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文档简介
数学归纳法
课前自主学习,基稳才能楼高
预习课本P92〜95,思索并完成以下问题
⑴数学归纳法的概念是什么?适用范围是什么?
(2)数学归纳法的证题步骤是什么?
[新加初探]
1.数学归纳法的定义
一般地,证明一个与正整数〃有关的命题,可按以下步骤进行
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从〃o开头的全部正整数”都成立.这种证明
方法叫做数学归纳法.
2.数学归纳法的框图表示
验证”=780时命题若”=m)时命题成立,
成立证明”=人+1时命题也成立
归纳奠基归纳递推
命题对从出开始所有
的正整数"都成立
[点睛]数学归纳法证题的三个关键点
(1)验证是根底
数学归纳法的原理说明:第一个步骤是要找一个数”0,这个〃0,就是我们要证明的命
题对象对应的最小自然数,这个自然数并不肯定都是"1",因此“找准起点,奠基要稳"
是第一个关键点.
(2)递推是关键
数学归纳法的实质在于递推,所以从“/到'”+1〃的过程中,要正确分析式子项数
的变化.关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由〃=A到"=肚+1时,等式的两边会增加
多少项,增加怎样的项.
(3)利用假设是核心
在其次步证明〃=A+1成立时,肯定要利用归纳假设,即必需把归纳假设“〃=A时命
题成立"作为条件来导出“〃=A+1”,在书写HA+1)时,肯定要把包含犬&)的式子写出来,
尤其是大6中的最终一项,这是数学归纳法的核心.不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.
1.推断(正确的打“,错误的打"X")
(1)与正整数”有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.()
(2)数学归纳法的第一步no的初始值肯定为1.()
(3)数学归纳法的两个步骤缺一不行.()
答案:⑴X(2)X(3)7
2.假设大--卜那么”=1时,A")=()
A.13
C.l+l+lD.以上答案均不正确
答案:c
3,八〃)=1+;+"…+%〃GN*),计算得彤)=去刎>2,八8)冶,川6)>3,-32)
7
〉5,由此推想,当〃>2时,有.
田金〃+2
答案:y(2n)>—
字课堂讲练设计,举一能通类题
题型一用数学归纳法证明等式
[典例]求证:1一:+;一:+・“+/一5=率+率+・“+土(〃6^.
[证明]⑴当n=l时,左边=1-3=/
右边=[_!_[=左边=右边.
1i-1/
(2)假设”=-4,1,左GN*)时等式成立,即1—;+:—:■)---^2lc-l~2k=H+i+li+2
那么当n=k+l时,
(T+;一丹…2^+(lk+l~2k+2)
i+S+Q+r-2什2)
~\k+i^k+2
1,1,,1.1
k+2k+32k+l2k+2'
即当〃=«+l时,等式也成立.
综合(1),(2)可知,对一切“GN*,等式成立.
用数学归纳法证明恒等式应留意的三点
用数学归纳法证明恒等式时,一是弄清“取第一个值〃。时等式两端项的状况;二是弄
清从"=a到〃=a+i等式两端增加了哪些项,削减了哪些项;三是证明〃=A+I时结论也
成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝〃=4+1证明目标的表达式变形.
[活学活用]
用数学归纳法证明12+32+52+-+(2n-1)2=l)(nGNs).
证明:①当”=1时,左边=P,右边=;X1X(4X12—i)=i,
左边=右边,等式成立.
②假设当n=k(k?l,JIGN*)时,等式成立,
即l2+32+52H------K2*-l)2=1*(4Jl2-l),
那么当n=k+i时,
l2+32+5H------F(2*-1)2+(2A+1)2
=^k(4k2-l)+(2k+l)2
=;做2«+1)(2*-1)+(2*+1)2
=|(2Jt+l)[k(2k-1)+3(2k+1)]
=;(24+1)(2尸+54+3)
=§(2A+l)(A+l)(2A+3)
=;(«+l)(4a2+8A+3)
=|(*+1)[4(*+1)2-1],
即当〃=4+1时,等式成立.
由①②可知,对一切〃£N*等式成立.
题型二"用数学归纳法证明不等式
[典例]求证:系+出+兴+.“+=温(心2,〃GN*)
[证明]⑴当n=l时,不等式成立.
⑵假设当n=k(k>2,AGN")时,命题成立.
即露+出+…+壶吟
那么当n=k+l时'.+1)+1+/+1)+2+…+显+34+1+34+2+3/+1)=^^+
I+2-1h3i+〔3&+1+3A+2+3A+3-ITT〕〔3卜+1+3J1+2+3&+3-IT7)>
§+3x^______U=$
6十,3#+3A+「6
所以当〃=A+1时,不等式也成立.
由(1)(2)可知,原不等式对一切〃22,都成立.
用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点
关键验证第1个〃的取值时,要留意〃。不肯定为1,假设条件为〃〉A,那么〃o
点一=k+l
关键证明不等式的其次步中,从"=«到"=«+1的推导过程中,肯定要应用归
点二纳假设,不应用归纳假设的证明不是数学归纳法,由于缺少“归纳递推〃
关键应用归纳假设后,假设证明方法不明确,可采纳分析法证明n=k+l时也
点三成立,这样既易于找到证明的突破口,又完整表达了证明过程
关键证明〃=A+1成立时,应加强目标意识,即要证明的不等式是什么,目标明
点四确了,要依据不等号的方向适当放缩,但不行“放得过大”或"缩得过小”
[活学活用]
二n>2,
求证:1+方+宝+古>际
证明:⑴当"=3时,左边=1+右+去,右边=、3+1=2,左边,右边,不等式成
立.
⑵假设当„=*(*£N*,«23)时,不等式成立,
即1+方脸+…+^>g
当"=k+l时,
1+全+排…+笈+志>河+点
^+1+1k+2
yjk+1y/k+1*
由于描>岸=后=m+1)+1,
所以i+全+全+…+扣志X("+D+L
所以当“=A+1时,不等式也成立.
由(1),(2)知对一切"GN*,">2,不等式恒成立.
题型三归纳一猜测一证明
[典例]数列{“}中,S〃是{%}的前〃项和且S〃是2a与一2〃斯的等差中项,其中。是
不为0的常数.
(1)求〃1,。3・
(2)猜测斯的表达式,并用数学归纳法进行证明.
[解](1)由题意知Sn=a—nall9
当〃=1时,Si=ai=a—a\9解得〃尸名
当〃=2时,§2=。1+。2=。—2。2,解得42=》
当〃=3时,§3=〃1+。2+的=。—3的,解得的=*
(2)猜测:%="(〃3)("GN*)
证明:①当〃=1时,由⑴知等式成立.
②假设当〃=%仅21,A£N*)时等式成立,
即ak=k(4zy那么当"=A+1时,
“A+I=SA+I-SA=。-(4+1)四+1—3一左绿),
所以四+1=/+l)(A+2)=/+1)[(A+1)+仃
即当n=k~\~\时,等式成立.
结合①②得呢=(对任意"GN*均成立.
(1)“归纳TS测一证明"的一般环节
(2)“归纳―猜测—证明"的主要题型
①数列的递推公式,求通项或前“项和.
②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在.
③给出一些简洁的命题("=1,2,3,…),猜测并证明对任意正整数〃都成立的一般性命
题.
[活学活用]
1
数列{跖}中,ai=ba2=i且%+i=也三M(〃22),求内,四,猜测时的表达式,并
qndll
加以证明.
解:
(n-l)an
且斯+i=-A(〃/2),
猜测:
371-2
下面用数学归纳法证明猜测正确.
(1)当"=1,2易知猜测正确.
(2)假设当n=k(k》2,AWN*)时猜测正确,
即dk=T7_当"=4+1时,ak+i—^~7~~
3K—2k—ak
]k—1
(”-D3A-23k—2_______k-l
=]—=3A22AT=3A2_2H
3—23A—2
_____kT________1________]
=(3A+1)(L1)=3%+1=3(%+1)—2
:.n=k+l时猜测也正确.
由(1)(2)可知,猜测对任意“GN*都正确.
课后层级训练,步步提升能力
层级一学业水平达标
1.设八〃)=1+;+!H-----FT-377(/IGN*),那么人"+1)一人〃)等于(
A'3n+218•五+3"+1
11111
C・3〃+l+3"+20•五+3"+1十3"+2
解析:选D要留意末项与首项,所以1〃+1)-/1〃)=*+五上+票5
2.设5&=不互+南工^2k'那么Sk+\为()
A-Sk+2k+2B-Sk+2k+l+2k+2
CSk+2k+l~2k+2D-Sk+2k+2~2k+l
解析:选C因式子右边各分数的分母是连续正整数,那么由S*=±+士+…+♦,
KI1KI乙乙K
①
得SHI=后工+北苗"1]"2k+2k+l+2(k+iy®
由②一①'得S"+LSA=2&+]+2(A+I)一^7
=2«+1-2(A+1)•故Sk+1=S*+2Jt+l_2(Jl+iy
3.一个与正整数〃有关的命题,当n=2时命题成立,且由"=k时命题成立可以推
得"=A+2时命题也成立,那么()
A.该命题对于〃>2的自然数〃都成立
B.该命题对于全部的正偶数都成立
C.该命题何时成立与A取值无关
D.以上答案都不对
解析:选B由"=A时命题成立可推出"=«+2时命题也成立,又〃=2时命题成立,
依据逆推关系,该命题对于全部的正偶数都成立,应选B.
4.对于不等式"i工V〃+l(〃eN*),某同学用数学归纳法的证明过程如下:
(1)当”=1时,^/12+1<1+1,不等式成立.
⑵假设当〃=A(AGN*)时,不等式成立,即yjk2+k<k+l,那么当"=A+1时,
、(《+1)2+(4+1)=、N+3A+2VM(A2+3A+2)+A+2=、(4+2)2=优+1)+1,
.•.”=«+1时,不等式成立,那么上述证法()
A.过程全部正确
B.”=1验得不正确
C.归纳假设不正确
D.从n=k到”=«+1的推理不正确
解析:选D在〃=A+1时,没有应用"=«时的归纳假设,应选D.
5.设加)=5"+2X3"-i+l(〃GN*),假设加)能被,"(,”GN*)整除,那么切的最大值为
()
A.2B.4
C.8D.16
解析:选C")=8,彤)=32,43)=144=8X18,猜测机的最大值为8.
6.用数学归纳法证明”对于足够大的自然数“,总有2">〃3"时,验证第一步不等式
成立所取的第一个值最小应当是.
解析:V210=l024>1032*B.9=512<93,二”。最小应为10.
答案:10
7.用数学归纳法证明*+*+…+符严>;一去,假设〃=A时,不等式成立,那
么当n=k+i时,应推证的目标不等式是.
解析:观看不等式中分母的变化便知.
答案:丞+方h(*+l)2+(*+2)2>2-it+3
8.用数学归纳法证明(”+1)(〃+2)“…(n+n)=2nXlX3X-X(2n-l)(neN*),“从k
到A+l〃左端增乘的代数式为.
解析:令人〃)=(〃+1)(〃+2)5+〃),
那么大行=优+1)・(4+2)•♦…(*+*),
/(*+1)=(*+2)(*+3)…“(*+*)(2*+1)(2*+2),
.必+1)(2A+l)(2/+2)
=2(2*+1).
••阚A+1
答案:2(2fc+1)
9./iGN,\求证13—2。3:+…+(2/i—l>(2/i)2—2/r(2”+l)2=—H(/I+1)(4"+3).
证明:(1)当〃=1时,左边=4-18=-14=-1X2X7=右边.
⑵假设当"=A(AWN*,无。1)时成立,即1-22—2-32+--+(2Jl-1)-(2*)2—2*-(2*+1)2=
一碎+1)(4%+3).
那么当n=k+\时,
122-2・32+…+(2A-1>(2A)2-2A-(2A+1)2+(2A+D(2A+2)2-(2A+2)・(2A+3)2
=一献A+l)(4«+3)+(2A+2)[(2k+l)(2k+2)-(2k+3)2]
=一做4+1)(44+3)+2优+1)・(一64一7)=一优+1)/+2)(4«+7)
=-(*+1)•[(*+1)+1][4(*4-1)+3],
即当n=k+l时成立.
由(1)(2)可知,对一切"GN*结论成立.
10.观看以下等式:
1=1»
2+3+4=9,
3+4+5+6+7=25,
4+5+6+7+8+9+10=49.
照此规律下去:
(1)写出第五个等式;
(2)你能作出什么一般性的猜测?请用数学归纳法证明猜测.
解:⑴第5个等式为5+6+7H----1-13=81.
(2)猜测第"个等式为
"+(〃+1)+(〃+2)+…+(3〃-2)=(2"-1户,
用数学归纳法证明如下:
①当"=1时明显成立;
②假设“=/优》1,AGN*)时也成立,
即A+优+1)+优+2)H----1"(34一2)=(24—1产,
那么当n=k+l时,左边=(A+1)+(A+2)H------H3«-2)+(3«-l)+3A+(3A+l)=&2
+l-5A+(3*-l)4-3Jt+(3Jt+l)=4*2+4*+l=[2(l!r+l)-l]2,
而右边=[2(k+l)—Ip,
这就是说"=k+l时等式也成立.
依据①②知,等式对任何“GN*都成立.
层级二应试力量达标
“边形有./I")条对角线,那么凸"+1边形对角线的条数八〃+1)为()
A.犬")+〃+1B.f(n)+n
C.1/(")+〃一1D.加)+“-2
解析:选C增加一个顶点,就增加〃+1—3条对角线,另外原来的一边也变成了对
角线,故人"+1)=/5)+1+"+1—3=75)+〃一1.故应选C.
2.用数学归纳法证明"当”为正奇数时,炉+y"能被x+y整除"的其次步是()
A.假设"=2&+1时正确,再推〃=2&+3正确
B.假设”=2A—1时正确,再推〃=24+1正确
C.假设〃=&时正确,再推"=&+1正确
D.假设〃WA/21),再推〃=A+2时正确(以上ACN*)
解析:选B由于“为正奇数,据数学归纳法证题步骤,其次步应先假设第左个正奇
数也成立,此题即假设n=2k-l正确,再推第(A+1)个正奇数即〃=2«+1正确.
3.用数学归纳法证明P+22+…+(〃-1)2+〃2+(“一1)2+―+22+12=也誓±11时,
由"=&的假设到证明〃=«+1时,等式左边应添加的式子是()
A.(*+1)2+2*2B.(k+l)2+k2
C.(*+1)2D.1(JH-l)[2(fc+l)2+l]
解析:选B依据等式左边的特点,各数是先递增再递减,
由于n=k时,左边=了+22+…+(«—1)2+«2+优一1产+…+22+12,
22
n=k+l时,左边=0+22+…+(4一1)2+公+(士+I)2+R+(士—])2_1-------1-2+1,
比拟两式,从而等式左边应添加的式子是优+1产+炉.
4.设平面内有A条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设A条直线的交点
个数为人幻,那么八《+1)与大6的关系是()
A.f(k+l)=J(k)+k+l
B.j(k+l)=fik)+k-i
C.fik+l)=J(k)+k
D.fik+l)=J(k)+k+2
解析:选C当〃=A+1时,任取其中1条直线记为/,那么除/外的其他A条直线的
交点的个数为人幻,由于任何两条直线不平行,所以直线/必与平面内其他左条直线都相交
(有A个交点);又由于任何三条直线不过同一点,所以上面的A个交点两两不相同,且与平
面内其他的,外幻个交点也两两不相同,从而n=k+l时交点的个数是加1)+#=44+1).
5.用数学归纳法证明42"+1+3"+2能被13整除,其中〃GN*,那么当〃=«+1时式子
应当整理成.
解析:当〃=&+1时,42",+3*+3
=4/+1.42+3/2.3—42*+卜3+42&+|-3
=4比工13+3・(4%+1+3仆2).
答案:42*+1・13+3・(4乂+1+3〃+2)
6.用数学归纳法证明1+2+22+…+2"r=2"-l(〃GN*)的过程如下:
①当"=1时,左边=2。=1,右边=21—1=1,等式成立.
②假设〃=«他21,且AGN*)时,等式成立,即
l+2+22H----F2*r=2*-1.
1—2卜+1
那么当〃=4+1时,1+2+2?+…+24一】+2A
1—2
所以当〃=a+1时,等式也成立.
由①②知,对任意"GN*,等式成立.
上述证明中的错误是.
解析:由证明过程知,在证从"=么到"=4+1时,直接用的等比数列前"项和公式,
没有用上归纳假设,因此证明是错误的.
答案:没有用归纳假设
7.用数学归纳法证明1+3<1+;+;+…+今W*+〃(〃GN*).
313
证明:⑴当〃=1时,5WI+5W5,命题成立.
⑵假设当〃=A(A£N")时命题成立,即----
那么当〃=#+1时,
1+渭+…+*+#[+忌1+…+寻对1+**=1+与1.
又1+5+3^*-2*-*-2H-l'*'2H-2'*卜2"+2*<5+"+2"•丞=£+(&+口,
即〃=&+1时,命题成立.
由(1)和(2)可知,命题对全部〃WN*都成立.
8.某数列的第一项为1,并且对全部的自然数〃》2,数列的前〃项之积为〃2.
(1)写出这个数列的前5项;
(2)写出这个数列的通项公式并加以证明.
解:(1)〃]=1,由题意,得。1口2=22,«2=22.
32
*/«1*«2,«3==32,.•・的=中・
4252
同理,可得〃4=],恁=不・
因此这个数列的前5项分别为1,4,,y,器.
(2)观看这个数列的前5项,猜测数列的通项公式应为:
1("=1),
a„—
(〃一1)2("必
〃2
下面用数学归纳法证明当〃,2时,〃〃=;一~
(71-I)2
22
①当11=2时,。2="_[、2=22,结论成立.
—1;
②假设当〃=左(左22,左£N*)时,结论成立,
k?
即『记守
:41也2......ak-\=(k—l)2,
2
avaz...ak-vak-ak+i=(A+l),
.(&+l)2_伏+1)2(&-1)2_(&+1)2(A+l)2
ak+'(arai...(k-I)2k2k2[(Ar+l)—I]2,
这就是说当n=k+l时,结论也成立.
依据①②可知,当"22时,这个数列的通项公式是
n2
%=("T)2,
...这个数列的通项公式为
1("=1),
n
初》2).
.("一1>
••忽M>阶段质量捡测(二)推理与证明
(时间:120分钟总分值:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有
一项为哪一项符合题目要求的)
1.依据偶函数定义可推得“函数八X)=*2在R上是偶函数〃的推理过程是()
A.归纳推理B.类比推理
C.演绎推理D.非以上答案
解析:选C依据演绎推理的定义知,推理过程是演绎推理,应选C.
2.自然数是整数,4是自然数,所以4是整数.以上三段论推理()
A.正确
B.推理形式不正确
C.两个“自然数”概念不全都
D.“两个整数〃概念不全都
解析:选A三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的.
3.以下推理正确的选项是()
A.把a(Z>+c)与log“(x+y)类比,那么有logf,(x+j)=logflx+logaj
B.把a(6+c)与sin(x+y)类比,那么有sin(x+y)=sinx+siny
C.把”S+c)与/+>类比,那么有/+>=北+於
D.把(a+Z»)+c与(xy)z类比,那么有(孙)z=x(yz)
解析:选D(盯)z=x(yz)是乘法的结合律,正确.
4.求证:yf2+y[3>y[5.
证明:由于也十小和小都是正数,
所以为了证明啦+#邛,
只需证明(啦+小)2>(小)2,绽开得5+2巡>5,
即2、佝>0,此式明显成立,所以不等式啦+#邛成立.
上述证明过程应用了()
A.综合法B.分析法
C.综合法、分析法协作使用D.间接证法
解析:选B证明过程中的“为了证明……”,“只需证明……”这样的语句是分析
法所特有的,是分析法的证明模式.
5.利用数学归纳法证明不等式1+;+;+…"GN*)的过程中,由〃
=4变到"=A+1时,左边增加了()
A.1项B.A项
C.2门项D.2"项
解析:选D当n=k时,不等式左边的最终一,项为[,而当"=«+1时,最终一,
项为2*+:_I=2&_;+2&,并且不等式左边和式的分母的变化规律是每一项比前一项加1,
故增加了2*项.
6.三角形的面积为S=;(a+b+c)-r,其中a,b,c为三角形三边长,r为三角形内切
圆半径,利用类比推理,可以得出四周体的体积为()
A.V=^abcB.V=§Sh
C.V=j(Si+S2+S3)rD.V=^(ah+bc+ac)h
解析:选C从平面到空间类比,三角形面积与四周体体积类比,三角形内切圆与四
周体内切球类比,三角形的边长与四周体各面的面积类比,故得答案C.
7.假设数列{%}是等比数列,那么数歹U{%+%+i}()
A.肯定是等比数列
B.肯定是等差数列
C.可能是等比数列也可能是等差数列
D.肯定不是等比数列
解析:选C设等比数列{%}的公比为q,那么a“+a"+i=a“(l+g)....当qW-l时,
{斯+为+i}肯定是等比数列;
当q=-1时,。“+。〃+1=0,此时为等差数列.
8.a+b+c=O,那么ab+bc+ca的值()
A.大于0B.小于0
C.不小于0D.不大于0
解析:选D法一:方+c=0,a2+b2+c2+lab+lac+2bc=0,:・ab+ac+bc
法二:令c=0,假设力=0,那么ab+bc+ac=0,否那么叫》异号,/.
ab<0f排解A、B、C,选D.
9.1+2X3+3X32+4X33+…+〃乂3〃-1=3〃50—6)+。对一切〃£年都成立,那么a,
b,c的值为()
1,11
A.Q=5,b=c=4B.a=b=c=~^
C.a=0,b=c=;D.不存在这样的a,b9c
解析:选A令〃=1,2,3,
(3(a—b)+c=l,
得{9(2a_b)+c=7,
127(3a-b)+c=34.
所以a=;,力=c=:.
10.数列{%}的前〃项和S“,且ai=l,S"=〃2%(〃GN*),可归纳猜测出S,的表达式为
()
3n-l
•S产帝Sn=n+1
2n+l2〃
CSn=Sn=
-n+2〃+2
1411
解析:选A由句=1,得4]+。2=22。2,S2=y又1+§+43=32。3,•,•a3=彳,
c36
$3=5=4;
][18
又1+§+石+。4=16〃4,得“4=诬,S4=g.
由S1号,S2=1,S3=1,S4=*可以猜测s〃=点]
3
11.f(x)=x+x9假设a,b,c£R,且a+历>0,a+c>0,ft+c>0,那么{a)+/l»)+/(c)
的值()
A.肯定大于0B.肯定等于0
C.肯定小于0D.正负都有可能
解析:选AV/(x)=3x2+l>0,・"a)在R上是增函数.又a+力>0,:.a>-b,:.
又八幻=3+”是奇函数,.7/(〃)>一大力),即八〃)+/(力)>0.同理,人力)+人。)>0,4。)
+武。)>0,:.f(a)+f(b)+f(c)>Of应选A.
12.下面的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的.
1
1
11
~2~2
±±±
~3~3
1_1_1_
412124
J__1_J_X_1_
52030205
第〃行有〃个数且两端的数均为[〃,2),每个数是它下一行左右相邻两数的和,如:=
;=;+1,;=1+*,…,那么第1。行第4个数(从左往右数)为()
A,
A.360n,504
c-i-D,
v-840l,l260
解析:选C依题意,结合所给的数阵,归纳规律可知第8行的第一个数、其次个数
分别等于另一上,第9行的第一个数、其次个数、第三个数分别等于暴一女€一§一0一3,
第10行的第一个数、其次个数、第三个数、第四个数分别等于一玄,(;—/)一6―古),
[€-*0-圳-层-?-G一哥代
二、填空题(本大题共4小题,每题5分,总分值20分.把答案填在题中的横线上)
13.x,jGR,且x+y<2,那么x,y中至多有一个大于1,在用反证法证明时,假设
应为•
解析:“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”,故其对立面
为“x,y都大于1〃.
答案:X,’都大于1
14.a>0,Z»0,n=\Q^a^—,那么m,n的大小关系是.
解析:ab>^=^\[ab>d^a+b+2y[ab>a+fe=>
(y[a+y[b)2>(yja+b)2=^\[a+y[h>\la+b=^
W+福〉、一]也〉]\a+b
2222
答案:"?>"
15.观看以下等式:
(1+1)=2X1,
(2+l)(2+2)=22XlX3,
(3+l)(3+2)(3+3)=23X1X3X5.
照此规律,第〃个等式为
解析:从给出的规律可看出,左边的连乘式中,连乘式个数以及每个连乘式中的第一
个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持全都,其中左边连乘式中其次个加数从1开
头,逐项加1递增,右边连乘式中从其次个乘数开头,组成以1为首项,2为公差的等差数
列,项数与第几等式保持全都,那么照此规律,第„个等式可为(〃+1)(〃+2)…”(〃+”)=
2HX1X3X-X(2n-1).
答案:("+1)(〃+2)…“("+")=2"X1X3X…X(2〃-1)
16.现有一个关于平面图形的命题:如图,同一平面内有两个边长都
是a的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,那么这两个正方形重
叠局部的面积恒为f.类比到空间,有两个棱长为a的正方体,其中一个的
某顶点在另一个的中心,那么这两个正方体重叠局部的体积恒为
解析:解法的类比(特别化),易得两个正方体重叠局部的体积为
O
答案叫
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题总分值10分)用综合法或分析法证明:
e,e,a+b、Iga+lgb
⑴假如纵fe>0,那么1g「厂苞-
⑵6+痴>2小+2.
证明:⑴当a,6>0时,有中》版,
a+b、I-
Iga+lgb
..1Q-N51gab=
2
(2)要证加+屈>2巾+2,
只要证(证+亚户>(26+2产,
即2、同>2曲,这是明显成立的,
所以原不等式成立.
18.(本小题总分值12分)如下图,设S4,S3是圆锥5。的两条母线,卜
O是底面圆心,C是S5上一点,求证:AC与平面S05不垂直.\\
证明:假设AC_L平面SO5,//t-A
由于直线SO在平面SOB内,
所以SO2-AC,
由于SOJ-底面圆O,所以S0_LA5.
由于A3riAC=A,所以SOJ■平面SAB.
所以平面SAB〃底面圆0,这明显与平面SA5与底面圆。相交冲突,所以假设不成立,
即AC与平面SQB不垂直.
19.(本小题总分值12分)用数学归纳法证明士+忐n
1.入3S入32/1+1
(〃£N*).
证明:①当〃=1时,左边=[乂
1AJ□
…卜11
右边一2Xl+「»
左边=右边.所以当”=1时等式成立.
②假设当"=k(k>T,AGN*)时等式成立,即
_1_k
1X33X5(2*-l)X(2Jt+l)2k+V
那么当"=4+1时,
左边=TS不+荻T1h(2A-1)X(2k+l)+(2Jt+1)X(2A+3)
=上+---------------
2A+1(2A+l)XQA+3)
_k(2k+3)+l_(2fc+l)(^+l)
=(2A+l)X(2«+3)=(2A+1)X(2fc+3)
&+1,』
-2(A+l)+]一右边.
所以当"=«+1时等式也成立.
依据①和②可知,等式对任何"GN*都成立.
20.(本小题总分值12分)以下推理是否正确?假设不正确,指出错误之处.
(1)求证:四边形的内角和等于360。.
证明:设四边形ABCD是矩形,那么它的四个角都是直角,有NA+N5+NC+NZ)
=90。+90。+90。+90。=360。,所以四边形的内角和为360°.
(2)也和由都是无理数,试证:&+审也是无理数.
证明:依题设必和审都是无理数,而无理数与无理数之和是无理数,所以啦+5必是
无理数.
(3)实数机满意不等式(2机+l)(m+2)<0,用反证法证明:关于x的方程/+2x+5—,/
=0无实根.
证明:假设方程x2+2x+5—»P=o有实根.由实数机满意不等式(2/n+l)(m+2)V0,
解得一2<小<一;,而关于x的方程x2+2x+5-/n2=0的
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