人教版九年级数学上册《圆》整章导学案

第二十四章《圆》复习导学案

（一）垂径定理

一、知识回顾

1、垂径定理：垂直于圆的直径____________________，并且

2、推论1：

（1）平分弦（）的直径___________________________________________________

（2）平分一条弧的直径____________________________________________________________

（3）弦的垂直平分线.

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧.

3、请你用几何语言表示垂径定理及其推论：

二、例题讲解

例1、（1）已知。0的弦长AB=8cm,圆心0到AB的距离为3cm,则的直径是cm.

（2）如图（1）,已知。O的半径为5,弦AB=6,P是弦AB上任意一点，则0P的取

值范围是.

例2、如图（2）,弦CD垂直于。O的直径AB,垂足为H,且CD=2&，BD=6,则

直径AB的长为

图⑵

例3、如图，在。。中，点0是NBAC的平分线上的一点，求证：AB=AC

例1、如图，。。的直径AB和弦CD相交于E,若AE=2cm,BE=6cm,ZCEA=30°,求

CD的长；

分析：有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半

径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法.

例1图

二、达标练习:

1、下列命题中正确的是（）

A.平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

B.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦；

C.若两段弧的度数相等，则它们是等弧；

D.弦的垂线平分弦所对的弧.

2、如图，中，直径CD=15cm,弦ABJ_CD于点M,OM：MD=

3：2,则AB的长是（）

3、已知OO的半径为10cm,弦AB〃CD,AB=12cm,CD=16cm,

AB和CD的距离是（）

A.2cm；B.14cm；C.2cm或14cm；D.2cm或12cm.

4、若圆中一弦与弦高之和等于直径，弦高长为1,则圆的半径长为（）

35

A.1；B.一；C.2D.一.

22

6、等腰AABC中，AB=AC,ZA=120°,BC=10cm,则AABC的外接圆半径为

7、圆内一弦与直径相交成30°的角，且分直径为1cm和5cm两段，则此弦长为

四、课后作业

1、下列命题中正确的个数是（）

①直径是圆中最长的弦；②垂直于弦的直径平分弦及其所对的两弧；

③平分弦的直径垂直于弦；④半圆是弧，但弧不是半圆；

⑤等弧所对的弦相等，圆心角相等；⑥圆心角相等，所对的弦相等，弧也相等.

A、2个B、3个C、4个D、5个

2、弦AB的长为6cm,圆心O到AB的距离为4cm,则。O的半径长为.

3、在半径为2cm的。。中有长为2逐cm的弦AB,则弦AB所对的圆心角的度数为（

A.60°；B.90°；C.120°；D.150°.

4、如图为圆弧形拱桥，半径OA=10cm，拱高为4cm,求拱桥跨度AB的长.

5、如图，RL^ABC中,ZC=90°,AC=3,BC=4,以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、

BC分别交于点D、E,求AB、AD的长.

6*、如图，点A、B、C是。O上的三点，AB/7OC,

（1）求证：AC平分NOAB.

（2）过点O作OE_LAB于点E,交AC于点P,若AB=2,ZAOE=30°,求PE的长.

（二）弧、弦、圆心角

一、知识回顾

1.定义：叫做圆心角.

2.定理：在中，相等的圆心角所对的弧,所对的弦.

3.推论1：在中，相等的弧所对的相等，所对的相等.

4.推论2：在中，相等的弦所对的相等，所对的相等.

5.定理及推论的综合运用：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中

相等，那么__________也相等.

二、例题讲解

1、如图（1）,弦AD=BC,E是CD上任一点（C,D除外），则下列结论不一定成立的是（）

A.而=阮；B.AB=CD；C.ZAED=ZCEB；D.题=RC

2、如图（2）,AB是。。的直径，C,D是P（E上的三等分点,ZAOE=60°,则/COE是

图⑴图(2)

3、如图(3),AB是。。的直径，gC=KD,ZA=25°,贝U/BOD='

4、如图（4）,在。O中，AB=AC,/A=40。，则/C=1

5、在。O中，轴=尤，ZACB=60°.求证：ZAOB=ZBOC=ZAOC.

第5题图

三、达标练习

1、如果两个圆心角相等，那么（

A.这两个圆心角所对的弦相等;B.这两个圆心角所对的弧相等;

C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等；D.以上说法都不对

2.在同圆中，圆心角/AOB=2/COD,则找B与E的关系是（）

A.这B=2E；B.以B>E；C.AB<2E；D.不能确定

3.在同圆中，3=阮，贝I（）

A.AB+BC=AC；B.AB+BOAC；CAB+BC<AC；D.不能确定

4.下列说法正确的是（）

A.等弦所对的圆心角相等；B.等弦所对的弧相等；

C.等弧所对的圆心角相等；D.相等的圆心角所对的弧相等.

5.如图，在。0中，C、D是直径上两点，且AC=BD,MC±AB,ND±AB,M、N在。

。上.求证：的4=HN

四、课堂小结

在运用定理及推论时易漏条件“在同圆或等圆中”，导致推理不严密，如半径不等的两

个同心图，显然相等的圆心角所对的弧、弦均不等.

五、课后作业

1、如图，已知OA、OB是。O的半径，点C为AB的中点，M、N分别为OA、OB的中

点，求证：MC=NC

2、如图，AB是。O的弦，^E=BF,半径OE,OF分别交AB于C,D.求证：△OCD

是等腰三角形.

3、如图，在圆。中，弦AB、CD相交于E,且AB=CD,求证：CE=BE

4、己知：如图，EF为。。的直径，过EF上一点P作弦AB、CD,且/APF=/CPF.

求证：PA=PC.

（三）圆周角

一、知识回顾

1.圆周角的定义：顶点在______,并且两边都与圆______的角叫做圆周角.

2.定理：在同圆或等圆中，所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

3.推论：（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是.

4.圆内接多边形：圆内接四边形的.

二.例题讲解

1.下列说法正确的是（）

A.相等的圆周角所对弧相等形；

B.直径所对的角是直角

C.顶点在圆上的角叫做圆周角；

D.如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

2.如图，AABC内接于。0,若NOAB=28。，则NC的大小为（）

A.28°；B.56°；C.60°；D.62°.

3.如图，在。O中，NABC=40。,则NABC=°.

4.如图,AB是。O的直径,C,D,E都是圆上的点，则Nl+N2=°.

5.如图，AB是。。的直径，BD是。O的弦，延长BD到C,使AC=AB.求证：BD=CD.

三、过关检测

1.如图,AB是。O的直径，BC、CD、DA是。O的弦，且BC=CD=DA,则NBCD=（）

A.100°；B.110°；C.120°；D.130°.

2.如图,。。是AABC的外接圆,AB是直径，若/BOD=80。,则NA=()

A.60°；B.50°；C.40°；D.30°.

3.如图,A,B,C是。。上三点，ZAOC=100°,贝I|NABC='

4.如图,正方形ABCD内接于0O,点E在劣弧AD上，贝iJ/BEC等于'

5.如图，在。O中，ZACB=ZBDC=60°,AC=2百.（1）求/BAC的度数；（2）求。O的

周长.

四.课堂小结

1,圆周角与圆心角的概念比较接近,因此容易混淆，要结合图形观察角的位置进行判断.

2.一条弦所对的圆周角有两种（直角除外），一种是锐角，一种是钝角.

3.有关圆的计算常用勾股定理计算，因此构造直角三角形是解题的关键.

五.课后作业

1、如图1,等边三角形ABC的三个顶点都在。。上，D是我C上任一点（不与A、C重合）,

则/ADC的度数是

2、如图2,四边形ABCD的四个顶点都在0O上，且AD〃BC,对角线AC与BC相交于

点E,那么图中有对全等三角形，分别是

3、如图3,A、B、C是。O上的三点，点D在CA的延长线上，若/BAD=100。，则/

BOC=度.

4、如图9,D是找C的中点，则图中与/ABD相等的角的个数是（）

A.4个；B.3个；C..2个；D.1个.

5、如图,A、B、C三点都在。O上，若/AOB=140。，贝U/ACB的度数是（）

A.130°；B.120°；C.115°；D.110°.

6、在0O中，半径为r=1,弦AB=J^,弦AC=JL贝U/BAC为（）

A.75°；B.15°；C.75°或15°；D.90°或60°.

第4题图第5题图第6题图

7、如图，AB是。O的直径，C是WD的中点，CELAB于E,BD交CE于点F.求证:

CF=BF.

（四）点和圆的位置关系

一、知识点填空：

1点和圆的位置关系：设。O的半径为厂，点P到圆心的距离OP=d,则有：

①Od>r

②od=r；

③Od<r.

2.确定圆的条件：

（1）过一个已知点可以作个圆.

（2）过两个已知点可以作个圆，圆心在________________________上.

（3）过_______________上的确定一个圆，圆心为

_______________________________________________________________________交点.

3.三角形的外接圆及三角形的外心：

__________________________________________________________叫做三角形的外接圆.

__________________________________________叫做三角形的外心.三角形的外心到三角形的

三个顶点的距离.这个三角形做.

二、例题讲解

1.下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③圆有且只有一个内

接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形的各边的

距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在三角形内.其中正确的个数为（）

A.1；B.2；C.3；D.4.

2.三角形的外心具有的性质是（）

A.到三边的距离相等；B.到三个顶点的距离相等；

C.外心在三角形内；D.外心在三角形外.

3.用反证法证明一个三角形任意两边之和大于第三边时，假设正确的是（）

A.任意两边之和小于第三边；B.任意两边之和等于第三边；

C.任意两边之和小于或等于第三边；D.任意两边之和不小于第三边.

4.（DO的半径为10cm,A,B,C三点到圆心的距离分别为8cm,10cm,12cm,则点A,

B,C与0O的位置关系是：点A在；点8在；点©

在.

5.直角三角形的两直角边分别是3cm,4cm.则这个三角形的外接圆半径为cm.

三、过关检测

1.在RtZ\ABC中，ZC=90°,AB=5,AC=3,以点B为圆心，4为半径作。B,则点A与

OB的位置关系是（）

A.点A在。B上；B.点A在。B外；C.点A在。B内；D.无法确定.

2.以平面直角坐标系的原点0为圆心,5为半径作圆，点A的坐标为（-3,-4）,则点A与。。的

位置关系是（）

A.点A在。0上；B.点A在。0外；C.点A在。0内；D.无法确定.

3.如图，已知矩形ABCD的边AB=3cm,AD=4cm,

（1）以点A为圆心，4cm为半径作。A,则B,C,D与。A的位置关系如何？

（2）以点A为圆心作。A,使B,C,D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，

则。A的半径r的取值范围是什么？AD

B-------------------------IC

四.课堂小结

1.过三点作圆时，易忽视“过不在同一直线上的三点”这一前题条件，当三点在同一直线

上时，无法确定一个圆.

2.判断点与圆的位置关系时，只需确定点与圆心的距离及圆的半径，然后进行比较即可

五.课后作业

1、如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=2cm,BC=4cm,CM为中线，以C为圆心5cm

为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的A

有;在圆上的有;

在圆内的有.

2在aABC中，AB=AC=5,BC=12,则4ABC

外接圆的半径为.C第1题图B

3、如图，以点O'(1,1)为圆心，00'为半径画圆，判断点P(-1,1)、点Q(1,0)

点R(2,2)和。0

4、如图，在AABC中，ZC=90°,AB=5cm,BC=4cm,以点A为圆心，3cm为半径作。A,

试判断：

(1)点C与。A的位置关系；(2)点B与。A的位置关系；(3)AB的中点D与。A的

位置关系.八

(五)直线和圆的位置关系

一、知识回顾

1、直线和圆的三种位置关系：

(1)如果直线和圆有两个公共点，那么就说直线和圆

(2)如果直线和圆有一个公共点，那么就说直线和圆________,这条直线叫的，这

个点叫做圆的.

(3)如果直线和圆没有公共点，那么就说直线和圆_______.这条直线叫做圆的.

2、直线和圆的三种位置关系：

设。。的半径为r,圆心O到直线/的距离为d,则有：

d>ro；

d=ro__________________

d<ro__________________

3、切线的的判定与性质：

(1)切线判定定理：经过半径的,并且_________________的直线是圆的切线.

(2)圆的切线垂直于.

二、例题讲解

例1、填空题：

(1)如图1,AB为。。的直径，CD切。O于D,且/A=30。，。。半径为2cm,贝ljCD=

(2)如图2,AB切。O于C,点D在OO上，ZEDC=30°,弦EF〃AB,CF=2,贝|EF=

(3)如图3,以O为圆心的两个同心圆中，大圆半径为13cm，小圆半径为5cm,且大圆的

弦AB切小圆于P,则AB=

例2、如图，AB为OO直径，C为。。上的点，AD与过C点的切线互相垂直，垂足为D,

求证：AC平分NDAB-D

例3、如图，AABC中，AB=AC,以AB为直径作。。交BC于D,DELAC于E.,求证:

DE为。。的切线.人

BDC

三、过关检测

1、在直角坐标系中，以点(1,2)为圆心，1为半径的圆必与y轴,与x轴

2、直线/上一点P与。点的距离是3,。。的半径是3,则直线/与。。的位置关系是—

3、Rt^ABC中，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm,则以2.4cm为半径的0c与直线AB的

位置关系是.

4、如图，直线AB与CD相交于点O,/AOC=30。，点P在射线OA上，且OP=6cm,以P

为圆心，1cm为半径的。P以lcm/s的速度沿

射线PB方向运动.则

①当。P运动时间t(s)满足条件时,

G)P与CD相切；

②当。P运动时间t(s)满足条件时，

圆P与CD相交；

③当。P运动时间t(s)满足条件时，OP与CD相离.

5.已知/AOC=30。，点B在OA上，且OB=6,若以B为圆心，R为半径的圆与直线OC

相离，则R的取值范围是.

6.设。。的半径为r,点0到直线/的距离为d,若直线/与。0至少有一个公共点，则r

与d之间的关系是()

A.d>r；B.d=r；C.d<r-D.d£r.

7.在Rtz\ABC中，ZC=90°,AC=BC=2,以C为圆心，、/5为半径作圆。C,则。C与直

线AB()

A.相离；B.相切；C.相交；D.相离或相交.

8.下面关于判定切线的一些说法：①与直径垂直的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于

半径的直线是圆的切线；③与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；④经过半径外端的直线

是圆的切线；⑤经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，其中正确的是()

A.①②③；B.②③⑤；C.②④⑤；D.③④⑤.

9.如图，已知PA是。O的切线，A是切点，PC是过圆心的一条割线，点B,C是它与。

O的交点，且PA=8,PB=4,则。O的半径为.

10.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，。人与兀轴相切于B,与y轴交于C

(0,1)、D(0,4)两点，则点A的坐标是()

第9题图第10题图

11.如图，AB为半圆0的直径，点C在半圆。上，过点。作BC的平行线交AC于点E,

交过点A的直线于点D,且ND=NBAC.求证：AD是半圆。的切线.

12.如图7,AB=BC,以AB为直径的。O交AC于D,作DE_LBC于E.

(1)求证：DE为。O的切线；(2)作DG_LAB交。。于G,垂足为F,ZA=30°.AB=8,

求DG的长

四、课堂小结

1.在利用数量关系判断直线与圆的位置关系时，易忽略条件“圆心到直线的距离”，盲目

选择圆心到直线上某一点的距离进行判定，导致出现错误的结论，应引起注意.

2.要判断直线与圆的位置关系有两种方法：一看直线与圆公共点的个数；二看圆心到直线

的距离d与圆的半径之间的关系.

3.在证明圆的切线问题时，常作两种辅助线：若已知一直线经过圆上一点，则连接这点和

圆心得半径，证明该直线与半径垂直；若不知直线与圆有无公共点，则过圆心作直线的垂线,

证明垂线段等于圆的半径.

4.已知一条直线是圆的切线时，常作辅助线为连接圆心与切点，得半径，那么半径垂直于

这条切线.

五、课后作业

1.直线I上一点到圆心O的距离等于。。的半径，直线I与。O的位置关系是（）

A.相离；B.相切；C.相交；D.相切或相交.

2.OA平分/BOC,P是OA上任意一点（O除外），若以P为圆心的。P与0C相离，那

么。P与0B的位置关系是（）.

A.相离；B.相切；C.相交；D.相切或相交.

3.已知。。的直径为8cm,如果圆心0到一条直线的距离为5cm,那么这条直线与这个圆

的位置关系是（）.

A.相离；B.相切；C.相交；D.无法确定.

4.圆的切线（）------、

A.垂直于半径；B.平行于半径；/\

C.垂直于经过切点的半径；D.以上都不对.----

5.如图，AB是。0的直径，点D在AB的延长线上，

DC切。0于C,若NA=25。，则/D等于（）

6、如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm,弦AB与小圆相切于点C,则AB的长为

7、如图，若。0的直径AB与弦AC的夹角为30°,切线CD与AB的延长线交于点D,且的

半径为2,则CD的长为

8、如图，ZMAB=30°,P为AB上的点，AP=6,圆P与AM相切，则圆P的半为.

第6题图第7题图第8题图

9.如图，在以0为圆心两个同心圆中，大圆的弦AB=CD,AB切小圆于点E.求证：CD

是小圆的切线.

10.如图，在AABC中，AB=BC,以AB为直径的。。与AC交于点D,过D作DELBC,

交AB的延长线于E,垂足为F.求证：直线DE是。。的切线.

（六）圆的切线长性质

一、知识回顾

1,切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这一点与的连线段叫

做圆的切线长.

2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，所得的的,这一点和圆心

的连线.

3.三角形的内切圆：与三角形各边的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心

是三角形的交点，叫做三角形的.

4,圆内接四边形

二、例题讲解

1、如图，从圆外一点P引。0的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,如果APB=60°,PA=10,

则弦AB的长（）

A.5；B.5A/3；C.10；D.l（X/3.

2、如图，点O是aABC的内切圆的圆心，若/BAC=80。，则NBOC等于（）

A.130°；B.100°；C.50°；D.65°

3、如图，。。与NACB两边都相切，切点分别为A、B,且NACB=90。，那么四边ABCD是

CBA

4、如图第包题圉B是。。的切线，A,B为牖2题图）AB=30。，求/APB锻爨.图

5.如图，在AABC中，已知NABC=90°,在AB上取一点E,以BE为直径的。。恰与AC

相切于点D,若AE=2cm,AD=4cm.(1)求。O的直径BE的长；(2)计算AABC的面

积.

6.已知：如图，。。是RtZXABC的内切圆，ZC=90°.(1)若AC=12cm,BC=9cm,求。。

的半径，；(2)若AC=b,BC=a,AB=c,求。。的半径r.

三、过关检测

1.已知直角三角形的斜边长为了13cm,内切圆的半径是2cm,则这个三角形的周长是()

A.30cm；B.28cm；C.26cm；D.24cm.

2.如图，AABC的内切圆与各边相切于D,E,F,且/FOD=/EOD=135。，则AABC是

()

A.等腰三角形；B,等边三角形；C.直角三角形；D.等腰直角三角形.

3.如图，PA,PB是。O的切线，A,B为切点，。。的切线EF分别交PA、PB于E、F,

A

切点C在找B上，若PA的长为2,则4PEF的周长是

4.如图，PA、PB分别切。。于点A、B,则与

ZPAB相等的角（不包括NPAB本身）有（

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.如图，已知AABC的内切圆。。与各边相切于点D、E、F,则点。是ADEFl）

A.三条中线的交点B.三条高的交点

C.三条角平分线的交点D.三条边的垂直平分线的交点

6.如图，。:［是AABC的内切圆，切点分别为点D、E、F,若NDEF=52°,则NA的度为

第6题图第6题图第6题图

7.如图，一圆内切于四边形ABCD,且AB=16,CD=10,则四边形ABCD的周长为

8.如图，已知。0是AABC的内切圆，ZBAC=50°,则NBOC为度.

9.如图，AE、AD、BC分别切。0于点E、D、F,若AD=20,求AABC的周长.

10.如图，PA、PB是。O的两条切线，切点分别为点A、B,若直径AC=12,ZP=60°,

求弦AB的长.

四、课堂小结

切线长与切线是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线

段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.注意区别和联系.

五、课后作业

1.AABC中，AB=AC,NA为锐角，CD为AB边上的高，I为AACD的内切圆圆心，则

ZAIB的度数是()

A.120°B.125°C.135°D.150°

2.一个钢管放在V形架内，右图是其截面图，O为钢管的圆心.如果钢管的半径为25cm,

ZMPN=60°,则OP=()

A.50cmB.25V3cmC.cmD.50vcm

3

3.如图，在AABC中，AB=AC=5cm,BC=6cm.如果。O的半径为JfUcm,且经过点B、

C,那么线段AO=cm.

第2题图

4.如图，PA、PB分别切OO点A、B,点E是。0上一点，且NAEB=60°,则NP=

度.

5、如图，PA,PB是。O的切线，A,B为切点.求证：ZAOB=-ZAPB.

2

(七)圆和圆的位置关系

一、知识回顾

1.圆和圆的位置关系：(1)如果两个圆___________________,那么就说这两个圆相离，

相离包括;(2)如果两个圆，那么就说这两个

圆相切，相切包括:如果两个圆，那么就说这

两个圆相交.

2.圆和圆的位置关系的判定方法：设两圆半径分别为R和r(R2r),圆心距为d,则

(1)两圆外离O；(2)两圆外切<=>;

(3)两圆相交O;(4)两圆内切O;

(5)两圆内含O•

二、例题讲解

例1、已知：如图，<301与。。2相交于A，8两点.求证：直线。1。2垂直平分4艮

B

例2、已知：如图，OOi与。。2外切于A点，直线/与。Q、。。2分别切于B，C点，若。。1

的半径ri=2cm,。。2的半径厂2=3cm.求BC的长.

例3、已知：如图，两圆相交于A,8两点，过A点的割线分别交两圆于。，尸点、,过8点

的割线分别交两圆于H,E点、.求证：HD//EF.

三、过关检测，

1.如果OO1和。。2外切，OO1的半径为3,OQ2=5,则的半径为（）

A.8B.2C.6D.7

2.已知两圆半径分别为4和3,圆心距为8,则两圆的位置关系是（）

A.内切B.外切C.相交D.外离

3.设R,r为两圆半径，d为圆心距，若R?―户+d2=2Rd,则两圆的位置关系是.

A.内切B.外切C.相交D.外离

4.已知。Ch和。Ch的半径分别为3cm和5cm,两圆的圆心距OQ2=8cm,则两圆的位置关

系是•

5.已知两圆半径分别为4和5,若两圆相交，则圆心距d应满足.

6.己知。A,G>B相切，圆心距为10cm,其中。A的半径为4cm,则。B的半径为

7.如果，已知。01和。。2相交于A,B,过A作直线分别交。01、于C、D,过B作

作直线分别交。01、。。2于E、F.求证：CE〃DF.

四、课堂小结

在研究两圆相切时，要考虑内切或外切；在研究两圆没有公共点时，要考虑外离或内含,

记住不要漏解.

五.课后作业

1.如图，工地放置的三根外径是1m的水泥管两两外切，求其最高点到地平面的距离.

2、己知，如图各圆两两相切，。。的半径为2R,001,的半径为R,求。03的半径.

14.如图，点A,B在直线MN上，AB=llcm,©A,OB的半径均为1cm.G)A以每秒2cm

的速度自左向右运动，与此同时，。:B的半径也不断增大，其半径"cm)与时间f(s)之间的

关系式为r=1+/«20).

(1)试写出点A,B之间的距离d(cm)与时间t(s)之间的函数表达式；

(2)问点A出发多少秒时两圆相切?

(八)正多边形和圆

一、知识点填空：

1.正多边形和圆的关系：________________________________________________________

是这个圆的内接正“边形，这个圆是；

这个多边形.

2.正多边形的有关概念：的多边形叫做正多边形

叫做正多边形的中心，叫做正多边形的半径，

__________________________________________叫做正多边形的中心角，

_________________________________________叫做正多边形的边心距.

3.在计算时常用的结论是：

（1）正多边形的中心角等于

（2）正多边形的半径、边心距、边长的一半构成三角形.

二、例题讲解

1.下列叙述正确的是（）

A.各边相等的多边形是正多边形B.各角相等的多边形是正多边形

C.各边相等，各角也相等的多边形是正多边形D.轴对称图形是正多边形

2.如图所示，正六边形ABCDEF内接于OO,则NADB的度数是（）

A.60°B.45°

C.30°D.22.5°

3.有一个正多边形的中心角是60。，则这个多边形是边形.

4.已知一个正六边形的半径是「，则此多边形的周长是.

5.如图所示，五边形ABCDE内接于0O,ZA=ZB=ZC=ZD=ZE.

证：五边形ABCDE是正五边形.

三、过关检测

1.圆内接正五边形ABCDE中对角线AC和BD相交于点P,则NAPB的度数（）

A.60°B.36°C.72°D.108°

2.已知正三角形的边长为。，其内切圆半径为「，外接圆半径为R,则r：a：R等于（）

A.1：243：2B.1：V3：2C.1：2：73D.1：收2百

3.若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为与、心、石则4：弓：々

等于（）

A.1：V2：V3B.V3：V2：1C.1：2：3D.3：2：1

4.如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm,求这个正六边形的半径R、边心距必、面积

四.课堂小结

1.要彻底弄清正多边形的半径、边心距、中心角和边长.

2.在有关正多边形与圆的计算问题时，一般找由半径、边心距、边长的一半构成的直

角三角形，将所求问题转化为解直角三角形的问题.

五.课堂作业

1、一个外角等于它的一个内角的正多边形是正边形.

2、正八边形的中心角的度数为，每一个内角度数为，每一个外角度数为.

3、边长为6cm的正三角形的半径是cm,边心距是cm,面积是cm.

4、面积等于64cm2的正六边形的周长是.

5、同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是.

6、正多边形的面积是240cm"周长是60cm,则边心距是cm.

7、正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是cm.

8、同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是.

9、同圆的内接正三角形的边心距与正六边形的边心距之比是.

10、下列命题中，假命题的是（）

A.各边相等的圆内接多边形是正多边形；

B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交，则交点为正多边形的中心；

C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交，则交点是正多边形的中心；

D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.

11、若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角，则它的边数是（）

A.3；B.4；C.5；D.不能确定.

12、同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是（）

A.1：A/3；B.1：A/2；C.1：2；D.V2：1.

13、正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是（）

14、周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、54,之间的大小关是（）

A.S3>S4>S6；B.S6>S4>S3；C.S3>S4>S6；D.S3>S4>S6.

15、正三角形的边心距、半径和高的比是（）

A.1：2：3；B.1：41：V3；C.1：V2：3；D.1：2：6

四、计算

16、已知正方形面积为8cm2,求此正方形边心距.

17、已知正三角形的面积为:信一，求此正三角形的的半径.

18、已知园内接正六边形的边心距为求此正六边形的面积.

19、已知一个正三角形与一个正六边形面积相等，求两者边长之比.

20*、已知正五边形的一条对角线长为4j5c小，求正五边形的边长.

21*、已知，如图，正八边形ABCDEFGH,0O的半径为、/5,求AB的长.

（九）弧长与扇形面积

一、知识回顾

1.在半径为R的圆中，〃°的圆心角所对的弧长/=.

2.和所围成的图形叫做扇形.在半径为R的圆中，圆心角为〃。的

扇形面积S扇形=/为扇形的弧长，则S扇形=_________________________.

3.如图，在半径为R的。。中，弦与耘所围成的图形叫做弓形.

当崩为劣弧时，s可形=s扇形一；

当我为优弧时，S弓形=S扇形+----------------

二、例题讲解

25冗

例1、半径为5cm的圆中，若扇形面积为——cm2,则它的圆心角为.若扇形面积

3

为15ncm2,则它的圆心角为.

例2、如图（1）,RtZ^ABC中，ZC=90°,4C=8,BC=6,两等圆。A,。8外切，那么图

中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）.

例3、如图（2）,扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB,AC夹角为120°,AB的长为30cm,

贴纸部分20的长为20cm,则贴纸部分的面积为（）.

A.lOOrtcm2；B.出油兀cm?；C.80（hcnr；D.^^7rcm2.

33

例4、如图（3）,ZVIBC中，BC=4,以点A为圆心，2为半径的。A与BC相切于点。，

交AB于E,交AC于尸，点尸是。A上一点，且NEPF=40°,则圆中阴影部分的面积是（）.

图（2）图（3）

例5、已知：如图，以线段A8为直径作半圆Q,以线段AQ为直径作半圆。2,半径QC

交半