高中数学人教A版选修22讲义第二章数学归纳法

数学归纳法

课前自主学习，基稳才能楼高

预习课本P92〜95,思索并完成以下问题

⑴数学归纳法的概念是什么？适用范围是什么？

(2)数学归纳法的证题步骤是什么？

［新加初探］

1.数学归纳法的定义

一般地，证明一个与正整数〃有关的命题,可按以下步骤进行

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从〃o开头的全部正整数”都成立.这种证明

方法叫做数学归纳法.

2.数学归纳法的框图表示

验证”=780时命题若”=m)时命题成立,

成立证明”=人+1时命题也成立

归纳奠基归纳递推

命题对从出开始所有

的正整数"都成立

［点睛］数学归纳法证题的三个关键点

(1)验证是根底

数学归纳法的原理说明：第一个步骤是要找一个数”0,这个〃0,就是我们要证明的命

题对象对应的最小自然数，这个自然数并不肯定都是"1",因此“找准起点，奠基要稳"

是第一个关键点.

(2)递推是关键

数学归纳法的实质在于递推，所以从“/到'”+1〃的过程中，要正确分析式子项数

的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由〃=A到"=肚+1时，等式的两边会增加

多少项，增加怎样的项.

(3)利用假设是核心

在其次步证明〃=A+1成立时，肯定要利用归纳假设，即必需把归纳假设“〃=A时命

题成立"作为条件来导出“〃=A+1”,在书写HA+1)时，肯定要把包含犬&)的式子写出来,

尤其是大6中的最终一项，这是数学归纳法的核心.不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.

1.推断(正确的打“,错误的打"X")

(1)与正整数”有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.()

(2)数学归纳法的第一步no的初始值肯定为1.()

(3)数学归纳法的两个步骤缺一不行.()

答案：⑴X(2)X(3)7

2.假设大--卜那么”=1时，A")=()

A.13

C.l+l+lD.以上答案均不正确

答案：c

3,八〃)=1+；+"…+%〃GN*),计算得彤)=去刎>2,八8)冶，川6)>3,-32)

7

〉5，由此推想，当〃>2时，有.

田金〃+2

答案：y(2n)>—

字课堂讲练设计，举一能通类题

题型一用数学归纳法证明等式

［典例］求证：1一：+；一：+・“+/一5=率+率+・“+土(〃6^.

［证明］⑴当n=l时，左边=1-3=/

右边=[_!_[=左边=右边.

1i-1/

(2)假设”=-4,1,左GN*)时等式成立，即1—；+：—：■)---^2lc-l~2k=H+i+li+2

那么当n=k+l时，

(T+；一丹…2^+(lk+l~2k+2)

i+S+Q+r-2什2)

~\k+i^k+2

1,1,,1.1

k+2k+32k+l2k+2'

即当〃=«+l时，等式也成立.

综合(1),(2)可知，对一切“GN*,等式成立.

用数学归纳法证明恒等式应留意的三点

用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清“取第一个值〃。时等式两端项的状况；二是弄

清从"=a到〃=a+i等式两端增加了哪些项，削减了哪些项；三是证明〃=A+I时结论也

成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝〃=4+1证明目标的表达式变形.

[活学活用]

用数学归纳法证明12+32+52+-+(2n-1)2=l)(nGNs).

证明：①当”=1时，左边=P,右边=；X1X(4X12—i)=i,

左边=右边，等式成立.

②假设当n=k(k?l,JIGN*)时，等式成立，

即l2+32+52H------K2*-l)2=1*(4Jl2-l),

那么当n=k+i时，

l2+32+5H------F(2*-1)2+(2A+1)2

=^k(4k2-l)+(2k+l)2

=；做2«+1)(2*-1)+(2*+1)2

=|(2Jt+l)[k(2k-1)+3(2k+1)]

=；(24+1)(2尸+54+3)

=§(2A+l)(A+l)(2A+3)

=；(«+l)(4a2+8A+3)

=|(*+1)[4(*+1)2-1],

即当〃=4+1时，等式成立.

由①②可知，对一切〃£N*等式成立.

题型二"用数学归纳法证明不等式

［典例］求证：系+出+兴+.“+=温(心2,〃GN*)

［证明］⑴当n=l时，不等式成立.

⑵假设当n=k(k>2,AGN")时，命题成立.

即露+出+…+壶吟

那么当n=k+l时'.+1)+1+/+1)+2+…+显+34+1+34+2+3/+1)=^^+

I+2-1h3i+〔3&+1+3A+2+3A+3-ITT〕〔3卜+1+3J1+2+3&+3-IT7)>

§+3x^______U=$

6十,3#+3A+「6

所以当〃=A+1时，不等式也成立.

由(1)(2)可知，原不等式对一切〃22,都成立.

用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点

关键验证第1个〃的取值时，要留意〃。不肯定为1,假设条件为〃〉A,那么〃o

点一=k+l

关键证明不等式的其次步中，从"=«到"=«+1的推导过程中，肯定要应用归

点二纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，由于缺少“归纳递推〃

关键应用归纳假设后，假设证明方法不明确，可采纳分析法证明n=k+l时也

点三成立，这样既易于找到证明的突破口，又完整表达了证明过程

关键证明〃=A+1成立时，应加强目标意识，即要证明的不等式是什么，目标明

点四确了，要依据不等号的方向适当放缩，但不行“放得过大”或"缩得过小”

［活学活用］

二n>2,

求证:1+方+宝+古＞际

证明：⑴当"=3时，左边=1+右+去,右边=、3+1=2,左边,右边，不等式成

立.

⑵假设当„=*(*£N*,«23)时，不等式成立，

即1+方脸+…+^＞g

当"=k+l时，

1+全+排…+笈+志＞河+点

^+1+1k+2

yjk+1y/k+1*

由于描＞岸=后=m+1)+1,

所以i+全+全+…+扣志X("+D+L

所以当“=A+1时，不等式也成立.

由(1),(2)知对一切"GN*,"＞2,不等式恒成立.

题型三归纳一猜测一证明

［典例］数列｛“｝中，S〃是｛%｝的前〃项和且S〃是2a与一2〃斯的等差中项，其中。是

不为0的常数.

(1)求〃1,。3・

(2)猜测斯的表达式，并用数学归纳法进行证明.

［解］(1)由题意知Sn=a—nall9

当〃=1时，Si=ai=a—a\9解得〃尸名

当〃=2时，§2=。1+。2=。—2。2,解得42=》

当〃=3时，§3=〃1+。2+的=。—3的，解得的=*

(2)猜测：%="(〃3)("GN*)

证明：①当〃=1时，由⑴知等式成立.

②假设当〃=%仅21,A£N*)时等式成立，

即ak=k(4zy那么当"=A+1时，

“A+I=SA+I-SA=。-(4+1)四+1—3一左绿),

所以四+1=/+l)(A+2)=/+1)[(A+1)+仃

即当n=k~\~\时，等式成立.

结合①②得呢=(对任意"GN*均成立.

(1)“归纳TS测一证明"的一般环节

(2)“归纳―猜测—证明"的主要题型

①数列的递推公式，求通项或前“项和.

②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在.

③给出一些简洁的命题("=1,2,3,…)，猜测并证明对任意正整数〃都成立的一般性命

题.

［活学活用］

1

数列｛跖｝中，ai=ba2=i且%+i=也三M(〃22),求内，四，猜测时的表达式，并

qndll

加以证明.

解：

(n-l)an

且斯+i=-A(〃/2),

猜测：

371-2

下面用数学归纳法证明猜测正确.

(1)当"=1,2易知猜测正确.

(2)假设当n=k(k》2,AWN*)时猜测正确，

即dk=T7_当"=4+1时，ak+i—^~7~~

3K—2k—ak

]k—1

(”-D3A-23k—2_______k-l

=]—=3A22AT=3A2_2H

3—23A—2

_____kT________1________]

=(3A+1)(L1)=3%+1=3(%+1)—2

：.n=k+l时猜测也正确.

由(1)(2)可知，猜测对任意“GN*都正确.

课后层级训练，步步提升能力

层级一学业水平达标

1.设八〃）=1+；+!H-----FT-377（/IGN*）,那么人"+1）一人〃）等于（

A'3n+218•五+3"+1

11111

C・3〃+l+3"+20•五+3"+1十3"+2

解析：选D要留意末项与首项，所以1〃+1)-/1〃)=*+五上+票5

2.设5&=不互+南工^2k'那么Sk+\为()

A-Sk+2k+2B-Sk+2k+l+2k+2

CSk+2k+l~2k+2D-Sk+2k+2~2k+l

解析:选C因式子右边各分数的分母是连续正整数，那么由S*=±+士+…+♦，

KI1KI乙乙K

①

得SHI=后工+北苗"1]"2k+2k+l+2（k+iy®

由②一①'得S"+LSA=2&+]+2（A+I）一^7

=2«+1-2（A+1）•故Sk+1=S*+2Jt+l_2（Jl+iy

3.一个与正整数〃有关的命题，当n=2时命题成立，且由"=k时命题成立可以推

得"=A+2时命题也成立，那么（）

A.该命题对于〃>2的自然数〃都成立

B.该命题对于全部的正偶数都成立

C.该命题何时成立与A取值无关

D.以上答案都不对

解析：选B由"=A时命题成立可推出"=«+2时命题也成立，又〃=2时命题成立，

依据逆推关系，该命题对于全部的正偶数都成立，应选B.

4.对于不等式"i工V〃+l(〃eN*),某同学用数学归纳法的证明过程如下：

(1)当”=1时，^/12+1<1+1,不等式成立.

⑵假设当〃=A(AGN*)时，不等式成立，即yjk2+k<k+l,那么当"=A+1时，

、(《+1)2+(4+1)=、N+3A+2VM(A2+3A+2)+A+2=、(4+2)2=优+1)+1,

.•.”=«+1时，不等式成立，那么上述证法()

A.过程全部正确

B.”=1验得不正确

C.归纳假设不正确

D.从n=k到”=«+1的推理不正确

解析：选D在〃=A+1时，没有应用"=«时的归纳假设，应选D.

5.设加)=5"+2X3"-i+l(〃GN*),假设加)能被，"(，”GN*)整除，那么切的最大值为

()

A.2B.4

C.8D.16

解析：选C")=8,彤)=32,43)=144=8X18,猜测机的最大值为8.

6.用数学归纳法证明”对于足够大的自然数“，总有2">〃3"时，验证第一步不等式

成立所取的第一个值最小应当是.

解析：V210=l024>1032*B.9=512<93,二”。最小应为10.

答案：10

7.用数学归纳法证明*+*+…+符严>；一去，假设〃=A时，不等式成立，那

么当n=k+i时，应推证的目标不等式是.

解析：观看不等式中分母的变化便知.

答案：丞+方h(*+l)2+(*+2)2>2-it+3

8.用数学归纳法证明(”+1)(〃+2)“…(n+n)=2nXlX3X-X(2n-l)(neN*),“从k

到A+l〃左端增乘的代数式为.

解析:令人〃)=(〃+1)(〃+2)5+〃),

那么大行=优+1)・(4+2)•♦…(*+*),

/(*+1)=(*+2)(*+3)…“(*+*)(2*+1)(2*+2),

.必+1)(2A+l)(2/+2)

=2(2*+1).

••阚A+1

答案：2(2fc+1)

9./iGN,\求证13—2。3：+…+(2/i—l>(2/i)2—2/r(2”+l)2=—H(/I+1)(4"+3).

证明：(1)当〃=1时，左边=4-18=-14=-1X2X7=右边.

⑵假设当"=A(AWN*,无。1)时成立,即1-22—2-32+--+(2Jl-1)-(2*)2—2*-(2*+1)2=

一碎+1)(4%+3).

那么当n=k+\时，

122-2・32+…+(2A-1>(2A)2-2A-(2A+1)2+(2A+D(2A+2)2-(2A+2)・(2A+3)2

=一献A+l)(4«+3)+(2A+2)[(2k+l)(2k+2)-(2k+3)2]

=一做4+1)(44+3)+2优+1)・(一64一7)=一优+1)/+2)(4«+7)

=-(*+1)•[(*+1)+1][4(*4-1)+3],

即当n=k+l时成立.

由(1)(2)可知，对一切"GN*结论成立.

10.观看以下等式：

1=1»

2+3+4=9,

3+4+5+6+7=25,

4+5+6+7+8+9+10=49.

照此规律下去：

(1)写出第五个等式；

(2)你能作出什么一般性的猜测？请用数学归纳法证明猜测.

解：⑴第5个等式为5+6+7H----1-13=81.

(2)猜测第"个等式为

"+(〃+1)+(〃+2)+…+(3〃-2)=(2"-1户，

用数学归纳法证明如下：

①当"=1时明显成立；

②假设“=/优》1,AGN*)时也成立，

即A+优+1)+优+2)H----1"(34一2)=(24—1产，

那么当n=k+l时，左边=(A+1)+(A+2)H------H3«-2)+(3«-l)+3A+(3A+l)=&2

+l-5A+(3*-l)4-3Jt+(3Jt+l)=4*2+4*+l=[2(l!r+l)-l]2,

而右边=[2(k+l)—Ip,

这就是说"=k+l时等式也成立.

依据①②知，等式对任何“GN*都成立.

层级二应试力量达标

“边形有./I")条对角线，那么凸"+1边形对角线的条数八〃+1)为()

A.犬")+〃+1B.f(n)+n

C.1/(")+〃一1D.加)+“-2

解析：选C增加一个顶点，就增加〃+1—3条对角线，另外原来的一边也变成了对

角线，故人"+1)=/5)+1+"+1—3=75)+〃一1.故应选C.

2.用数学归纳法证明"当”为正奇数时，炉+y"能被x+y整除"的其次步是()

A.假设"=2&+1时正确，再推〃=2&+3正确

B.假设”=2A—1时正确，再推〃=24+1正确

C.假设〃=&时正确，再推"=&+1正确

D.假设〃WA/21),再推〃=A+2时正确(以上ACN*)

解析：选B由于“为正奇数，据数学归纳法证题步骤，其次步应先假设第左个正奇

数也成立，此题即假设n=2k-l正确，再推第(A+1)个正奇数即〃=2«+1正确.

3.用数学归纳法证明P+22+…+(〃-1)2+〃2+(“一1)2+―+22+12=也誓±11时，

由"=&的假设到证明〃=«+1时，等式左边应添加的式子是()

A.(*+1)2+2*2B.(k+l)2+k2

C.(*+1)2D.1(JH-l)[2(fc+l)2+l]

解析：选B依据等式左边的特点，各数是先递增再递减，

由于n=k时，左边=了+22+…+(«—1)2+«2+优一1产+…+22+12,

22

n=k+l时，左边=0+22+…+(4一1)2+公+(士+I)2+R+(士—])2_1-------1-2+1,

比拟两式，从而等式左边应添加的式子是优+1产+炉.

4.设平面内有A条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设A条直线的交点

个数为人幻，那么八《+1)与大6的关系是()

A.f(k+l)=J(k)+k+l

B.j(k+l)=fik)+k-i

C.fik+l)=J(k)+k

D.fik+l)=J(k)+k+2

解析：选C当〃=A+1时，任取其中1条直线记为/,那么除/外的其他A条直线的

交点的个数为人幻，由于任何两条直线不平行，所以直线/必与平面内其他左条直线都相交

(有A个交点)；又由于任何三条直线不过同一点，所以上面的A个交点两两不相同，且与平

面内其他的,外幻个交点也两两不相同，从而n=k+l时交点的个数是加1)+#=44+1).

5.用数学归纳法证明42"+1+3"+2能被13整除，其中〃GN*,那么当〃=«+1时式子

应当整理成.

解析：当〃=&+1时，42",+3*+3

=4/+1.42+3/2.3—42*+卜3+42&+|-3

=4比工13+3・(4%+1+3仆2).

答案：42*+1・13+3・(4乂+1+3〃+2)

6.用数学归纳法证明1+2+22+…+2"r=2"-l(〃GN*)的过程如下：

①当"=1时，左边=2。=1,右边=21—1=1,等式成立.

②假设〃=«他21,且AGN*)时，等式成立，即

l+2+22H----F2*r=2*-1.

1—2卜+1

那么当〃=4+1时，1+2+2?+…+24一】+2A

1—2

所以当〃=a+1时，等式也成立.

由①②知，对任意"GN*,等式成立.

上述证明中的错误是.

解析：由证明过程知，在证从"=么到"=4+1时，直接用的等比数列前"项和公式,

没有用上归纳假设，因此证明是错误的.

答案：没有用归纳假设

7.用数学归纳法证明1+3<1+；+；+…+今W*+〃(〃GN*).

313

证明：⑴当〃=1时，5WI+5W5,命题成立.

⑵假设当〃=A(A£N")时命题成立，即----

那么当〃=#+1时，

1+渭+…+*+#[+忌1+…+寻对1+**=1+与1.

又1+5+3^*-2*-*-2H-l'*'2H-2'*卜2"+2*<5+"+2"•丞=£+(&+口，

即〃=&+1时，命题成立.

由(1)和(2)可知，命题对全部〃WN*都成立.

8.某数列的第一项为1,并且对全部的自然数〃》2,数列的前〃项之积为〃2.

(1)写出这个数列的前5项；

(2)写出这个数列的通项公式并加以证明.

解：(1)〃]=1,由题意，得。1口2=22,«2=22.

32

*/«1*«2,«3==32,.•・的=中・

4252

同理，可得〃4=],恁=不・

因此这个数列的前5项分别为1,4,,y,器.

(2)观看这个数列的前5项，猜测数列的通项公式应为:

1("=1)，

a„—

(〃一1)2("必

〃2

下面用数学归纳法证明当〃，2时，〃〃=;一~

(71-I)2

22

①当11=2时，。2="_[、2=22,结论成立.

—1；

②假设当〃=左(左22,左£N*)时，结论成立，

k?

即『记守

：41也2......ak-\=(k—l)2,

2

avaz...ak-vak-ak+i=(A+l),

.(&+l)2_伏+1)2(&-1)2_(&+1)2(A+l)2

ak+'(arai...(k-I)2k2k2[(Ar+l)—I]2,

这就是说当n=k+l时，结论也成立.

依据①②可知，当"22时，这个数列的通项公式是

n2

%=("T)2,

...这个数列的通项公式为

1("=1),

n

初》2).

.("一1>

••忽M＞阶段质量捡测(二)推理与证明

(时间：120分钟总分值：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有

一项为哪一项符合题目要求的)

1.依据偶函数定义可推得“函数八X)=*2在R上是偶函数〃的推理过程是()

A.归纳推理B.类比推理

C.演绎推理D.非以上答案

解析：选C依据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，应选C.

2.自然数是整数，4是自然数，所以4是整数.以上三段论推理()

A.正确

B.推理形式不正确

C.两个“自然数”概念不全都

D.“两个整数〃概念不全都

解析：选A三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的.

3.以下推理正确的选项是()

A.把a(Z>+c)与log“(x+y)类比，那么有logf,(x+j)=logflx+logaj

B.把a(6+c)与sin(x+y)类比，那么有sin(x+y)=sinx+siny

C.把”S+c)与/+>类比，那么有/+>=北+於

D.把(a+Z»)+c与(xy)z类比，那么有(孙)z=x(yz)

解析：选D(盯)z=x(yz)是乘法的结合律，正确.

4.求证：yf2+y[3>y[5.

证明：由于也十小和小都是正数，

所以为了证明啦+#邛，

只需证明(啦+小)2>(小)2,绽开得5+2巡>5,

即2、佝>0,此式明显成立，所以不等式啦+#邛成立.

上述证明过程应用了()

A.综合法B.分析法

C.综合法、分析法协作使用D.间接证法

解析：选B证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析

法所特有的，是分析法的证明模式.

5.利用数学归纳法证明不等式1+；+；+…"GN*)的过程中，由〃

=4变到"=A+1时，左边增加了()

A.1项B.A项

C.2门项D.2"项

解析：选D当n=k时，不等式左边的最终一,项为[，而当"=«+1时，最终一,

项为2*+：_I=2&_；+2&，并且不等式左边和式的分母的变化规律是每一项比前一项加1，

故增加了2*项.

6.三角形的面积为S=；(a+b+c)-r,其中a,b,c为三角形三边长，r为三角形内切

圆半径，利用类比推理，可以得出四周体的体积为()

A.V=^abcB.V=§Sh

C.V=j(Si+S2+S3)rD.V=^(ah+bc+ac)h

解析：选C从平面到空间类比，三角形面积与四周体体积类比，三角形内切圆与四

周体内切球类比，三角形的边长与四周体各面的面积类比，故得答案C.

7.假设数列｛%｝是等比数列，那么数歹U｛%+%+i｝()

A.肯定是等比数列

B.肯定是等差数列

C.可能是等比数列也可能是等差数列

D.肯定不是等比数列

解析：选C设等比数列｛%｝的公比为q,那么a“+a"+i=a“(l+g)....当qW-l时，

｛斯+为+i｝肯定是等比数列；

当q=-1时，。“+。〃+1=0,此时为等差数列.

8.a+b+c=O,那么ab+bc+ca的值()

A.大于0B.小于0

C.不小于0D.不大于0

解析：选D法一：方+c=0,a2+b2+c2+lab+lac+2bc=0,:・ab+ac+bc

法二：令c=0,假设力=0,那么ab+bc+ac=0,否那么叫》异号，/.

ab<0f排解A、B、C,选D.

9.1+2X3+3X32+4X33+…+〃乂3〃-1=3〃50—6)+。对一切〃£年都成立，那么a,

b,c的值为()

1,11

A.Q=5，b=c=4B.a=b=c=~^

C.a=0,b=c=；D.不存在这样的a,b9c

解析：选A令〃=1,2,3,

(3(a—b)+c=l,

得｛9(2a_b)+c=7,

127(3a-b)+c=34.

所以a=；,力=c=:.

10.数列｛%｝的前〃项和S“，且ai=l,S"=〃2%(〃GN*),可归纳猜测出S,的表达式为

()

3n-l

•S产帝Sn=n+1

2n+l2〃

CSn=Sn=

-n+2〃+2

1411

解析：选A由句=1,得4]+。2=22。2,S2=y又1+§+43=32。3,•,•a3=彳，

c36

$3=5=4；

][18

又1+§+石+。4=16〃4,得“4=诬，S4=g.

由S1号，S2=1,S3=1,S4=*可以猜测s〃=点]

3

11.f(x)=x+x9假设a,b,c£R,且a+历>0,a+c>0,ft+c>0,那么｛a)+/l»)+/(c)

的值()

A.肯定大于0B.肯定等于0

C.肯定小于0D.正负都有可能

解析：选AV/(x)=3x2+l>0,・"a)在R上是增函数.又a+力>0,:.a>-b,:.

又八幻=3+”是奇函数，.7/(〃)>一大力)，即八〃)+/(力)>0.同理，人力)+人。)>0,4。)

+武。)>0,：.f(a)+f(b)+f(c)>Of应选A.

12.下面的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的.

1

1

11

~2~2

±±±

~3~3

1_1_1_

412124

J__1_J_X_1_

52030205

第〃行有〃个数且两端的数均为［〃，2),每个数是它下一行左右相邻两数的和，如:=

；=；+1，；=1+*，…，那么第1。行第4个数(从左往右数)为()

A，

A.360n,504

c-i-D,

v-840l，l260

解析：选C依题意，结合所给的数阵，归纳规律可知第8行的第一个数、其次个数

分别等于另一上,第9行的第一个数、其次个数、第三个数分别等于暴一女€一§一0一3,

第10行的第一个数、其次个数、第三个数、第四个数分别等于一玄，(；—/)一6―古)，

[€-*0-圳-层-?-G一哥代

二、填空题(本大题共4小题，每题5分，总分值20分.把答案填在题中的横线上)

13.x,jGR,且x+y<2,那么x,y中至多有一个大于1,在用反证法证明时，假设

应为•

解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”,故其对立面

为“x,y都大于1〃.

答案：X,’都大于1

14.a>0,Z»0,n=\Q^a^—,那么m,n的大小关系是.

解析：ab>^=^\[ab>d^a+b+2y[ab>a+fe=>

(y[a+y[b)2>(yja+b)2=^\[a+y[h>\la+b=^

W+福〉、一]也〉]\a+b

2222

答案："?>"

15.观看以下等式：

(1+1)=2X1,

(2+l)(2+2)=22XlX3,

(3+l)(3+2)(3+3)=23X1X3X5.

照此规律，第〃个等式为

解析：从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一

个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持全都，其中左边连乘式中其次个加数从1开

头，逐项加1递增，右边连乘式中从其次个乘数开头，组成以1为首项，2为公差的等差数

列，项数与第几等式保持全都，那么照此规律，第„个等式可为(〃+1)(〃+2)…”(〃+”)=

2HX1X3X-X(2n-1).

答案：("+1)(〃+2)…“("+")=2"X1X3X…X(2〃-1)

16.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都

是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，那么这两个正方形重

叠局部的面积恒为f.类比到空间，有两个棱长为a的正方体，其中一个的

某顶点在另一个的中心，那么这两个正方体重叠局部的体积恒为

解析：解法的类比(特别化)，易得两个正方体重叠局部的体积为

O

答案叫

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题总分值10分)用综合法或分析法证明：

e,e,a+b、Iga+lgb

⑴假如纵fe>0,那么1g「厂苞-

⑵6+痴>2小+2.

证明：⑴当a,6>0时，有中》版，

a+b、I-

Iga+lgb

..1Q-N51gab=

2

(2)要证加+屈>2巾+2,

只要证(证+亚户>(26+2产，

即2、同>2曲，这是明显成立的，

所以原不等式成立.

18.(本小题总分值12分)如下图，设S4,S3是圆锥5。的两条母线，卜

O是底面圆心，C是S5上一点，求证：AC与平面S05不垂直.\\

证明：假设AC_L平面SO5,//t-A

由于直线SO在平面SOB内，

所以SO2-AC,

由于SOJ-底面圆O,所以S0_LA5.

由于A3riAC=A,所以SOJ■平面SAB.

所以平面SAB〃底面圆0,这明显与平面SA5与底面圆。相交冲突，所以假设不成立,

即AC与平面SQB不垂直.

19.(本小题总分值12分)用数学归纳法证明士+忐n

1.入3S入32/1+1

(〃£N*).

证明：①当〃=1时，左边=［乂

1AJ□

…卜11

右边一2Xl+「»

左边=右边.所以当”=1时等式成立.

②假设当"=k(k>T,AGN*)时等式成立，即

_1_k

1X33X5(2*-l)X(2Jt+l)2k+V

那么当"=4+1时,

左边=TS不+荻T1h(2A-1)X(2k+l)+(2Jt+1)X(2A+3)

=上+---------------

2A+1(2A+l)XQA+3)

_k(2k+3)+l_(2fc+l)(^+l)

=(2A+l)X(2«+3)=(2A+1)X(2fc+3)

&+1,』

-2(A+l)+］一右边.

所以当"=«+1时等式也成立.

依据①和②可知，等式对任何"GN*都成立.

20.(本小题总分值12分)以下推理是否正确？假设不正确，指出错误之处.

(1)求证：四边形的内角和等于360。.

证明：设四边形ABCD是矩形，那么它的四个角都是直角，有NA+N5+NC+NZ)

=90。+90。+90。+90。=360。，所以四边形的内角和为360°.

(2)也和由都是无理数，试证：&+审也是无理数.

证明：依题设必和审都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以啦+5必是

无理数.

(3)实数机满意不等式(2机+l)(m+2)<0,用反证法证明：关于x的方程/+2x+5—，/

=0无实根.

证明：假设方程x2+2x+5—»P=o有实根.由实数机满意不等式(2/n+l)(m+2)V0,

解得一2<小<一；，而关于x的方程x2+2x+5-/n2=0的