能被7整除，且G（m）+G（n）＝9（d+2），求m﹣n的最小值．18．（2021•德州模拟）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依次类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a4＝7，公差为d＝2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d为，第5项是．（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，an﹣an﹣1＝d，…．所以a2＝a1+d，a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，…由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an＝a1+（）d．（3）﹣4040是不是等差数列﹣5，﹣8，﹣11…的项？如果是，是第几项？（4）如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等差数列，且公差为d，前n项的和记为Sn，请用含a1，n，d的代数式表示Sn，Sn＝．19．（2021•重庆模拟）任意一个正整数n，都可以表示为：n＝a×b×c（a≤b≤c，a，b，c均为正整数），在n的所有表示结果中，如果|2b﹣（a+c）|最小，我们就称a×b×c是n的“阶梯三分法”，并规定：F（n）＝，例如：6＝1×1×6＝1×2×3，因为|2×1﹣（1+6）|＝5，|2×2﹣（1+3）|＝0，5＞0，所以1×2×3是6的阶梯三分法，即F（6）＝＝2．（1）如果一个正整数p是另一个正整数q的立方，那么称正整数p是立方数，求证：对于任意一个立方数m，总有F（m）＝2．（2）t是一个两位正整数，t＝10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9，且x≥y，x+y≤10，x和y均为整数），t的23倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13整除，我们就称这个数t为“满意数”，求所有“满意数”中F（t）的最小值．20．（2021•威远县一模）阅读下列材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1＝1，公比为q＝3．然后解决下列问题．（1）等比数列3，6，12，…的公比q为，第4项是．（2）如果已知一个等比数列的第一项（设为a1）和公比（设为q），则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：a1，a1q，a1•q2，a1•q3，…．由此可得第n项an＝（用a1和q的代数式表示）．（3）若一等比数列的公比q＝2，第2项是10，求它的第1项与第4项．（4）已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项．

2022年中考数学三轮复习：数与式参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2021•任城区二模）记sn＝a1+a2+…+an，令Tn＝，则Tn为a1，a2，…，an，这列数的“凯森和”．已知a1，a2，…a500的“凯森和”为2004，那么18，a1，a2，…a500的“凯森和”为（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【考点】规律型：数字的变化类．【专题】规律型；推理能力．【分析】先根据已知求出T500的值，再设出新的凯森和Tx，列出式子，把得数代入，即可求出结果．【解答】解：∵Tn＝，∴T500＝2004，∴S1+S2++S500＝2004×500＝1002000，∴18，a1，a2，…a500的“凯森和”为＝＝＝18+2000＝2018．故选：A．【点评】此题考查了数字的变化类，解题的关键是掌握“凯森和”这个新概念，找出其中的规律，再根据新概念对要求的式子进行变形整理即可．2．（2021•娄底模拟）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2020的值是（）A． B．﹣ C． D．5【考点】规律型：数字的变化类；倒数．【专题】规律型；数感；运算能力．【分析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2020除以3，根据余数的情况确定出与a2020相同的数即可得解．【解答】解：∵a1＝5，a2＝＝﹣，a3＝＝，a4＝＝5，…，∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，∵2020÷3＝673…1，∴a2020＝a1＝5，故选：D．【点评】本题是对数字变化规律的考查，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键．3．（2021•阳谷县一模）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，…）的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）．请依据上述规律，写出展开式中含x2019项的系数是（）A．﹣2021 B．2021 C．4042 D．﹣4042【考点】完全平方公式；数学常识；规律型：数字的变化类．【专题】规律型；猜想归纳；整式；数感；运算能力；推理能力．【分析】根据特殊到一般的数学思想进行分析归纳．【解答】解：由题意得，含x2019项为＝﹣4042x2019．∴展开式中含x2019项的系数是﹣4042．故选：D．【点评】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握特殊到一般的数学思想是解决本题的关键．4．（2021•开平区一模）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，根据上面的规律，用含有n（n为大于等于1的整数）的等式表示上面关系正确的是（）A．n+n+2＝n2 B．n（n+3）＝n2 C．（n+1）（n﹣1）＝n2﹣1 D．【考点】数学常识；规律型：数字的变化类；平方差公式；函数关系式．【专题】猜想归纳；数感；运算能力．【分析】根据特殊到一般的数学思想解决此题．【解答】解：第1个图形，（1+1）2＝4＝1+（1+2）；第2个图形，（2+1）2＝9＝1+2+（1+2+3）；第3个图形，（3+1）2＝16＝1+2+3+（1+2+3+4）；第4个图形，（4+1）2＝25＝1+2+3+4+（1+2+3+4+5）；…第n﹣1个图形，（n﹣1+1）2＝n2＝1+2+3+…+n﹣1+（1+2+3+…+n）；第n个图形，（n+1）2＝1+2+3+…+n+（1+2+3+…+n+n+1）．∴．故选：D．【点评】本题主要考查规律型，熟练掌握特殊到一般的数学思想是解决本题的关键．5．（2021•怀宁县模拟）已知实数a≠b≠c≠0，且满足＝a+6，＝b+6，则+﹣的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】分式的化简求值．【专题】分式；运算能力．【分析】根据＝a+6，＝b+6，通过变形，可以得到a+b的值，然后再将所求式子变形，即可得到所求式子的值．【解答】解：∵＝a+6，＝b+6，∴c＝a2+6a，c＝b2+6b，∴a2+6a＝b2+6b，a2＝c﹣6a，b2＝c﹣6b，∴a2﹣b2＝﹣6（a﹣b），∴（a+b）（a﹣b）＝﹣6（a﹣b），∵a≠b≠c，∴a﹣b≠0，∴a+b＝﹣6，∴+﹣＝＝＝2﹣＝2﹣0＝2，故选：D．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是求出a+b的关系．6．（2021•渝中区校级三模）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第8个图案中共有圆点的个数是（）A．34 B．40 C．49 D．59【考点】规律型：图形的变化类．【专题】压轴题；规律型；猜想归纳；推理能力．【分析】观察与比较每个图案相同点与不同点，得出后一个图案总是在与之相邻的前一个图案基础上有规律地增加圆点数，即在前一个图案的基础上增加比图案序号数多一个的圆点数，从而解决该题．【解答】解：当n＝1时，第1个图案的圆点的个数是y1＝5+2＝7个．当n＝2时，第2个图案的圆点的个数是y2＝y1+3＝5+2+3＝10个．当n＝3时，第3个图案的圆点的个数是y3＝y2+4＝5+2+3+4＝14个．当n＝4时，第4个图案的圆点的个数是y4＝y3+5＝5+2+3+4+5＝19．..．以此类推，第n个图案的圆点的个数是yn＝5+2+3+4+...+（n+1）＝个．∴当n＝8时，第8个图案的圆点的个数是个．故选：C．【点评】本题主要考查学生的观察能力，运用特殊到一般的数学思想解决此类规律题．7．（2021•嘉善县一模）已知一列数a1，a2，a3，…，具有如下规律：a2n+1＝an+an+1，a2n＝an（n是正整数）．若a1＝1，则a37的值为（）A．1 B．5 C．7 D．11【考点】规律型：数字的变化类．【专题】创新题型；能力层次．【分析】根据题干公式寻找规律．【解答】解：由a2n+1＝an+an+1，a2n＝an（n是正整数）可得：a37＝a18+a19＝2a9+a10＝2（a4+a5）+a5＝2a4+3a5＝2a2+3a3＝2a2+3（a2+a3）＝5a2+3a3＝8a1+3a2＝11a1＝11．故选：D．【点评】考查数字变化规律，解题关键是根据题中规律拆项．8．（2021•云南模拟）观察下列关于x的单项式，探究其规律：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6，…按照上述规律，则第2020个单项式是（）A．6061x2020 B．﹣6061x2020 C．6058x2020 D．﹣6058x2020【考点】规律型：数字的变化类；单项式．【专题】规律型；推理能力．【分析】根据题目中的单项式，可以发现它们的变化规律，从而可以写出第n个单项式，进而求得第2020个单项式，本题得以解决．【解答】解：∵一列关于x的单项式：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6……，∴第n个单项式为：（﹣1）n•（3n﹣2）xn，∴第2020个单项式是（﹣1）2020•（3×2020﹣2）x2020＝6058x2020，故选：C．【点评】考查数字的变化类、单项式，解答本题的关键是明确题意，发现单项式的变化规律．9．（2020•江汉区模拟）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组，（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31）…，若AM＝（i，j）表示正奇数M是第i组第j个数（从左往右数），若A7＝（2，3），则A2019＝（）A．（32，26） B．（32，49） C．（45，42） D．（45，80）【考点】有理数大小比较；规律型：数字的变化类．【专题】规律型；推理能力．【分析】由题意可知2019是第1010个数，由1+3+5+7+…+2n﹣1≥1010，确定1010在第32组，第1024个数是1024×2﹣1＝2047，第32组的第一数是2×962﹣1＝1923，则2019是第+1＝49个数，即可求解．【解答】解：由已知可知，第一组1个奇数，第二组3个奇数，第三组5个奇数，…2019是第1010个数，设2019在第n组，则1+3+5+7+…+2n﹣1≥1010，∴n＞31，当n＝31时，1+3+5+7+…+61＝961，当n＝32时，1+3+5+8+…+63＝1024，∴1010个数在第32组，第1024个数是1024×2﹣1＝2047，第32组的第一数是2×962﹣1＝1923，则2019是第+1＝49个数，∴2019是第32组第49个数．故选：B．【点评】本题考查数字的变化规律；理解题意，利用奇数和给出的分组特点，逐步确定具体位置是解题的关键．10．（2020•新野县三模）如图，在一张白纸上画1条直线，最多能把白纸分成2部分[如图（1）]，画2条直线，最多能把白纸分成4部分[如图（2）]，画3条直线，最多能把白纸分成7部分[如图（3）]，当在一张白纸上画20条直线，最多能把白纸分成（）部分．A．190 B．191 C．210 D．211【考点】规律型：图形的变化类．【专题】规律型；运算能力．【分析】根据题意可得n＝1，a1＝1+1；n＝2，a2＝a1+2；n＝3，a3＝a2+3…；n＝n，an＝an﹣1+n，以上式子相加整理可得一般式，进而可得结果．【解答】解：根据题意得：n＝1，a1＝1+1；n＝2，a2＝a1+2；n＝3，a3＝a2+3…；n＝n，an＝an﹣1+n，以上式子相加整理得，．∴20条直线最多能把白纸分为：部分．故选：D．【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．二．填空题（共5小题）11．（2021•北京模拟）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学专著，其中包含了“鸡兔同笼”“物不知数”等许多有趣的数学问题．《孙子算经》中记载：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”其译文为：“有一个正整数，除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的正整数．”请用含有k的代数式表示满足条件的所有正整数105k+23．【考点】列代数式．【专题】整式；符号意识；运算能力；推理能力．【分析】先确定出除以21余2的最小正整数为23，此时也满足除以5余3，再确定出3，5，7的最小公倍数，即可得出结论．【解答】解：∵一个正整数，除以3余2，除以7余2，∴这个正整数除以21也余2，∴除以21余2的最小正整数为23，而23÷5＝4•••3，∴满足条件的最小正整数为23，∵3，5，7的最小公倍数为3×5×7＝105，∴符合条件的正整数为105k+23，故答案为105k+23．【点评】此题主要考查了列代数式，同余问题，最小公倍数的求法，确定出满足条件的最小正整数为23是解本题的关键．12．（2021•洪泽区二模）将2021个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点A，A1，A2，A3，…，A2021和点M，M1，M2，…，M2020是正方形的顶点，连接AM1，AM2，AM3，…，AM2020，分别交正方形的边A1M，A2M1，A3M2，…，A2020M2019于点N1，N2，N3，…，N2020，则N2020A2020长为．【考点】规律型：图形的变化类．【专题】几何图形；几何直观．【分析】因为图形是由边长为1的正方形组成，所以图象里有多个三角形相似，可以利用“A字型”相似求解即可．【解答】解：由题意可得△AA1N1∽△AA2M1，∴＝，∵正方形的边长都为1，∴N1A1＝．同理可得△AA2020N2020∽△AA2021M2020，∴＝＝，∴N2020A2020＝．故答案为．【点评】此题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边的比相等是解题的关键．13．（2021•徐汇区二模）古希腊数学家把下列一组数：1、3、6、10、15、21、…叫做三角形数，这组数有一定的规律性，如果把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为x2，…，第n个三角形数记为xn，那么xn﹣1+xn的值是n2（用含n的式子表示）．【考点】数学常识；列代数式；规律型：数字的变化类．【专题】创新题型；解题思想；数感；推理能力；应用意识．【分析】此题注意对数据（数列）的分析：（1）数据依次差2，3，4，5，6，…；（2）数据扩大2倍，形成新数据：2，6，12，20，30，42，…，可以依次改成相邻两个正整数的乘积．这样可以得到第n个数的规律．【解答】将条件数据1、3、6、10、15、21、…，依次扩大2倍得到：2，6，12，20，30，42，…，这组新数据中的每一个数据可以改写成两个相邻正整数的乘积，即2＝1×2，6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，…，∴，（n≥1）．所以．故答案是：n2．【点评】此题是对数字规律的考查，关键是对数字有“数感”，从特殊到一般的探寻．14．（2021•长沙模拟）规定：在一个矩形中，先剪下一个最大的正方形称为裁剪1次，再在剩余的图形中剪下一个最大的正方形称为裁剪2次，……依次进行，若裁剪n次后，最后剩余的图形也是一个正方形，我们把这样的矩形称为完美矩形．已知在完美矩形中，两条相邻边长分别为4，a，若a＝7，则n＝4；若1＜a＜3，且n＝3，则a＝或．【考点】规律型：图形的变化类．【专题】推理填空题；分类讨论；数据分析观念．【分析】第一空可以直接代入数字进行推理．第二空给了a的取值范围，因此第一次裁剪后可以得到两边分别为a，4﹣a．第二次裁剪不能确定两个邻边的大小，所以需要分情况讨论．再根据第三次裁剪是正方形，可以列等式求出a的值．【解答】解：（1）由题中裁剪方法知，当a＝7时，第一次裁剪后剩余的边长分别为3，4；第二次裁剪后剩余的边长分别为1，3；第三次裁剪后剩余的边长分别为1，2；第四次裁剪后剩余的边长分别为1.1．∴n＝4．（2）∵1＜a＜3，且n＝3，∴第一次裁剪后剩余的边长分别为a，4﹣a．①若4﹣a＞a，即a＜2．第二次裁剪后剩余的边长分别为4﹣2a，a．Ⅰ若4﹣2a＞a，即a＜，则第三次裁剪后剩余的边长分别为4﹣3a，a，此图形为正方形，∴4﹣3a＝a，∴a＝1（舍去）．Ⅱ若4﹣2a＜a，即a＞，则第三次裁剪后剩余的边长分别为3a﹣4，4﹣2a，∴3a﹣4＝4﹣2a，∴a＝．②若4﹣a＜a，即a＞2，则第二次裁剪后剩余的边长分别为4﹣a，2a﹣4．Ⅰ若4﹣a＞2a﹣4，即a＜，则第三次裁剪后剩余的边长分别为8﹣3a，2a﹣4．∵第三次裁剪后的图形为正方形，∴8﹣3a＝2a﹣4，∴a＝．Ⅱ若4﹣a＜2a﹣4，即a＞，则第三次裁剪后剩余的边长分别为4﹣a，3a﹣8．∵第三次裁剪后的图形为正方形，∴4﹣a＝3a﹣8，∴a＝3（舍去）．故答案为4；或．【点评】此题考查的是图形的推理能力，分析图形的关系并掌握分情况讨论是解题的关键．15．（2021•咸宁模拟）下面是一组有规律的算式，根据其中规律，第n个算式为：12+22+32+…+n2＝．12＝；第1个算式12+22＝；第2个算式12+22+32＝；第3个算式12+22+32+42＝；第4个算式…【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算．【专题】规律型；推理能力．【分析】根据所给算式分母为6，分子为n（n+1）（2n+1）求解．【解答】解：12＝，第一个算式，12+22＝，第二个算式，12+22+32＝，第三个算式，•••12+22+32+…+n2＝，第n个算式．故答案为：．【点评】本题考查数字变化的规律，解题关键是通过前三个算式找出数字变化规律．三．解答题（共5小题）16．（2021•五莲县模拟）（1）计算：；（2）先化简，再求值，其中a，b满足．【考点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；实数的运算．【专题】实数；分式；运算能力．【分析】（1）根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值可以解答本题；（2）根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后根据．可以得到a、b的值，然后代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（1）＝（﹣1）++1﹣4×+﹣2＝（﹣1）++1﹣2+2﹣2＝﹣；（2）＝﹣＝＝﹣，∵，∴a﹣2＝0，b+1＝0，解得a＝2，b＝﹣1，当a＝2，b＝﹣1时，原式＝﹣＝﹣1．【点评】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．17．（2021•重庆模拟）一个三位自然数a，满足各数位上的数字之和不超过10，并且个位数字与百位数字不同，我们称这个数为“完美数”．将a的个位数字与百位数字交换得到一个新数a'，记G（a）＝．例如，当a＝125时，a'＝521，G（125）＝＝﹣36；当a＝370时，a'＝73，G（370）＝＝27．（1）判断236不是（选填“是”或“不是”）完美数，计算G（321）＝18；（2）已知两个“完美数”m，n，满足m＝100a+10+b，n＝100c+d（0≤b＜a≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，a，b，c，d为整数），若G（m）能被7整除，且G（m）+G（n）＝9（d+2），求m﹣n的最小值．【考点】列代数式；因式分解的应用．【专题】整式．【分析】（1）根据定义可直接判断236不是完美数，根据新定义的运算法则算出G（321）即可；（2）先算出G（m）和G（n）的值，写出a，c，d的关系，再由已知条件列出可能的情况，根据完美数的定义确定c，d的值，最后求出n．【解答】解：（1）∵2+3+6＝11＞10，∴236不是完美数，根据题意，G（321）＝＝18；故答案为：不是；18．（2）∵m＝100a+10+b，∴m'＝100b+10+a，∵n＝100c+d，∴n'＝100d+c，∴G（m）+G（n）＝+＝9（d+2），∴a﹣b+c＝2d+2，设G（m）＝7x，x为整数，∴＝7x，即9（a﹣b）＝7x，∵0≤b＜a≤9，∴满足条件的a只有7或8或9，当a＝9时，m不是完美数，故舍去，当a＝8时，b＝1，这个数是811，是完美数，此时，8﹣1+c＝2d+2，即c＝2d﹣5，∵0≤c≤9，0≤d≤9，∴d＝3，c＝1时，n＝301，则m﹣n＝510；d＝4，c＝3时，n＝403，则m﹣n＝811﹣403＝408；d＝5，c＝5时，n＝505，则m﹣n＝811﹣505＝306；d＝6，c＝7（舍去），∴共有三种情况，最小的为306；当a＝7时，b＝0，这个数是710，是完美数，此时，7﹣0+c＝2d+2，即c＝2d﹣5，∵0≤c≤9，0≤d≤9，∴d＝3，c＝1时，n＝301，则m﹣n＝710﹣301＝409；d＝4，c＝3时，n＝403，则m﹣n＝710﹣403＝302；d＝5，c＝5时，n＝505，则m﹣n＝710﹣505＝205；d＝6，c＝7（舍去），∴共有三种情况，最小的为205；综上，m﹣n的最小值为205．【点评】本题主要考查新定义的运算和应用，正确理解新定义的运算是解题的关键．18．（2021•德州模拟）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依次类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a4＝7，公差为d＝2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d为5，第5项是25．（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，an﹣an﹣1＝d，…．所以a2＝a1+d，a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，…由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an＝a1+（n﹣1）d．（3）﹣4040是不是等差数列﹣5，﹣8，﹣11…的项？如果是，是第几项？（4）如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等差数列，且公差为d，前n项的和记为Sn，请用含a1，n，d的代数式表示Sn，Sn＝．．【考点】规律型：数字的变化类．【专题】规律型；推理能力．【分析】（1）根据等差数列的定义可得答案；（2）根据前面几个式子的规律可得等差数列的通项公式；（3）把﹣4040代入（2）中得到的公式可得答案；（4）把前面几个数字相加可得Sn．【解答】解：（1）∵10﹣5＝5，15﹣10＝5，∴d＝5，后面的几项分别是20、25、30…，∴第5项是25．故答案为：5，25．（2）∵a2＝a1+d，a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，…∴an＝a1+（n﹣1）d．故答案为：n﹣1．（3）∵d＝﹣8+5＝﹣3，∴﹣4040＝﹣5+（n﹣1）×（﹣3），解得n＝1346，∴﹣4040是等差数列﹣5，﹣8，﹣11…的项，是第1346项．（4）Sn＝a1+a2+a3+…+an＝a1+（a1+d）+（a1+2d）+…+[a1+（n﹣1）d]＝．故答案为：．【点评】本题考查了数字变化类问题，解决问题的关键是找出变化规律，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．19．（2021•重庆模拟）任意一个正整数n，都可以表示为：n＝a×b×c（a≤b≤c，a，b，c均为正整数），在n的所有表示结果中，如果|2b﹣（a+c）|最小，我们就称a×b×c是n的“阶梯三分法”，并规定：F（n）＝，例如：6＝1×1×6＝1×2×3，因为|2×1﹣（1+6）|＝5，|2×2﹣（1+3）|＝0，5＞0，所以1×2×3是6的阶梯三分法，即F（6）＝＝2．（1）如果一个正整数p是另一个正整数q的立方，那么称正整数p是立