专题23 简单的三角恒等变换-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）解析版

2/2专题23简单的三角恒等变换（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 7【考点1】三角函数式的化简 7【考点2】三角函数求值问题 11【考点3】三角恒等变换的应用 14【分层检测】 19【基础篇】 19【能力篇】 26【培优篇】 30真题自测真题自测一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知，则（

）．A． B． C． D．2．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．3．（2021·全国·高考真题）若，则（

）A． B． C． D．二、解答题4．（2023·北京·高考真题）设函数．(1)若，求的值．(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．条件①：；条件②：；条件③：在区间上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．5．（2021·浙江·高考真题）设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值.参考答案：1．B【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为，而，因此，则，所以.故选：B【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．2．B【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，则，，即为钝角，所以；法二：圆的圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，连接，可得，则，因为且，则，即，解得，即为钝角，则，且为锐角，所以；方法三：圆的圆心，半径，若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为，即，则，整理得，且设两切线斜率分别为，则，可得，所以，即，可得，则，且，则，解得.故选：B.

3．C【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：．故选：C．【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．4．(1).(2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，.【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．【详解】（1）因为所以，因为，所以.（2）因为，所以，所以的最大值为，最小值为.若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；若选条件②：因为在上单调递增，且，所以,所以,,所以，又因为，所以，所以，所以，因为，所以.所以，；若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得最小值，即.以下与条件②相同．5．（1）；（2）.【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1）由辅助角公式得，则，所以该函数的最小正周期;（2）由题意，，由可得，所以当即时，函数取最大值.考点突破考点突破【考点1】三角函数式的化简一、单选题1．（2024·河北承德·二模）函数的图象的对称轴方程为（

）A． B．C． D．2．（2024·江西景德镇·三模）函数在内恰有两个对称中心，，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.若，则（

）A． B． C． D．二、多选题3．（23-24高三下·河南·阶段练习）下列函数中，最小值为1的是（

）A． B．C． D．4．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则（

）A．的值域为 B．为奇函数C．在上单调递减 D．在上有2个零点三、填空题5．（2024·上海嘉定·二模）已知，，则函数的最小值为．6．（2024·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则.参考答案：1．C【分析】利用三角恒等变换得，再根据正弦型函数对称性得到方程，解出即可.【详解】，所以，，解得，故选：C.2．A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在内，第三个对称中心不在内可求得，结合可得，再利用平移变换求出，根据三角变换化简可得，然后由二倍角公式可解.【详解】由得，因为函数在内恰有两个对称中心，所以，解得，又，所以，即，所以，将函数的图象向右平移个单位得到函数，即，因为，所以.故选：A3．BD【分析】对于A选项，把原式转化为二次型函数来求最值；对于B选项，需要用到不等式证明中的代换1法即可；对于C选项，需要把原式中的换成，这样又转化为二次型函数来求最值；对于D选项，遇到绝对值问题用平方思想，把原式化为即可判断.【详解】对于A，，其最小值为，故错误；对于B，，当且仅当，时等号成立，故B正确；对于C．设，，则，所以，当时，，故C错误；对于D，，又，所以当，即，时，，故D正确．故选：BD．4．ACD【分析】首先化简函数的解析式，再根据函数的振幅判断函数的最值，并求函数的解析式，判断函数的性质，求解函数在区间上的零点个数，即可判断选项.【详解】．A．因为，所以，故A正确．B．因为，所以，是偶函数，故B错误．C．由选项可得，由余弦函数的图象可知，在上单调递减，故C正确．D．令，则，所以．令，可得，又，所以或，所以在上有2个零点，故D正确．故选：ACD5．【分析】令，可求t的范围，利用同角的基本关系对已知函数化简计算，结合函数的单调性即可求解.【详解】由题意知，，令，由，得，所以，则.由，得，所以，则原函数可化为，又函数在上单调递增，所以在上单调递增，故当时，取得最大值，此时取得最小值.故答案为：6．【分析】将已知条件切化弦，然后结合两角和的正弦公式、正余弦定理，将等量关系转化为，，间的关系，则问题可解.【详解】，由余弦定理有：，又，所以原式.故答案为：反思提升：1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.【考点2】三角函数求值问题一、单选题1．（2023·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（

）A． B． C． D．2．（2024·四川眉山·三模）已知，则（

）A． B． C． D．二、多选题3．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）下列代数式的值为的是（

）A． B．C． D．4．（2021·江苏南通·一模）下列命题中是真命题的有（

）A．存在，，使B．在中，若，则是等腰三角形C．在中，“”是“”的充要条件D．在中，若，则的值为或三、填空题5．（2023·福建三明·三模）在平面直角坐标系中，、、，当时.写出的一个值为.6．（21-22高一下·上海浦东新·阶段练习）已知，且，求的值为．参考答案：1．B【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可化简所求代数式.【详解】原式.故选：B.2．A【分析】先根据平方关系求出，再根据结合两角差的正弦公式即可得解.【详解】因为，所以，有，所以.故选；A.3．BCD【分析】利用二倍角的余弦公式可判断A选项；利用切化弦以及二倍角的正弦公式可判断B选项；利用二倍角的正弦公式可判断CD选项.【详解】对于A选项，；对于B选项，；对于C选项，；对于D选项，.故选：BCD.4．AC【分析】赋值法可以判断A选项；在中根据正弦值相等，可得两角相等或者互补可判断B选项；根据正弦定理可判断选项C；先由，求得，再由，结合大角对大边求得，最后根据求值即可判断选项D.【详解】对于A，当时，正确；对于B，由可得或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，错误；对于C，(其中是外接圆的半径)，正确；对于D，因为，，所以.因为，所以由正弦定理得，从而.又因为，所以，从而，错误；故选：AC.【点睛】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．5．（满足或的其中一值）【分析】利用平面向量数量的坐标运算结合两角和的正弦公式可得出，求出的值，即可得解.【详解】由题意可得，，所以，，同理可得，则，所以，或，解得或，故答案为：（满足或的其中一值）.6．/【分析】注意到，利用诱导公式和两角和的正弦公式求解，注意范围的确定.【详解】，则，注意到，于是，不妨记，于是，而，于是（负值舍去），又，则（正值舍去），于是计算可得：，而，于是.故答案为：.反思提升：1.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.2.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.3.给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，选正、余弦皆可；(2)若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦较好.【考点3】三角恒等变换的应用一、单选题1．（2024·河北·模拟预测）函数在区间内所有零点的和为（

）A．0 B． C． D．二、多选题2．（21-22高一下·福建厦门·期中）已知对任意角，均有公式.设△ABC的内角A，B，C满足.面积S满足.记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列式子一定成立的是(

)A． B．C． D．3．（20-21高三上·福建莆田·期中）对于三角形ABC，有如下判断，其中正确的判断是（

）A．若sin2A＋sin2B＜sin2C，则三角形ABC是钝角三角形B．若A＞B，则sinA＞sinBC．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的三角形ABC有两个D．若三角形ABC为斜三角形，则三、填空题4．（2022·浙江·模拟预测）在中，，点D，E分别在线段上，，°，则，的面积等于．5．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）在中，已知，则，．6．（2022·浙江·模拟预测）如图，在中，，，，，则，.参考答案：1．B【分析】利用和角的余弦公式及二倍角公式化简函数，由零点意义求得或，再借助正余弦函数图象性质求解即得.【详解】依题意，，由，得或或（不符合题意，舍去），函数是偶函数，在上的所有零点关于数0对称，它们的和为0，正弦函数的周期为，方程在的两根和为，在上的两根和为，因此在上的两根和构成首项为，末项为的等差数列，共有项，所有根的和为.故选：B2．CD【分析】结合已知对进行变形化简即可得的值，从而判断A；根据正弦定理和三角形面积，借助于△ABC外接圆半径R可求的范围，从而判断B；根据的值，结合△ABC外接圆半径R即可求abc的范围，从而判断C；利用三角形两边之和大于第三边可得，从而判断D﹒【详解】∵△ABC的内角A、B、C满足，∴，即，∴，由题可知，，∴，∴∴，∴有，故A错误；设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可知，，∴，∴，∴，故B错误；，故C正确；，故D正确．故选：CD．3．ABD【解析】对于A，先利用正弦定理转化为边之间的关系，再利用余弦定理可判断三角形的角的大小；对于B，由三角形中大角对大边，再结合正弦定理判断；对于C，利用余弦定理求解即可；对于D，利用三角函数恒等变换公式判断【详解】对于A，因为sin2A＋sin2B＜sin2C，所以由正弦定理得，所以，所以为钝角，所以三角形ABC是钝角三角形，所以A正确；对于B，因为A＞B，所以，所以由正弦定理得sinA＞sinB，所以B正确；对于C，由余弦定理得，，所以，所以符合条件的三角形ABC有一个，所以C错误；对于D，因为，所以因为，所以，所以，所以D正确，故选：ABD4．；.【分析】在中，利用正弦定理求得和，再利用三角形面积公式直接求出的面积.【详解】在中，，点D，E分别在线段上，，所以，.因为，所以，所以，.在中，,，,.由正弦定理得：,即.因为，所以..所以的面积为.故答案为：；.5．【分析】先由正弦定理及三角公式求出；利用余弦定理求出.【详解】由正弦定理可知，，整理化简可得：.因为所以为钝角，为锐角.因为，解得：.由余弦定理得：，解得：或.因为为钝角，所以，所以.故（舍去）.故答案为：6．【分析】由，利用三角公式求出；利用正弦定理直接求出BD.【详解】因为，所以，所以.因为，所以，所以，又为锐角，所以.在中，，，，由正弦定理得：，即,解得：.故答案为：；反思提升：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.分层检测分层检测【基础篇】一、单选题1．（2024·江西南昌·二模）已知，则（

）A． B． C． D．2．（2024·河南三门峡·模拟预测）若，则的值为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·模拟预测）若，则（

）A．5 B． C．2 D．44．（2023·陕西·一模）在中,如果,那么的形状为（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定二、多选题5．（2024·浙江·二模）关于函数，下列说法正确的是（

）A．最小正周期为 B．关于点中心对称C．最大值为 D．在区间上单调递减6．（23-24高三下·广西·开学考试）关于函数有下述四个结论，其中结论正确的是（

）A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．的图象关于点对称D．在上单调递增7．（2023·河南·模拟预测）设函数，且相邻两条对称轴之间的距离为，，，则（

）A．，B．在区间上单调递增C．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称D．当时，函数取得最大值三、填空题8．（2024·山西晋城·二模）已知，，则．9．（2023·山西朔州·模拟预测）已知为锐角，且，则.10．（20-21高三上·天津滨海新·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，若，则的形状为.四、解答题11．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数．(1)求函数的单调递增区间；(2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，求的面积．12．（2021·辽宁朝阳·二模）在①；②；③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，______，______？若三角形存在，求的值；若不存在，说明理由．参考答案：1．D【分析】利用余弦的和角公式化简得，再根据二倍角公式及诱导公式计算即可.【详解】由已知知：，化简得，令，则，，所以.故选：D2．A【分析】由倍角公式可得，根据题意结合齐次式问题分析求解.【详解】由题意可得：.故选：A.3．A【分析】先求得，然后根据同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等知识求得正确答案.【详解】，所以，则，所以故选：A4．D【分析】将写为,将写为,代入题中式子,展开化简,即可得均为锐角,但无法确定大小,由此选出结果.【详解】解:由题知,因为中,所以,故,即均为锐角,但无法确定大小,故的形状不能确定.故选:D5．BC【分析】首先化简函数的解析式，再根据三角函数的性质，判断选项.【详解】，，函数的最小正周期，故A错误；，所以函数图象关于点中心对称，故B正确；，所以函数的最大值为，故C正确；由，，函数在区间单调递增，所以函数在区间上单调递增，故D错误.故选：BC6．BCD【分析】根据三角恒等变换可得，即可代入验证求解对称轴以及对称中心，利用整体法即可判断D，根据周期公式即可求解A.【详解】，对于A，的最小正周期为，故A错误，对于B,,故的图象关于直线对称，B正确，对于C，，故的图象关于点对称，C正确，对于D，时，，故在上单调递增，D正确，故选：BCD7．CD【分析】先把化成的形式，结合两对称轴之间的距离为，求出周期，进而确定的值，在根据三角函数的性质进行判断.【详解】因为，因为相邻两条对称轴之间的距离为，所以其最小正周期为，所以；又，所以，即，所以，故A错误；对于B，令，得，所以的单调递增区间为，显然不是其子集，故B错误；对于C，平移后得到图象的函数解析式为，为偶函数，故其图象关于轴对称，故C正确；对于D，因为，当，即时取得最大值，故D正确.故选:CD8．【分析】由切化弦可得，结合两角和差公式分析求解.【详解】因为，即，可得，又因为，可得，所以.故答案为：.9．【分析】利用两角和的正弦公式化简得到，利用辅助角公式得到，即可求出，从而得解.【详解】因为，，又，所以，所以，即，因为为锐角，所以，所以，所以，即.故答案为：10．直角三角形【分析】利用正弦定理边角互化思想求得的值，可求得角的值，进而可判断出的形状.【详解】，由正弦定理得，即，，则，，，.因此，为直角三角形.故答案为：直角三角形.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想判断三角形的形状，考查计算能力，属于基础题.11．(1)(2)或【分析】（1）利用诱导公式和辅助角公式得到，整体法求出函数单调递增区间；（2）根据求出，由诱导公式得到或，分两种情况，结合三角形面积公式求出答案.【详解】（1）因为令，解得，所以的单调递增区间为．（2）由（1）可得，所以，因为，所以，所以，故，因为，且，所以，解得或，经检验，均符合要求，当时，，当时，．12．答案不唯一，具体见解析【分析】①根据平方差公式将其进行化简，并结合余弦定理，可得；③结合同角三角函数的平方关系、二倍角公式，可得;选择①②，结合，与两角和差公式化简条件②，推出，再由正弦定理，得解;选择①③，根据特殊直角三角形的边长比例关系，得解；选择②③，结合、三角形的内角和定理与诱导公式，推出，从而得解．【详解】①∵，即，∴，由余弦定理知，，∵，∴．③∵，∴，即，∵，∴，∴，即．选择①②：由上知，∵，∴，即，∴，∵，∴，由正弦定理知，，∴，∴．选择①③：，∵，∴．选择②③：由上知，∵，∴，即，∴．【能力篇】一、单选题1．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，若，则直线与的图象的交点个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、多选题2．（2020高三下·山东·学业考试）下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．“，”的否定是“，”D．将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称三、填空题3．（2021·北京海淀·模拟预测）若实数，满足方程组，则的一个值是.四、解答题4．（2024·河北·模拟预测）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．问题：设的内角，，的对边分别为，，，且，，______.(1)求；(2)求的周长.注：若选择条件①、条件②分别解答，则按第一个解答计分.参考答案：1．C【分析】先将函数化简得，再结合以及的任意性求出的值，从而求出的解析式，再数形结合探究即可得出结果.【详解】由题，由知，所以，解得，所以.对于，令，得；令，得，故直线经过点与点.易知的图象也过点与点，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象与直线，如图所示：结合图象可知的图象与直线恰有5个交点，故选：C.2．BC【解析】根据齐次式计算，错误，，正确，特称命题的否定是全称命题，正确，平移后得到偶函数，错误，得到答案.【详解】，则，故错误；，则，正确；根据特称命题的否定是全称命题：“，”的否定是“，”，故正确；将函数的图象向左平移个单位长度，得到为偶函数，故错误.故选：.【点睛】本题考查了齐次式求值，函数取值范围，命题的否定，函数平移和奇偶性，意在考查学生的综合应用能力.3．（满足或的值均可）【分析】直接利用三角函数关系式的变换的应用求出结果．【详解】解：实数，满足方程组，则，由于，所以，则；所以，整理得，所以或，即得或.故可以取时，．故答案为：（满足或的值均可）4．(1)(2)【分析】（1）由三角形中，代入已知化简得出，