山东省烟台市福山区2022-2023学年数学九上期末经典试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．已知一元二次方程的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是A． B． C． D．2．已知sinα＝，求α．若以科学计算器计算且结果以“度，分，秒”为单位，最后应该按键（）A．AC B．2ndF C．MODE D．DMS3．如图，点是内一点，，，点、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是（）A．24 B．21 C．18 D．144．二次根式中x的取值范围是（）A．x≥﹣2 B．x≥2 C．x≥0 D．x＞﹣25．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等腰梯形 B．矩形 C．正三角形 D．平行四边形6．两个相似多边形一组对应边分别为3cm，4.5cm，那么它们的相似比为（）A． B． C． D．7．已知，是抛物线上两点，则正数（）A．2 B．4 C．8 D．168．⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，下列位置关系正确的是()A． B．C． D．9．有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了21场，则下列方程中符合题意的是()A．x(x﹣1)＝21 B．x(x﹣1)＝42C．x(x+1)＝21 D．x(x+1)＝4210．如图，在中．．是的角平分线．若在边上截取，连接，则图中等腰三角形共有（）A．3个 B．5个 C．6个 D．2个二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，在等边三角形ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上的一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长是________．12．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，正面朝上的概率是_____．13．若点P的坐标是（﹣4，2），则点P关于原点的对称点坐标是_____．14．如图，在中，，，，点是斜边的中点，则_______；15．如图所示的弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的：先画一个正三角，然后分别以三个顶点为圆心，边长长为半径画弧得到的三角形．若中间正三角形的边长是10，则这个莱洛三角形的周长是____________．16．已知⊙O的半径为，圆心O到直线L的距离为，则直线L与⊙O的位置关系是___________．17．二次函数图象的顶点坐标为________．18．若关于x的一元二次方程的一个根为1，则k的值为__________.三、解答题(共66分)19．（10分）如图，中，，，平分，交轴于点，点是轴上一点，经过点、，与轴交于点，过点作，垂足为，的延长线交轴于点，（1）求证：为的切线；（2）求的半径．20．（6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．21．（6分）尺规作图:如图,已知正方形ABCD，E在BC边上，求作AE上一点P，使△ABE∽△DPA(不写过程，保留作图痕迹）.22．（8分）某商家在购进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第天的成本（元/件）与（天）之间的关系如图所示，并连续50天均以80元/件的价格出售，第天该产品的销售量（件）与（天）满足关系式．（1）第40天，该商家获得的利润是______元；（2）设第天该商家出售该产品的利润为元．①求与之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？②在出售该产品的过程中，当天利润不低于1000元的共有多少天？23．（8分）如图，直线y=mx与双曲线y=相交于A、B两点，A点的坐标为（1，2）（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出当mx＞时，x的取值范围；（3）计算线段AB的长．24．（8分）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．请回答：∠ADB=°，AB=．（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．25．（10分）.如图，小明在大楼的东侧A处发现正前方仰角为75°的方向上有一热气球在C处，此时，小亮在大楼的西侧B处也测得气球在其正前方仰角为30°的位置上，已知AB的距离为60米，试求此时小明、小亮两人与气球的距离AC和BC．（结果保留根号）26．（10分）某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD，在课外活动时间测得下列数据：如图，从地面E点测得地下停车场的俯角为30°，斜坡AE的长为16米，地面B点(与E点在同一个水平线)距停车场顶部C点(A、C、B在同一条直线上且与水平线垂直)2米．试求该校地下停车场的高度AC及限高CD(结果精确到0.1米，≈1.732)．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【解析】试题分析：解得，∴较小根为．∵，∴．故选A．2、D【分析】根据利用科学计算器由三角函数值求角度的使用方法，容易进行选择.【详解】若以科学计算器计算且结果以“度，分，秒”为单位，最后应该按DMS，故选：D．【点睛】本题考查科学计算器的使用方法，属基础题.3、B【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出，然后代入数据进行计算即可得解．【详解】∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，

∴，∴四边形EFGH的周长，

又∵AD=11，BC=10，

∴四边形EFGH的周长=11+10=1．

故选：B．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．4、A【解析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围．【详解】由题意可知：x+2≥0，∴x≥﹣2，故选：A．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．5、B【分析】中心对称图形的定义：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：等腰梯形、正三角形只是轴对称图形，矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，平行四边形只是中心对称图形，故选B【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义，即可完成．6、A【解析】由题意得,两个相似多边形的一组对应边的比为3:4.5=，∴它们的相似比为，故选A.7、C【分析】根据二次函数的对称性可得，代入二次函数解析式即可求解．【详解】解：∵，是抛物线上两点，∴，∴且n为正数，解得，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．8、B【分析】根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：d＜r；相切：d＝r；相离：d＞r；即可选出答案．【详解】解：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，∵5＞3，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故选：B．【点睛】本题主要考查了对直线与圆的位置关系的性质，掌握直线与圆的位置关系的性质是解此题的关键.9、B【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：x（x-1）场．根据题意可知：此次比赛的总场数=21场，依此等量关系列出方程即可．【详解】设这次有x队参加比赛,则此次比赛的总场数为x(x−1)场，根据题意列出方程得：x(x−1)=21，整理,得：x(x−1)=42，故答案为x(x−1)=42.故选B.【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，准确找到等量关系是解题的关键.10、B【分析】根据等腰三角形的判定及性质和三角形的内角和定理求出各角的度数，逐一判断即可．【详解】解：∵，∴∠ABC=∠ACB=72°，∠A=180°－∠ABC－∠ACB=36°，△ABC为等腰三角形∵是的角平分线∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°∴∠BDC=180°－∠CBD－∠C=72°，∠ABD=∠A∴∠BDC=∠ACB，DA=DB，△DBC为等腰三角形∴BC=BD，△BCD为等腰三角形∵∴∠BED=∠BDE=（180°－∠ABD）=72°，△BEC为等腰三角形∴∠AED=180°－∠BED=108°∴∠EDA=180°－∠AED－∠A=36°∴∠EDA=∠A∴ED=EA，△EDA为等腰三角形共有5个等腰三角形故选B．【点睛】此题考查的是等腰三角形的判定及性质和三角形的内角和，掌握等边对等角、等角对等边和三角形的内角和定理是解决此题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、6【解析】由题意得，∵∠A+∠APO=∠POD+∠COD，∠A=∠POD=60°，∴∠APO=∠COD，在△AOP与△CDO中，，∴△AOP≌△CDO（AAS），∴AP=CO=AC﹣AO=9﹣3=6.故答案为6.12、【分析】抛掷一枚质地均匀的硬币，其等可能的情况有2个，求出正面朝上的概率即可．【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币，等可能的情况有：正面朝上，反面朝上，则P（正面朝上）=．故答案为．【点睛】本题考查了概率公式，概率=发生的情况数÷所有等可能情况数．13、（4，﹣2）．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．【详解】解：点P的坐标是（﹣4，2），则点P关于原点的对称点坐标是：（4，﹣2）．故答案为：（4，﹣2）．【点睛】本题考查点的对称，熟记口诀：关于谁对称，谁不变，另一个变号，关于原点对称，两个都变号.14、5【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定和性质解答．【详解】解：∵在中，，，∴，∵点是斜边的中点，∴BD=AD，∴△BCD是等边三角形，BD=BC=5.故答案为：5.【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，解题关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．15、10π【分析】根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可．【详解】解：如图：

∵△ABC是正三角形，

∴∠BAC=60°，

∴的长为：，

∴莱洛三角形的周长=．故答案为：．【点睛】本题考查的是正多边形和圆的知识，理解弧三角形的概念、掌握正多边形的中心角的求法是解题的关键．16、相交【分析】先根据题意判断出直线与圆的位置关系即可得出结论．【详解】∵⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为5cm，6cm＞5cm，∴直线l与⊙O相交，故答案为：相交．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d＜r时，直线与圆相交是解答此题的关键．17、【解析】二次函数（a≠0）的顶点坐标是（h，k）．【详解】解：根据二次函数的顶点式方程知，该函数的顶点坐标是：（1，2）．故答案为：（1，2）．【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式，解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程中的h，k所表示的意义．18、0【解析】把x＝1代入方程得，，即，解得.此方程为一元二次方程，，即，故答案为0.三、解答题(共66分)19、（1）证明见解析；（2）1．【分析】(1)连接CP，根据等腰三角形的性质得到∠PAC=∠PCA，由角平分线的定义得到∠PAC=∠EAC，等量代换得到∠PCA=∠EAC，推出PC∥AE，于是得到结论；(2)连接PC，根据角平分线的定义得到∠BAC=∠OAC，根据等腰三角形的性质得到∠PCA=∠PAC，等量代换得到∠BAC=∠ACP，推出PC∥AB，根据相似三角形的性质即可得到结论.【详解】（1）证明：连接，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，即是的切线．(2)连接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，∴的半径为1【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．20、（1）证明见解析；（2）1.【分析】（1）由AD∥BC，BD平分∠ABC，可得AD＝AB，结合AD∥BC，可得四边形ABCD是平行四边形，进而，可证明四边形ABCD是菱形，（2）由四边形ABCD是菱形，可得OC＝AC＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝1，根据“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”，即可求解.【详解】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∵AB＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝1，∴BD＝2OD＝8，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵OB＝OD，∴OE＝BD＝1．【点睛】本题主要考查菱形的判定定理及性质定理，题目中的“双平等腰”模型是证明四边形是菱形的关键，掌握直角三角形的性质和勾股定理，是求OE长的关键.21、详见解析【分析】过D点作DP⊥AE交AE于点P，利用相似三角形的判定解答即可．【详解】作图如下:解：∵DP⊥AE交AE于点P，四边形ABCD是正方形

∴∠APD=∠ABE=∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠PAD=90°，∠PAD+∠ADP=90°，

∴∠BAE=∠ADP，又∵∠APD=∠ABE

∴△DPA∽△ABE．【点睛】此题考查作图-相似变换，关键是根据相似三角形的判定解答．22、（1）1000（2）①，25，1225；②1．【分析】（1）根据图象可求出BC的解析式，即可求出第40天时的成本为60元，此时的产量为z=40+10=50，则可求得第40天的利润；（2）利用每件利润×总销量=总利润，进而求出二次函数最值即可．【详解】（1）根据图象得，B（20，40），C（50，70），设BC的解析式为y=kx+b，把B（20，40），C（50，70）代入得，，解得，，所以，直线BC的解析式为：y=x+20，当x=40时，y=60，即第40天时该产品的成本是60元/件，利润为：80-60=20（元/件）此时的产量为z=40+10=50件，则第40天的利润为：20×50=1000元故答案为：1000（2）①当时，，∴时，元；当时，，∴时，元；综上所述，当时，元②当时，若元，则（天），第15天至第20天的利润都不低于1000元；当时，若元，则（舍去）（天），所以第21天至第40天的利润都不低于1000元，则总共有1天的利润不低于1000元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．根据每天的利润=一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．23、(1)反比例函数的表达式是y=;(2)当mx＞时，x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1;(3)AB=2．【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案；（2）求出直线的解析式，解组成的方程组求出B的坐标，根据A、B的坐标结合图象即可得出答案；（3）根据A、B的坐标．利用勾股定理分别求出OA、OB，即可得出答案．【详解】（1）把A（1，2）代入y=得：k=2，即反比例函数的表达式是y=；（2）把A（1，2）代入y=mx得：m=2，即直线的解析式是y=2x，解方程组得出B点的坐标是（-1，-2），∴当mx＞时，x的取值范围是-1＜x＜0或x＞1；（3）过A作AC⊥x轴于C，∵A（1，2），∴AC=2，OC=1，由勾股定理得：AO=，同理求出OB=，∴AB=2．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．24、（1）75；4；（2）CD=4．【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出AB=AD=4，此题得解；（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE=4，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解．【详解】解：（1）∵BD∥AC，∴∠ADB=∠OAC=75°．∵∠BOD=∠COA，∴△BOD∽△COA，∴．又∵AO=3，∴OD=AO=，∴AD=AO+OD=4．∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，∴AB=AD=4．（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC=∠BEA=90°．∵∠AOD