专题22 两角和与差的正弦、余弦和正切-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）解析版

2/2专题22两角和与差的正弦、余弦和正切（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 3【考点突破】 7【考点1】公式的基本应用 7【考点2】公式的逆用及变形 11【考点3】角的变换问题 16【分层检测】 19【基础篇】 19【能力篇】 25【培优篇】 28考试要求：1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).知识梳理知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ.tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sinαcosα.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).3.函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq\r(a2＋b2)·cos(α－φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(a,b))).1.tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ).2.降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).3.1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).真题自测真题自测一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知，则（

）．A． B． C． D．2．（2023·全国·高考真题）已知为锐角，，则（

）．A． B． C． D．3．（2022·全国·高考真题）若，则（

）A． B．C． D．4．（2021·全国·高考真题）若，则（

）A． B． C． D．5．（2021·全国·高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（

）A．346 B．373 C．446 D．473二、多选题6．（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（

）A． B．C． D．参考答案：1．B【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为，而，因此，则，所以.故选：B【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．2．D【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【详解】因为，而为锐角，解得：．故选：D．3．C【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；选C.[方法三]：三角恒等变换所以即故选：C.4．C【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：．故选：C．【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．5．B【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案．【详解】过作，过作，故，由题，易知为等腰直角三角形，所以．所以．因为，所以在中，由正弦定理得：，而，所以所以．故选：B．【点睛】本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为．6．AC【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A：，，所以，，故，正确；B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；C：由题意得：，，正确；D：由题意得：，，故一般来说故错误；故选：AC考点突破考点突破【考点1】公式的基本应用一、单选题1．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（

）A．0 B． C． D．2．（2024·山东枣庄·模拟预测）在中，，为内一点，，，则（

）A． B． C． D．二、多选题3．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）如图，角，的始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，M为线段AB的中点．N为的中点，则下列说法中正确的是（

）A．N点的坐标为B．C．D．若的终边与单位圆交于点C，分别过A，B，C作x轴的垂线，垂足为R，S，T，则4．（2024·全国·模拟预测）已知角的终边过点，则（

）A． B．C． D．三、填空题5．（2024·江西鹰潭·二模）已知，且，则.6．（2024·河北承德·二模）已知，则.参考答案：1．D【分析】根据三角函数的定义求出，，再由两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为，即，即角的终边经过点，所以，，所以.故选：D2．B【分析】在中，设，，即可表示出，，在中利用正弦定理得到，再由两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解.【详解】在中，设，令，

则，，在中，可得，，由正弦定理，得，所以，可得，即．故选：B．【点睛】关键点点睛：本题解答关键是找到角之间的关系，从而通过设元、转化到中利用正弦定理得到关系式.3．BCD【分析】利用三角函数定义可求得N点的坐标为，可知A错误；易知，B正确；求得点横坐标，再利用中点坐标公式可得C正确；分别表示出各线段长度利用三角恒等变换和三角函数值域可得D正确.【详解】由N为的中点，则，可得，由三角函数定义可得N点的坐标为，故A错误；由，可得，故B正确；易知，又因为，，M为线段AB的中点，则，所以，故C正确；由易知线段，，则，所以，故D正确，故选：BCD．4．BD【分析】先根据三角函数的定义求出的三角函数值，再结合二倍角的余弦公式和两角和的正切公式逐一计算即可.【详解】因为角的终边过点，所以，所以，，，对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确．故选：BD．5．/【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系可得，即可得到，由正弦函数的和差角公式代入计算，即可得到结果.【详解】因为，所以，又，所以，所以.故答案为：6．/【分析】利用三角恒等变换化简算式得，已知，由正切的倍角公式求出即可求得结果.【详解】，，所以，而，因此原式.故答案为：.反思提升：1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.【考点2】公式的逆用及变形一、单选题1．（2024·贵州黔东南·二模）已知，且，，则（

）A． B． C． D．2．（2024·江西·模拟预测）若，则（

）A． B．1 C． D．二、多选题3．（2024·安徽·三模）已知函数，则（

）A．是偶函数 B．的最小正周期是C．的值域为 D．在上单调递增4．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．三、填空题5．（2024·江西·模拟预测）已知，，则.6．（2023·四川成都·二模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且，则实数的取值范围为．参考答案：1．C【分析】找出和的关系，求出和即可求解.【详解】，，①，，，②，由①②解得或，，，，.故选：C.2．A【分析】根据两角和的正切公式求出，再由二倍角公式公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.【详解】因为，即，则．故选：A3．AC【分析】对于A，直接用偶函数的定义即可验证；对于B，直接说明即可否定；对于C，先证明，再说明对总有有解即可验证；对于D，直接说明即可否定.【详解】对于A，由于的定义域为，且，故是偶函数，A正确；对于B，由于，，故，这说明不是的周期，B错误；对于C，由于，且，故.而对，有，，故由零点存在定理知一定存在使得.所以的值域为，C正确；对于D，由于，，故在上并不是单调递增的，D错误.故选：AC.4．ABC【分析】由两角和差的三角函数公式、平方关系结合已知运算即可.【详解】由已知，得，，两式分别平方相加，得，，整理得，∴，∴A正确；同理由，，两式分别平方相加，易得，∴B正确；由，，两式分别平方相加，易得．∵，∴，∴，∴，∴C正确，D错误.故选：ABC．5．【分析】利用和角、差角的余弦公式以及二倍角公式求解即可.【详解】因为，，所以，所以，所以.故答案为：.6．【分析】由两角和的正切公式化简可得，再根据三角形形状以及正弦、余弦定理可限定出，将参数表示成再利用函数单调性即可求得其范围.【详解】在中，由可得,又因为，所以，即则，所以可得，由正弦定理得．又可知．又为锐角三角形，所以，由余弦定理得．所以，即，所以，解得．又，所以．又因为，所以，即．令，则，则．因为在上单调递增，又，，所以实数的取值范围为．故答案为：【点睛】方法点睛：求解解三角形综合问题时一般会综合考虑三角恒等变换、正弦定理、余弦定理等公式的灵活运用，再结合基本不等式或者通过构造函数利用导数和函数的单调性等求出参数取值范围.反思提升：1.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.2.对asinx＋bcosx化简时，辅助角φ的值如何求要清楚.【考点3】角的变换问题一、单选题1．（2024·浙江绍兴·二模）若，则（

）A． B． C． D．2．（2024·贵州贵阳·一模）已知满足，则（

）A． B． C． D．二、多选题3．（23-24高三上·河南洛阳·开学考试）已知，，，则（

）A． B．C． D．4．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，，，，则（

）A． B．C． D．三、填空题5．（2024·全国·模拟预测）已知为锐角，满足，则，．6．（23-24高一上·湖南益阳·期末）若是锐角，，则．参考答案：1．D【分析】由降幂公式求出，再结合诱导公式求解即可．【详解】由已知得，，即，则，故选：D．2．B【分析】根据给定条件，利用二倍角、差角的正切公式计算即可.【详解】由，得，所以.故选：B3．ACD【分析】利用同角三角函数的关系,两角差的余弦公式和倍角公式计算.【详解】，，则，A正确.，C正确.因为，，所以，B错误.，，所以，D正确.故选：ACD4．BCD【分析】由同角三角函数的平方关系计算，和验证ABD选项；，由两角和的正弦公式计算验证C选项.【详解】，则，，，故A错误，D正确；，故B选项正确；，故C选项正确；故选：BCD.5．//【分析】由，利用两角和与差的正弦公式和余弦的二倍角公式，求出；再用余弦的二倍角公式求出.【详解】因为，所以，又，所以，因为为锐角，所以为锐角，又，所以，又，所以，所以．故答案为：；.6．【分析】根据给定条件，利用平方关系及差角的余弦公式计算即得.【详解】由是锐角，得，又，则，所以.故答案为：反思提升：(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)常见的角变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(π,3)＋α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(π,2)等.分层检测分层检测【基础篇】一、单选题1．（2024·湖南·二模）若锐角满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2024·云南·模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·安徽六安·期末）已知，且，则（

）A． B．7 C． D．4．（2024·江西南昌·二模）已知，则（

）A． B． C． D．二、多选题5．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数的图象为C，以下说法中正确的是（

）A．函数的最大值为B．图象C关于中心对称C．函数在区间内是增函数D．函数图象上，横坐标伸长到原来的2倍，向左平移可得到6．（23-24高一下·江苏连云港·期中）下列四个式子中，计算正确的是（

）A． B．C． D．7．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）下列化简结果正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题8．（2024·广西·二模）已知，则.9．（2024·全国·二模）已知，则.10．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知，则.四、解答题11．（23-24高一下·北京房山·期中）设函数由下列三个条件中的两个来确定：①；②最小正周期为；③．(1)写出能确定函数的两个条件，并求出的解析式；(2)求函数在区间上的最小值及相应的的值．12．（23-24高一下·北京房山·期中）已知函数．(1)求的值；(2)求函数的最小正周期；(3)求函数的单调递增区间．参考答案：1．D【分析】利用两角和的余弦公式得，再由基本不等式求得的最小值.【详解】.于是，当且仅当时取等号，则的最小值为.故选：D.2．A【分析】根据题意，利用两角和与差的三角函数，准确运算，即可求解.【详解】由，即，所以.故选：A.3．B【分析】利用同角三角函数基本关系求得，及，再利用两角和正切公式求解即可.【详解】由题意，消去并化简得，解得，所以，，所以.故选：B4．D【分析】利用余弦的和角公式化简得，再根据二倍角公式及诱导公式计算即可.【详解】由已知知：，化简得，令，则，，所以.故选：D5．CD【分析】根据降幂公式、二倍角正弦公式，结合正弦型函数的最值、对称性、单调性、图象变换性质逐一判断即可.【详解】.A：函数的最大值为，因此本选项不正确；B：因为，所以图象C不关于中心对称，因此本选项不正确；C：当时，，所以函数在区间内是增函数，因此本选项正确；D：函数图象上，横坐标伸长到原来的2倍，得到，再向左平移可得到，所以本选项正确，故选：CD6．ACD【分析】根据和角的余弦公式可判断A；根据诱导公式可判断B；根据二倍角的正弦公式可判断C；根据诱导公式和二倍角的余弦公式可判断D.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确.故选：ACD.7．BCD【分析】利用和（差）角公式计算可得.【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：，故D正确.故选：BCD8．1或【分析】由已知可得或，从而可求出的值.【详解】由可得，所以或，即或，当时，当时，，故答案为：1或.9．/0.28【分析】切化弦，然后整理可得，再利用倍角公式计算即可.【详解】，得，解得或（舍）所以.故答案为：.10．/【分析】先根据平方关系求出，再利用降幂公式和二倍角的正弦公式即可得解.【详解】，.故答案为：.11．(1)两个条件为②③，(2)时，函数的最小值为【分析】（1）条件①不成立，选择两个条件②③，由最小正周期求，由求出；（2）由，有，结合正弦函数的性质求最小值和最小值点.【详解】（1），条件①不成立，能确定函数的两个条件为②③.

.

因为函数的最小正周期为，，所以.

又，得，所以，得.由，得.

所以.（2）因为，所以.

所以当，即时，函数的最小值为.12．(1)2(2)(3)【分析】（1）直接代入，由特殊角的三角函数值求出的值；（2）根据二倍角公式化简整理把函数化成一个角的一种三角函数的形式得，由正弦型函数的周期公式求出最小正周期；（3）根据正弦函数的单调递增区间，把看成一个整体，解不等式，求出的单调递增区间.【详解】（1）（2）因为

所以函数的最小正周期.（3）因为函数在区间上单调递增.

由，

得.

即.

所以函数的单调递增区间为.【能力篇】一、单选题1．（2024·山东·模拟预测）已知，，则（

）A． B． C． D．二、多选题2．（2024·云南昆明·一模）古希腊数学家托勒密（Ptolemy85-165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表.托勒密用圆的半径的作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角（）所对的弦长记为.例如圆心角所对弦长等于60个度量单位，即.则（

）A．B．若，则C．D．（）三、填空题3．（2024·北京海淀·二模）已知函数.（i）若，则函数的最小正周期为.（ii）若函数在区间上的最小值为，则实数.四、解答题4．（2024·北京海淀·二模）已知函数，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定.(1)求的值；(2)若不等式在区间内有解，求的取值范围.条件①：；条件②：的图象可由的图象平移得到；条件③：在区间内无极值点，且.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.参考答案：1．D【分析】先利用两角和的正弦公式求出，再根据结合两角和差的余弦公式化简即可得解.【详解】，，所以.故选：D.2．BCD【分析】根据所给定义即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，圆心角所对弦长为若，则弦长为,显然,故A错误，对于B，若，则弦长为,而直径为，故，B正确，对于C，圆心角所对的弦长为，故，C正确，对于D,根据三角形两边之和大于第三边可知：所对的弦长之和大于所对的弦长，所以，（），故D正确，故选：BCD3．【分析】根据二倍角公式即可结合周期公式求解，利用二次函数的性质即可求解最值.【详解】当时，,所以最小正周期为，，当时，，且二次函数开口向下，要使得在区间上的最小值为，则需要，且当时取最小值，故，解得，故答案为：，4．(1)条件选择见解析，；(2).【分析】（1）选条件①，由的解不唯一，此条件不符合题意；选条件②，由周期求出；选条件③，由给定等式确定最大最小值条件，求出周期范围，由给定区间内无极值点求出周期即可.（2）由（1）求出函数的解析式，再借助不等式有解列式求解即得.【详解】（1）依题意，，选条件①，由，得，即，于是或，显然的值不唯一，因此函数不唯一，不符合题意.选条件②，的图象可由的图象平移得到，因此的最小正周期为函数的最小正周期，而，则，所以.选条件③，在区间内无极值点，且，则，即函数分别在时取得最大值､最小值，于是的最小正周期，由在区间内无极值点，得的最小正周期，因此，而，所以.（2）由（1）知，由，得，由不等式在区间内有解