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文档简介

21.2解一元二次方程21.2.1配方法(第2课时)人教版数学九年级上册化为一般式,得

x2+6x-16=0

要使一块矩形场地的长比宽多6米,并且面积为16平方米,求场地的长和宽应各是多少?x(x+6)=16导入新知解:设场地宽为xm,则长为(x+

6)m,根据长方形面积为16m2,列方程得

怎样解这个方程?能不能用直接开平方法?2.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.

素养目标1.了解配方的概念,掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.(1)9x2=1;(2)(x-2)2=2.2.下列方程能用直接开平方法来解吗?1.用直接开平方法解下列方程:(1)

x2+6x+9=5;(2)x2+6x+4=0.把两题转化成(x+n)2=p(p≥0)的形式,再利用开平方来解.探究新知配方法的定义知识点你还记得吗?填一填下列完全平方公式.(1)a2+2ab+b2=(

)2;(2)a2-2ab+b2=(

)2.a+ba-b探究新知填一填(根据)56你发现了什么规律?二次项系数都为1.探究新知【思考】

怎样解方程:x2+6x+4=0(1)(1)方程(1)怎样变成(x+n)2=p的形式呢?解:x2+6x+4=0

x2+6x=-4移项

x2+6x+9=-4+9两边都加上9二次项系数为1的完全平方式:常数项等于一次项系数一半的平方.探究新知(2)为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9?加其他数行吗?

提示:不行,只有在方程两边加上一次项系数一半的平方,方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.探究新知

像上面那样,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法.配方是为了降次

,把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.配方法的定义探究新知例1

解方程:解:(1)移项,得x2-8x=-1,配方,得x2-8x+42=-1+42,(x-4)2=15由此可得素养考点1探究新知解二次项系数是1的一元二次方程解方程x2+8x-4=0解:移项,得x2+8x=4配方,得x2+8x+4²=4+4²,

整理,得(x+4)2=20,

由此可得x+4=,

x1=

,x2=.巩固练习配方,得由此可得二次项系数化为1,得解:移项,得2x2-3x=-1,例2解方程解二次项系数不是1的一元二次方程素养考点2探究新知(1)移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?配方,得

因为实数的平方不会是负数,所以x取任何实数时,上式都不成立,所以原方程无实数根.解:移项,得二次项系数化为1,得为什么方程两边都加12?即探究新知(2)思考1:用配方法解一元二次方程时,移项时要注意些什么?思考2:用配方法解一元二次方程的一般步骤.移项时需注意改变符号.①移项,二次项系数化为1;②左边配成完全平方式;③左边写成完全平方形式;④降次;⑤解一次方程.探究新知一般地,如果一个一元二次方程通过配方转化成

(x+n)2=p.①当p>0时,则

,方程的两个根为②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为

x1=x2=-n.③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.方法点拨探究新知解下列方程:巩固练习解:

移项,得配方,得由此可得二次项系数化为1,得整理,得3x2+6x=4x2+2x=x2+2x+12=+12(x+1)2=即

x+1=±.x1=

x2=.(1)巩固练习解:移项,得配方,得由此可得二次项系数化为1,得整理,得x1=

,x2=

4x2-6x=3x2-x=(2)巩固练习解:移项,得∴x取任何实数,上式都不成立,即原方程无实数根.∵对任何实数x都有(x+1)2≥0,配方,得x2+2x+1=-2+1.整理,得x2+2x=-2.(x+1)2=-1.(3)巩固练习解:去括号,得x2+4x=8x+12移项,得

配方,得

由此可得x-2=±4整理,得x2-4x=12(x-2)2=16x1=6,x2=-2x2-4x+2²=12+2²因此(4)例3

试用配方法说明:不论k取何实数,多项式k2-4k+5的值必定大于零.解:k2-4k+5=k2-4k+4+1=(k-2)2+1因为(k-2)2≥0,所以(k-2)2+1≥1.所以k2-4k+5的值必定大于零.利用配方法确定多项式或字母的值(或取值范围)素养考点3探究新知方法点拨:证明代数式的值恒为正数,需要利用配方法将代数式化成几个非负数的和,利用非负数的性质说明代数式的值恒为正数.例4

若a,b,c为△ABC的三边长,且

试判断△ABC的形状.解:对原式配方,得

根据非负数的性质得

根据勾股定理的逆定理可知,△ABC为直角三角形.

探究新知由此可得

巩固练习方程2x2-3m-x+m2+2=0有一个根为x=0,则m的值为()A.1B.1C.1或2D.1或-2应用配方法求最大值或最小值.(1)求2x2-4x+5的最小值(2)-3x2+12x-16的最大值.C解:原式=2(x-1)2+3因为2(x-1)2≥0,所以2(x-1)2+3≥3因此当x=1时,原式有最小值3.解:原式=-3(x-2)2-4因为(x-2)2≥0,即-3(x-2)2≤0,所以-3(x-2)2-4≤-4因此当x=2时,原式有最大值-4.

类别解题策略1.求最值或证明代数式的值恒为正(或负)对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2+n的形式后,由于x无论取任何实数都有(x+m)2≥0,n为常数,当a>0时,可知其有最小值;当a<0时,可知其有最大值.2.完全平方式中的配方如:已知x2-2mx+16是一个完全平方式,所以一次项系数一半的平方等于16,即m2=16,m=±4.3.利用配方构成非负数和的形式对于含有多个未知数的二次式的等式,求未知数的值,解题突破口往往是通过配方成多个完全平方式得其和为0,再根据非负数的和为0,各项均为0,从而求解.如:a2+b2-4b+4=0,则a2+(b-2)2=0,即a=0,b=2.配方法的应用探究新知1.

一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为()

A.(y+)2=1B.(y-)2=1C.(y+)2=D.(y-)2=B链接中考课堂检测1.解方程:4x2-8x-4=0.

解:移项,得4x2-8x=4,基础巩固题二次项系数化为1,得x2-2x=1,配方,得x2-2x+1=1+1,整理,得(x-1)2=2,课堂检测2.利用配方法证明:不论x取何值,代数式-x2-x-1的值总是负数,并求出它的最大值.

课堂检测3.若

,求(xy)z

的值.解:对原式配方,得由非负数的性质可知4.如图,在一块长35m、宽26m的矩形地面上,修建同样宽的两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,要使剩余部分的面积为850m2,道路的宽应为多少?

解:设道路的宽为xm,根据题意得(35-x)(26-x)=850,整理得x2-61x+60=0.解得x1=60(不合题意,舍去),x2=1.答:道路的宽为1m.课堂检测已知a,b,c为△ABC的三边长,且

试判断△ABC的形状.解:对原式配方,得由代数式的性质可知所以,△ABC为等边三角形.

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