专题31 复数-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）原卷版

2/2专题31复数（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 3【考点突破】 4【考点1】复数的概念 4【考点2】复数的四则运算 5【考点3】复数的几何意义 6【考点4】复数与方程 7【分层检测】 8【基础篇】 8【能力篇】 9【培优篇】 10考试要求：1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.能进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.知识梳理知识梳理1.复数的有关概念(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).(2)分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔b＝0a＋bi为虚数⇔b≠0a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).(5)模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R).2.复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.3.复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).1.i的乘方具有周期性i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.2.(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.3.复数的模与共轭复数的关系z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq\o(z,\s\up6(－))|2.真题自测真题自测一、单选题1．（2023·全国·高考真题）设，则（

）A．-1 B．0

· C．1 D．22．（2023·全国·高考真题）设，则（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高考真题）已知，则（

）A． B． C．0 D．14．（2023·全国·高考真题）在复平面内，对应的点位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2022·全国·高考真题）（

）A． B． C． D．6．（2022·全国·高考真题）若，则（

）A． B． C． D．7．（2022·全国·高考真题）已知，且，其中a，b为实数，则（

）A． B． C． D．8．（2022·全国·高考真题）若，则（

）A． B． C．1 D．29．（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．（2021·全国·高考真题）设，则（

）A． B． C． D．11．（2021·全国·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．12．（2021·全国·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．考点突破考点突破【考点1】复数的概念一、单选题1．（2023·黑龙江佳木斯·三模）复数的虚部是（

）A．1012 B．1011 C． D．2．（2024·河南郑州·三模）复数（且），若为纯虚数，则（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·福建莆田·三模）若z是非零复数，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则4．（2024·山东济宁·三模）已知复数，则下列说法中正确的是（

）A． B．C．“”是“”的必要不充分条件D．“”是“”的充分不必要条件三、填空题5．（2024·贵州黔南·二模）为虚数单位，若是以的实部为虚部、以的虚部为实部的复数，则的共轭复数的模长为.6．（2024·湖北荆州·三模）棣莫弗定理：若为正整数，则，其中为虚数单位，已知复数，则，的实部为．反思提升：1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).3.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi，则z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq\o(z,\s\up6(－))|2，即|z|＝|eq\o(z,\s\up6(－))|＝eq\r(z·\o(z,\s\up6(－)))，若z∈R，则eq\o(z,\s\up6(－))＝z.【考点2】复数的四则运算一、单选题1．（2024·江西鹰潭·二模）已知，则的虚部为（

）A． B． C． D．22．（2023·云南·模拟预测）已知，是方程的两个复根，则（

）A．2 B．4 C． D．二、多选题3．（2024·河南·二模）已知复数，是的共轭复数，则下列说法正确的是（

）A．的实部为B．复数在复平面中对应的点在第四象限C．D．4．（2023·重庆·二模）已知复数，，则下列结论中正确的是（

）A．若，则 B．若，则或C．若且，则 D．若，则三、填空题5．（22-23高三上·天津南开·期中）已知（i为虚数单位，）为纯虚数，则．6．（2024·福建厦门·三模）复数满足，，则.反思提升：(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.【考点3】复数的几何意义一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）如图，复数对应的向量为，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为（

）

A． B． C． D．2．（2024·湖南长沙·一模）复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、多选题3．（2021·全国·模拟预测）已知是复数，且为纯虚数，则（

）A． B．C．在复平面内对应的点不在实轴上 D．的最大值为4．（2024·江西·二模）已知复数（且，为虚数单位），若，则下列说法正确的是（

）A．在复平面上对应的点位于第四象限B．C．D．若复数满足，则在复平面内对应的点构成的图形的面积为三、填空题5．（21-22高三上·北京西城·期中）在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则.6．（2024·安徽·模拟预测）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是.反思提升：1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)Z(a，b)eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b).2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.【考点4】复数与方程一、单选题1．（2024·湖南长沙·二模）关于的方程在复数范围内的两个根，则（

）A． B． C． D．2．（2024·河北邢台·二模）已知复数，，下列说法正确的有（

）A．若，则B．若是关于x的方程（p，）的一个根，则C．若，则D．若，则或二、多选题3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知，方程有一个虚根为，为虚数单位，另一个虚根为，则（

）A． B．该方程的实数根为1C． D．4．（2024·浙江温州·三模）已知是关于的方程的两个根，其中，则（

）A． B． C． D．三、填空题5．（2023·河南·三模）已知（i为虚数单位），z为实系数方程的一个根，则．6．（2024·广东广州·二模）若（为虚数单位）是关于的实系数一元二次方程的一个虚根，则实数.反思提升：(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.分层检测分层检测【基础篇】一、单选题1．（23-24高一下·浙江·期中）若复数满足，则的虚部为（

）A． B．C． D．2．（2024·江西景德镇·三模）下列有关复数，的等式中错误的是（

）A． B．C． D．3．（2024·江西宜春·模拟预测）若为纯虚数，则（

）A．2 B．4 C． D．4．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知（为虚数单位），则的虚部是（

）A． B． C．1 D．二、多选题5．（2024·河北沧州·模拟预测）复数，则下列说法正确的有（

）A．在复平面内对应的点都位于第四象限B．在复平面内对应的点在直线上C．D．的最小值为46．（2024·福建泉州·模拟预测）若则（

）A． B．C． D．是纯虚数7．（2024·福建福州·三模）已知复数，下列结论正确的是（

）A．若，则 B．C．若，则或 D．若且，则三、填空题8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知复数满足，则的最小值为.9．（2024·河北唐山·二模）已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为．10．（2024·北京·三模）若是纯虚数，则实数a的值为.四、解答题11．（22-23高一下·福建三明·阶段练习）已知复数.(1)若，求的值；(2)，，求.12．（22-23高三·全国·对口高考）已知复数（a，），存在实数t，使成立.(1)求证：为定值；(2)若，求a的取值范围．【能力篇】一、单选题1．（2024·河南商丘·模拟预测）已知复数和满足，则（

）A．1 B． C． D．2二、多选题2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知复数满足：为纯虚数，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．的最小值为3 D．的最小值为3三、填空题3．（2024·上海静安·二模）已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为．四、解答题4．（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）已知复数，为z的共轭复数，且．(1)求m的值；(2)若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二