4.5相似三角形判定定理的证明（提升版）（含答案）-北师大版数学九年级上册

4.5相似三角形判定定理的证明（提升版）夯实基夯实基础黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。一、选择题1．凸透镜成像的原理如图所示，AD//l//BC.若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线A．45 B．25 C．492．如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD四条边上的点，已知EF⊥GH，若AB=2，BC=3，则EF：A．3：2 B．2：3 C．3．如图，线段AB，CD相交于点O，AC∥BD，若OA=6，OC=3，OD=2，则OB的长是（）A．3 B．4 C．5 D．64．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE//BC，∠ABE=∠AED，且AB=6，AC=9，则A．9−36 B．4 C．5 D．5．如图，在△ABC中，DE//BC，ADDB=1A．7 B．4 C．8 D．66．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，BE与CD相交于F，则下列结论一定正确的是（）A．ADBD=DEBC B．ADAB=7．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=8，OB=10，以O为圆心，4为半径作圆O，交两边于点C，D，P为劣弧CD上一动点，则12A．13 B．226 C．26 D．8．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AB分别交三条平行线于点A、E、B，直线CD分别交三条平行线于点C、F、D，直线AB、CD相交于点O，若AE：EO：OB=4：2：7，则下列式子①OFOC=13；②CFFDA．4个 B．3个 C．2个 D．1个9．如图，在△ABC中，AB<AC，将△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F，则下列结论中错误的是（）A．△AFE∽△DFC B．AD=AFC．DA平分∠BDE D．∠CDF=∠BAD10．如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，则∠ABC+∠ACB的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°巩固积巩固积厚宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。二、填空题11．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BD，交BC于点E，若CO=3，CE=1，则BE的长为12．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，连接CE，BD相交于点F，若BC=4，EFFC=14，则13．如图，矩形CDEF中，CD=8cm，CF=6cm，点G在边FE上从F向点E运动，速度为3cm/s，同时点H在边DE上从E向点D运动，速度为4cm/s.连接CG、FH，设CG、FH交于点B，取EF的中点A，则AB的最小值为cm.14．如图，小明借助太阳光线测量树高.在早上8时小明测得树的影长为2m，下午3时又测得该树的影长为8m，且这两次太阳光线刚好互相垂直，则树高为m.15．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E为CD的中点，G为AE的中点，F为CB上的一个动点，当FG=12AE时，BF优尖拔优尖拔高书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。三、解答题16．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，ED∥CA.若BE=5，EC=6，AC=10，求AD的长.17．如图，点O是菱形ABCD对角线BD上的一点，CD=6，OC=OD=4，求BD的长.18．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC=∠BAC，CD=1，BD=3，求AC的长．19．如图，E为AD上一点，若∠DAC=∠B，CD=CE，求证：CD⋅BD=AD⋅AE．20．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池ABCD．东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD．EG＝15里，HG经过点A，则FH等于多少里？

答案与解析答案与解析1．答案:A解析：解：∵l//BC，CG⊥l，∴四边形OBCG为矩形，∴OB=CG，∵AH⊥HO，BO⊥HO，∴△AHF∴AHBO∴AHCG=∴物体被缩小到原来的45故答案为：A.分析：由题意可得：四边形OBCG为矩形，则OB=CG，证明△AHF1∽△BOF1，然后根据相似三角形的性质进行解答.2．答案:B解析：解：过点H作HM⊥AB，垂足为M，过点F作FN⊥AD，垂足为N，设HM，FE∴∠ENF=∠GMH=90°，∵EF⊥GH，∴∠GHM+∠HOE=∠EFN+∠FOM=90°，又∵∠HOE=∠FOM，∴∠GHM=∠EFN，∴△MHG∽△NFE，∴EF：故答案为：B.分析：过点H作HM⊥AB，垂足为M，过点F作FN⊥AD，垂足为N，设HM、FE交于点O，则NF=AB，MH=BC，由对顶角的性质可得∠HOE=∠FOM，根据等角的余角相等可得∠GHM=∠EFN，证明△MHG∽△NFE，然后根据相似三角形的性质进行解答.3．答案:B解析：解：∵AC//∴△AOC∽△BOD，∴AOBO∵OA=6，OC=3，OD=2，∴6BO解得：BO=4，故答案为：B.分析：易证△AOC∽△BOD，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.4．答案:C解析：解：∵DE//∴∠AED=∠C，∵∠ABE=∠AED，∴∠ABE=∠C，∵∠A=∠A，∴△ABE∽△ACB，∴ABAC∵AB=6，AC=9，∴69=AE∴CE=AC−AE=5.故答案为：C.分析：由平行线的性质可得∠AED=∠C，结合∠ABE=∠AED可得∠ABE=∠C，证明△ABE∽△ACB，根据相似三角形的性质可求出AE的值，然后根据CE=AC-AE进行计算.5．答案:C解析：解：∵DE//∴∠ADE=∠B，∴△ADE∽△ABC，∴S==1∵S△ABC∴S△ADE∴S四边形BCED故答案为：C.分析：根据平行线的性质可得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得S△ADE的值，然后根据S四边形BCED=S△ABC-S△ADE进行计算.6．答案:B解析：解：∵DE//∴∠ADE=∠ABC，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴AD∵DE//∴AD∵DE//∴∠EDF=∠BCF，∵∠DFE=∠CFB，∴△DEF∽△CBF，∴DF由△ADE∽△ABC知AEAC∴DF由△DEF∽△CBF知DFCF故答案为：B.分析：由平行线的性质可得∠ADE=∠ABC，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可判断A；根据平行线分线段成比例的性质可判断B；由平行线的性质可得∠EDF=∠BCF，证明△DEF∽△CBF，根据相似三角形的性质可判断C、D.7．答案:B解析：解：连接OP，取OC的中点E，∵OEOP=OP∴△EOP∽△POA，∴PEAP∴PE=1∴12当E、P、B在一条直线时值最小，BE=E∴12PA+PB最小值为故答案为：B.分析：连接OP，取OC的中点E，易证△EOP∽△POA，根据相似三角形的性质可得PE=12AP，则18．答案:B解析：解：∵AE：EO=4：2，

∴OEAO=26=13，

∵l1∥l2，

∴OFOC=OEOA=13，故①正确；

∵AE：EO：OB=4：2：7，

∴AEEB=49，

∵l1∥l2∥l3，

∴CFFD=AEEB=49，故②正确；

∵l1∥l2∥l3，

9．答案:B解析：解：∵将△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转得到△ADE，

∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD，∠E＝∠C，

∴∠B＝∠ADB，

∴∠ADB＝∠ADE，

∴DA平分∠BDE，故C选项正确；

∵∠AFE＝∠CFD，∠E＝∠C，

∴△AFE∽△DFC，故A选项正确；

∴∠CDF＝∠CAE，

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴∠CDF＝∠BAD，故D选项正确；

没有条件证明∠ADF＝∠AFD，即不能判断AD＝AF，故B选项错误．

故答案为：B.

分析：根据旋转得到∠B＝∠ADE，AB＝AD，∠E=∠C，推出∠B＝∠ADB，即可判断C；利用两个角对应相等的两个三角形相似判断A；利用相似三角形的对应角相等判断D；没有条件证得B正确，即可得到答案．10．答案:B解析：解：∵AB=1DE=1∵52∴ABDE∴△ABC∽△EDF，∴∠BAC=∠DEF=135°，∴∠ABC+∠ACB=180°−135°=45°，故答案为：B.分析：利用勾股定理可得AB、AC、BC、DE、EF、DF的值，则ABDE11．答案:2解析：解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，∴OA=OB=OC=OD=3∴AC=23，∠EBO=∠ACB∵OE⊥BD，∴∠BOE=∠CBA=90°，∴△BOE∽△CBA，∴OBBC=BE解得BE=2或BE=−3（舍去），故答案为2.分析：根据矩形的性质可得OA=OC=OB=OD=3，∠ABC=90°，则AC=23，由等腰三角形的性质可得∠EBO=∠ACB，证明△BOE∽△CBA，然后根据相似三角形的性质进行计算.12．答案:3解析：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴ED∥BC，∴△EFD∽△CFB，∴EFFC∵BC=4，EFFC∴ED=1，∴AE=AD−ED=4−1=3，故答案为：3.分析：根据矩形的性质可得AD∥BC，AD=BC，证明△EFD∽△CFB，根据相似三角形的性质可得ED的值，然后根据AE=AD-ED进行计算.13．答案:2解析：解：设点G运动t秒时，线段AB有最小值，即当BA⊥EF时，线段AB最小，∴FG=3t，EH=4t，如图所示，∵矩形CDEF中，CD=8cm，CF=6cm，BA⊥EF，点A是EF的中点，∴∠BAF=∠E=90°，∠AFB=∠EFH，AF=EF=1∴△ABF∽△EHF，∴ABAF=EHEF，即∵BA⊥EF，∴AB∥CF，∴GAGF=AB∴|3t−4|3t当G在AF之间，即GA=4−3t时，4−3t3t=2t6，解方程得，当G与点A重合，即3t=4时，无解；当3t在点A右边，即GA>4时，无解；∴当t=1时，AB=2t=2×1=2，∴AB的最小值为：2，故答案为：2.分析：设点G运动t秒时，线段AB有最小值，即当BA⊥EF时，线段AB最小，FG=3t，EH=4t，易证△ABF∽△EHF，根据相似三角形的性质可得AB=2t，由平行线分线段成比例的性质可得GAGF=AB14．答案:4解析：解：根据题意作图，BD=2m，CD=8m，∠BAC=90°，AD⊥BC，∵∠BAD+∠CAD=90°，∠BAD+∠B=90°，∴∠CAD=∠B，∵∠ADB=∠CDA=90°，∴△ADB∼△CDA，∴BD∴ADAD=4m故答案为：4.分析：根据同角的余角相等得∠CAD=∠B，结合∠ADB=∠CDA=90°，判断出△ADB∽△CDA，根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出AD的长.15．答案:2或4解析：解：连接AF，EF∵G为AE的中点，FG=∴FG=AG=GE=∴∠GAF=∠GFA∴∠AFE=90°∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∴∠BAF+∠AFB=90°，∵∠AFE=90°，∴∠EFC+∠AFB=90°，∴∠BAF=∠CFE，∴△ABF∽△FCE，∴AB设BF=x则CF=6−x∵E为CD的中点∴CE=∴4解得：x故答案为：2或4.分析：连接AF、EF，由中点的概念结合FG=12AE可得FG=AG=GE=12AE，由等腰三角形的性质可得∠GAF=∠GFA，∠GEF=∠GFE，则∠AFE=90°，由矩形的性质可得∠B=∠C=90°，由同角的余角相等可得∠BAF=∠CFE，证明△ABF∽△FCE，设BF=x，则CF=6-x，由中点的概念可得CE=16．答案:解：∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAE=∠EAC.∵ED∥CA，∴∠DEA=∠EAC∴∠DAE=∠DEA∴ED=AD∵ED//∴△BED∽△BCA∴BEBC∵BE=5，EC=6，AC=10，∴55+6∴ED=∴AD=50解析：根据角平分线的概念可得∠DAE=∠EAC，由平行线的性质可得∠DEA=∠EAC，则∠DAE=∠DEA，推出ED=AD，易证△BED∽△BCA，然后根据相似三角形的性质进行计算.17．答案:解：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD.∴∠BDC=∠CBD.∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∴∠OCD=∠DBC.∴△CDO∽△BDC.∴CDBD∵CD=6，OC=OD=4.∴6BD∴BD=9.解析：根据菱形的性质可得BC=CD，由等腰三角形的性质可得∠BDC=∠CBD，∠ODC=∠OCD，则∠OCD=∠DBC，证明△CDO∽△BDC，然后根据相似三角形的性质进行计算.18．答案:解：∵CD=1，BD=3，∴BC=BD+CD=4，∵∠ADC=∠BAC，∠C=∠C，∴△ADC∽△BAC，∴CDAC即AC∴AC=2（负值舍去）．解析：先证明△ADC∽△BAC，可得CDAC19．答案:证明：∵∠DAC=∠B，∠ACD=∠BCA∴△ADC∽△BAC∴AD∴ACAB∵CD=CE∴∠CDA=∠CED∴∠B+∠BAD=∠CAE+∠ACE∴∠BAD=∠ACE又∵∠DAC=∠B∴△ABD∽△CAE∴AB∴AC∴CD∴CD⋅BD=AD⋅AE解析：先证明△ADC∽△BAC，