专题28 平面向量的概念及线性运算-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）原卷版VIP

2/2专题28平面向量的概念及线性运算（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 3【考点突破】 4【考点1】平面向量的概念 4【考点2】向量的线性运算 5【考点3】共线向量定理的应用 6【分层检测】 8【基础篇】 8【能力篇】 9【培优篇】 11考试要求：1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.知识梳理知识梳理1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小就是向量的长度(或称模)，记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求两个向量差的运算a－b＝a＋(－b)数乘规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))).2.eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.真题自测真题自测一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．2．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（

）

A． B． C． D．3．（2020·海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（

）A． B． C． D．二、填空题4．（2021·全国·高考真题）已知向量，若，则．5．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为，若是线段上的动点，且，则的最小值为．6．（2020·江苏·高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是．

考点突破考点突破【考点1】平面向量的概念一、单选题1．（2024·广西南宁·一模）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南永州·三模）在中，，，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2022·浙江·模拟预测）已知向量，，则下列命题正确的是（

）A．若，则B．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为C．若与共线，则为或D．存在θ，使得4．（2022·辽宁丹东·模拟预测）已知，，为单位向量，若，则（

）A． B．C． D．三、填空题5．（2022·辽宁·模拟预测）已知四棱锥的底面ABCD是矩形，且该四棱锥的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，，点E在棱PB上，且，过E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是.6．（2022·江苏·三模）已知向量，与共线且方向相反的单位向量.反思提升：平行向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.(4)非零向量a与eq\f(a,|a|)的关系：eq\f(a,|a|)是与a同方向的单位向量.【考点2】向量的线性运算一、单选题1．（2024·广西·模拟预测）在中，，.若，则（

）A． B． C． D．2．（2024·河北承德·二模）在中，为中点，连接，设为中点，且，则（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知点O为△ABC内的一点，D，E分别是BC，AC的中点，则（

）A．若O为AD中点，则B．若O为AD中点，则C．若O为△ABC的重心，则D．若O为△ABC的外心，且BC＝4，则4．（2024·福建厦门·三模）已知等边的边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则（

）A． B．C． D．三、填空题5．（2023·上海黄浦·三模）在中，，，的平分线交BC于点D，若，则．6．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以直角三角形的斜边为边得到的正方形).类比“赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点在上，，点在内(含边界)一点，若，则的最大值为.反思提升：1.(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.2.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.【考点3】共线向量定理的应用一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知平面上点，，满足，且，点满足，动点满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．1或2．（2024·浙江台州·二模）设，是双曲线：的左、右焦点，点分别在双曲线的左、右两支上，且满足，，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）如图，在等腰梯形ABCD中，，E是BC的中点，连接AE，BD相交于点F，连接CF，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．4．（2024·河南·模拟预测）已知是坐标原点，平面向量，，，且是单位向量，，，则下列结论正确的是（

）A．B．若A，B，C三点共线，则C．若向量与垂直，则的最小值为1D．向量与的夹角正切值的最大值为三、填空题5．（2023·上海黄浦·一模）已知四边形ABCD是平行四边形，若，，，且，则在上的数量投影为.6．（2024·安徽淮北·一模）已知抛物线准线为，焦点为，点，在抛物线上，点在上，满足：，，若，则实数.反思提升：利用共线向量定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共线.(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(4)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.分层检测分层检测【基础篇】一、单选题1．（2024·广东深圳·模拟预测）已知点，，，，则与向量同方向的单位向量为（

）A． B．C． D．2．（2024·河南三门峡·模拟预测）在中，，则（

）A． B．C． D．3．（2024·黑龙江·模拟预测）已知在梯形中，且满足，E为中点，F为线段上靠近点B的三等分点，设，，则（

）．A． B． C． D．4．（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）在中，为上一点，为上任意一点，若，则的最小值是（

）A．4 B．8 C．12 D．16二、多选题5．（22-23高三上·安徽阜阳·期末）在中，已知，，则（

）A． B．C． D．6．（2022·广东深圳·一模）四边形ABCD为边长为1的正方形，M为边CD的中点，则（

）A． B． C． D．7．（2021·全国·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．若为平面向量，，则B．若为平面向量，，则C．若，，则在方向上的投影为D．在中，M是AB的中点，＝3，BN与CM交于点P，＝+，则λ＝2μ三、填空题8．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足，若，则.9．（2024·山西晋城·一模）已知两个单位向量，的夹角为，则与的夹角为．10．（2023·上海徐汇·一模）在中,,且在方向上的数量投影是-2,则的最小值为.四、解答题11．（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）在中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点．(1)分别用向量，表示向量，；(2)若点N满足，证明：B，N，E三点共线．12．（21-22高三下·山西吕梁·开学考试）在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且.(1)求角C；(2)E为三角形ABC所在平面内的一点，，且，求线段CE的长.【能力篇】一、单选题1．（2024·福建漳州·模拟预测）在中，是边上一点，且是的中点，记，则（

）A． B． C． D．二、多选题2．（2022·山东·模拟预测）中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置关系象征着中国共产党领导下的革命与人民大团结．如图，五角星是由五个全等且顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成．已知当时，，则下列结论正确的为（

）A． B．C． D．三、填空题3．（2023·江苏南京·二模）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为正三角形，，，围成的也为正三角形．若为的中点，①与的面积比为；②设，则．四、解答题4．（2020·北京朝阳·二模）已知椭圆的离心率为，且椭圆C经过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程;（Ⅱ）已知过点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与直线交于点Q，设，，求证：为定值．【培优篇】一、单选题1．（2021·浙江金华·三模）半径为1的扇形AOB中，∠AOB=120°，C为弧上的动点，已知，记，则（

）A．若m+n=3，则M的最小值为3B．若m+n=3，则有唯一C点使M取最小值C．若m·n=3，则M的最小值为3D．若m·n