中考圆知识点总结复习

初中圆复习

-'圆的概念

集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2'圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集

口;

3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集

4口

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径

的圆；

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分

线〔也叫中垂线〕；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于

定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距

离都相等的一条直线。

二'点与圆的位置关系

1'点在圆内点C在圆内；

2'点在圆上=d=r=点8在圆上,,

3'点在圆外=>4>「=>点A在圆外；

三'直线与圆的位置关系

1'直线与圆相离=>4>「=>无交点；

2'直线与圆相切=>d=r=>有一个交点；

3、直线与圆相交nd<rn有两个交点；

四'圆与圆的位置关系

外离〔图1〕n无交点=d>R+r；

外切〔图2〕=>有一个交点=d=R+r；

相交〔图3〕一有两个交点=>R-r<d<R+

内切〔图4〕n有一个交点=d=R-r；

内含〔图5〕n无交点=>d<R-r；

五'垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1:〔1〕平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;

〔2〕弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

〔3〕平分弦所对的一条弧的直径­垂直平分弦­并且平分弦所对的另

一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道

其中2个即可推出其它3个结论，即：①A3是直径②

AB，C£>③CE=DE④弧3。=弧80⑤弧4C=弧AD中任意2

个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在。。中一「A3II8

.,・弧4。=弧8。

六'圆心角定理

圆心角定理伺圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，

所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理•即上述四个结论中■

只要知道其中的1个相等，那么可以推出其它的3个结论，

即：①ZAOB=NDOE；②AB=DE；

③0C=0尸；④弧阴=弧3。

七'圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：•「ZAOB和NAC3是弧45所对的圆心角和圆周角

2、圆周角定理的推论：

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所

对的弧是等弧；

即：在。。中，•「NC、ND都是所对的圆周角

推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，

所对的弦是直径。

即：在。。中，TAB是直径或,.・/。=90。

是直径

推论3:假设三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直

角三角形。

即：在△ABC中，：OC=OA=OB

「.△ABC是直角三角形或NC=90。

洋篇：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线

等于斜边的一半的逆定理。

八'圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补•外角等于它的内对角。

即：在。。中，・••四边ABCD是内接四边形

九、切线的性质与判定定理

1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直

线是切线；

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：,「MNLOA且MN过半径0A外端

是O。的切线

2'性质定理：切线垂直于过切点的半径〔如上图〕

推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线•三个条件中知道其中两个条件就能推

出最后一个。

十'切线长定理

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线•它们的切线长相等­这点和圆

心的连线平分两条切线的夹角。

即：:以、是的两条切线

，PA=PB；PO平分N3丛

H-----圆器定理

1、相交弦定理：圆内两弦相交•交点分得的两条线段的

乘积相等。

即：在O。中一•,弦AB'C£＞相交于点P•

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段

的比例中项。

即：在。。中，:直径AB_LCD-

2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线•切线长是这点到割线与圆

交点的两条线段长的比例中项。

即：在。。中，二小是切线，总是割线

3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线•这一

点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等〔如

右图〕。

即：在O。中PB'PE是割线

十二、两圆公共弦定理

圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的

的公共弦。

如图：QQ垂直平分AB。

即：-/OO,'©2相交于A、8两点

垂直平分43

十三、圆的公切线

两圆公切线长的计算公式：

〔1〕公切线长：中•AB2=CO：-CO；；

〔2〕外公切线长：CO?是半径之差；内公切线长：CO2是半径之和

十四、圆内正多边形的计算

〔1〕正三角形

在。。中AABC是正三角形，有关计算在HABOD中进展：OD:BD:OB=1:®.2；

〔2〕正四边形

同理，四边形的有关计算在&AOAE中进展'OE:AE:OA=lA：yj2：

〔3〕正六边形

同理，六边形的有关计算在R/AQ钻中进展'AB:OB:OA^l：43:2.

十五'扇形'圆柱和圆锥的相关计算公式

1、扇形：〔1〕弧长公式：；

〔2〕扇形面积公式：

n：圆心角R：扇形多对应的圆的半径/:扇形

弧长S：扇形面积

点，它到三边的距离相等。

〔2〕△中，z90°…，那么内切圆的半径。

〔3〕S「其中a，b，c是边长-r是内切圆的半径。

〔4〕弦切角：角的顶点在圆周上­角的一边是圆的切线，另一边看艮吆

D

如图，切于点B，为弦-N叫弦切角-zzD。C

练习题

1♦假设。。的半径为4，点/到圆心。的距离为3，那么点力与。。的位置

关系是（）

A•点/在圆内B•点/在圆上c•点/在圆外D•不能确定

2•。。的半径为5,弦的弦心距为3,那么的长是

3•如图，是半径为1的。。的直径，点/在OO上•z30°•8为弧的中点，

点户是直径上一个动点，那么求的最小值

4如图2，是OO的直径，OO的弦_L于点E，假设/60°，那么/的度数为

5•与直线L相切于点的圆的圆心的轨迹是•

6•直角三角形的两直角边长分别为5和12，那么它的外接圆半径•内切圆半

径•

7-OO的半径为6-OO的一条弦为6百，以3为半径的同心圆与直线的位置

关系是,

8是O。的切线，切点是/、8,/50°，过力作O。直径，连接，那么/•

9•如图4，是O。的直径，弦、相交于户，那么：等于

A-B,C,D,

图4图5

10•如图5，点尸为弦上一点•连结，过作_L­交。。于G假设4，2，那

么的长是

A-V2B-2C-2V2D-3

11•圆的最大的弦长为12•如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d，

那么

A•d<6B•6<d<12

C•a6D•d>U

12•如图6，在以。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，户为切

点，设12，那么两圆构成圆环面积为•

图6图7

13•如图7，是。。的切线，E为切点，、是割线，35，50，：1:2，那么•

14•如图8，是。。的直径，点。在的延长线上，且，点U在。。上-z30°，

求证：是。。的切线•

图8

15.如图，既是OC的切线也是OD的切线，OC与。

D相外切，OC的半径2，G）D的半径6，求四边形

的面积。

16•如图10，是的直径，力是弦延长线上一点，

切线平分于R求证：

（1）是。。的切线•⑵假设:3:2-15-求O。的直径•（12分）

图10

17•如图11，是。。的直径，点户在的延长线上，弦_L，垂足为E，且2••⑴

求证：是O。的切线；（2）假设:1:2-6•求O。的半径；⑶求的值•Q2分）

图11

18•如图，O。的两条割线、分别交圆。于D、B'E'C'弦交于C-

〔1〕求证：ACFG=BCCG；

〔2〕假设=•求证：△为等腰三角形•

19.如图•是。0的直径，弦_L与点E，点P在OO上-zl=zC-

⑴求证：II；

〔2〕假设3，3•求的直径。

5

20•如图，△内接于是。。的直径，是过/点的直线，/=

〔I〕求证：是o。的切线；

〔2〕如果弦交于E，的延长线交―J

于尸，=8•:=6:5，：=2:3-

求的长和/的正切值•

21•如图，在△中，N8=90°，N/的平分线交于点D，F为上的一点，=，以

。为圆心，长为半径作o。，:及、

求证：〔I〕是O。的切线；

⑵+=•1c

22-如图•是O。的直径■以为直径的；与O。的弦相交于D'±•垂足

为E-

〔I〕求证：=；

〔2〕求证：是。。的切线；

〔3〕如果=•请判断四边形0是什么四边形，并证明你的结论•

考点一：与圆相关概念的应用

利用与圆相关的概念来解决一些问题是必考的内容•在复习中准确理解与圆

有笑的概念，注意分清它们之间的区别和联系.

1.运用圆与角〔圆心角，圆周角〕，弦，弦心距,弧之间的关系进展解题

【例1】：如下图,在△中-z90°■z25°•以O为圆心，长为半径的圆交于D-

求弧的度数.

【例2】如图，A、B、C是。。上的三点，N100°，那么/的度数为〔

A.30°B.45°C.50°D.60°

2.利用圆的定义判断点与圆，直线与圆、圆与圆的位置关系

【例3】的半径为3，A为线段的中点，当满足：

〔1〕当1时，点M与OO的位置父系是.

〔2〕当1.5时，点M与。。的位置关系是.

〔3〕当3时，点M与OO的位置矢系是.

【例4】OO的半径为4，圆心0到直线I的距离为3，那么直线I与。。的

位置关系是〔〕.

A.相交B.相切C.相离D.无法确定

【例5】两圆的半径分别为3和4，圆心距为2，那么两圆的位置关系是.

3.正多边形和圆的有关计算

［例6］正六边形的周长为72，求正六边形的半径，边心距和面积.

4.运用弧长及扇形面积公式进展有关计算

【例7】如图，矩形中，2，4，以为直径的半圆0与相切于点E•那么阴影局

部的面积为〔结果保存”〕.

【例8】圆锥的侧面展开图是一个半圆，那么这个圆锥的母线长与底面半径长

的比是

考点二：圆中计算与证明的常见类型

1.利用垂径定理解题

垂径定理及其推论中的三要素是：直径'平分、过圆心，它们在圆内常常构

成圆周角、等分线段、直角三角形等•从而可以应用相关定理完成其论证或计

算.

【例1】在中，弦与直径相交于点P，夹角为30°，且分直径为1:5两局

部，6，那么弦的长为.

A.2VTB.4VTC.4VTD.2VT

“直径所对的圆周角是直角”解题

"直径所对的圆周角是直角〃是非常重要的定理，在解与圆有关的问题时，常

常添加辅助线构成直径所对的圆周角，以便利用上面的定理.

【例2】如图，在。O的内接△中，是边上的高­求证：zz.

3.利用圆内接四边形的对角关系解题

圆内接四边形的对角互补，这是圆内接四边形的重要性质，也提醒了确定四

点共圆的方法.

【例3］如图，四边形为圆内接四边形，E为延长线上一点，假设NC=45°•

=72•那么点B到的距离为.

4.判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：

〔1〕与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；

〔2〕假设圆心到一条直线的距离等于圆的半径♦那么该直线是圆的切线；

(3J经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

【例4】如图1。0的直径4,z30°,4V3,D是线段的中点.

〔1〕试判断点D与OO的位置关系，并说明理由.

〔2〕过点口作，，垂足为点E，求证：直线是的切线.

【例5】如图，。为正方形对角线上一点，以0为圆心，的长为半径的。。与

相切于M，与、分别相交于E、F，求证与相切.

【例6】如图，半圆。为△的外接半圆，为直径，D为劣弧打上一动点，P在

的延长线上，且有nn.求证：是半圆0的切线.

【课堂稳固练习】

一.选择题：

1.OO的半径为R，点P到圆心0的距离为d-并且d>R，那么P点

ooo外

oo外或圆周上

2.由一点P到圆上各点的最大距离为5，最小距离为1，那么圆的半径为［

A、2或3B'3C'4D、2或4

3.如图，中，是圆内接四边形，zllO°-那么/的度数

是［］

OO中，弦垂直并且平分一条半径•那么劣弧的度数等于

的半径，那么直线a与。O的位置关系是［

A、相离B'相切C、相切或相交D、相交

6、如图，PA切。0于A­PC交OO于点B、CA

,假设=5，=BC，那么PC的长是[]

A'10B'5C'5V2D、5不

7•如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为1m的圆

两两相垒立在水平的地面上，那么雕塑的最高点到地面

的距离为[]

A,B.C.D.

8'两圆的圆心距是9两圆的半径是方程2x2-1735=0

的两根,那么两圆有[]条切线。

A、1条B、2条C、3条D、4条

9、如果等腰梯形有一个内切圆并且它的中位线等于20，那么梯形的腰长为

[]

A'10cmB'12cmC'14cmD'16cm

10、如图,OOi和O