人教A版高中数学必修二第六章第1节《平面向量的概念》解答题 (16)(含答案解析)

必修二第六章第1节《平面向量的概念》解答题(16)

一、解答题(本大题共30小题，共360.0分)

1.在平面直角坐标系xOy中，己知4(一1,-2),8(2,3),C(-2,-l).

(1)求以线段48、4C为邻边的平行四边形两条对角线的长；

(2)若存在y轴上一点P满足8C1AP,求coszBPC.

2.如图所示，。为正方形A3CD对角线的交点，四边形OAED,OCF8都是正方形，根据图中所

标出的向量回答下列问题.

DC

(1)分别写出与同，而相等的向量；

(2)写出与而共线的向量；

(3)写出与而模相等的向量

3.已知向量a-,b~＞的夹角为603且a-=(1,0).

(1)若|b-|=2,求b一的坐标；

(2)若(a-+IT)1(a--tT),Ae/?,求|a-+AtT|的最小值.

4.已知非零向量五，方满足|五|=1,(a-K)-(a+K)=|,且丘■另=3

(1)求向量五，方的夹角；

(2)求|百一石

5.已知单位向量最后的夹角60。，向量方=瓦*+弓石=或一t瓦,t&R.

⑴若W〃方,求r的值;

(2)若t=2,求向量区方的夹角.

6.在△力BC中，满足：荏1前，M是BC的中点.

(1)若|荏|=\AC\，求向量荏+2而与向量2荏+配的夹角的余弦值；

(2)若。是线段AM上任意一点，且|屈|=|而|=/，求万？•南+元•雨的最小值；

⑶若点尸是NB4C内一点，且|而|=2,AP-AC=2,AP-AB=1，求|荏+前+都|的最小

值.

7.已知向量1=(2,2),向量方与向量五的夹角为拳且为方=一2，

(1)求向量石;

(2)若7=(1,0)且了J_T=(C842«)«2]),其中A、C是AABC的内角，若三角形的三

内角A、B、C依次成等差数列，试求了+下的取值范围.

8.已知平面向量E，\a\=2,|K|=1，且充与石的夹角为最(1)求方.加

(2)求怔+2同；

(3)若五+2另与2五+41(46/？)垂直，求4的值

(1)AB+CD;

(2)AB-CD.

10.已知I词=4,|b|=3,(2a-3b)-(2a+b)=61.

(1)求五与方的夹角0;

(2)求怔+3.

11.已知向量左=(一1,-1),瓦=(0,1).

(1)若向量(fTT+J^/C^+fN),求实数f的值；

(2)若向量T=(x,y)满足爆=-yM+(l-4)瓦求一|的值.

12.已知向量五=(2,m),b=(m-1,6).

(1)若方〃丸求实数，力的值；(2)若|五+3|=|五一求实数，〃的值.

13.如图所7K,已知在矩形A3CZ)中，=4V5,卜用=8.设

AB=a,BC=b,BD=c>^-a-b-c

14.已知近•[?=(),M是BC的中点.

(1)若忸研=|前I，求向量荏+2前与2荏+配的夹角的余弦值；

(2)若O是线段AM上任意一点，且|而|=|而|=或，求成.南+历.西的最小值；

(3)若尸是NB4C内一点，且前|=2,AP-AC=2<APAB=4,求府+2前+硒的最小

值.

15.设可，夙是两个不共线的非零向量.

(1)若五=4及+4与与石=江+4瓦共线，求实数2的值；

(2)若荏=2否+k/，酢=五+3孩，而=2宙一心则当太为何值时，A,B,D三点共线.

16.⑴已知|引=3,|9|=4,la-2bl=3，求三+石的模；

(2)点C在线段4B所在直线上且*=?若就=兄而，求;I的值。

Co5

17.已知丘=(4,3),b=(-1,2).m=a-Xb<n=2a+b>按下列条件求实数4的值.

(l)mln；

(2)m//n；

(3)|m|=|n|.

18.已知向量五，方满足同=1,|K|=V2.(a-b)la.

(1)求向量五与石的夹角及向量方在向量方上的投影向量；

(2)求|2五一石|的值;

(3)若向量不=31+53，d=ma-3b，c//d，求加的值.

19.平面内给定三个向量之=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1)-

⑴求13a+b—2c；

(2)求满足；=mb+nV的实数m和n；

(3)若G+k”)1(2b_之)，求实数上

T

已知向量;,瑞足：|a|=1,

20.b=6,Q•(b—Q)=2.(1)求向量1与％的夹角;

(2)求忸一斗

21.如图，四边形A8C。中，已知而=2豆乙

(I)用南，亦表示万？；

(H)若荏=2瓯，前=a屁，当A，P，C三点共线时,求实数4的值.

22.已知向量沆=(cosa,sina),n=(—1,2).

(1)若记〃元，求sina-2cosa

''''sma+cosa的值;

(2)若|万一元|=VXa€e，兀)，求tana的值.

23.已知|町=l,\b\=V2.

(1)若口〃石，求五.求

(2)若向量方与石的夹角是60:求|五十方「

(3)若0—方)_L。求向量。与方的夹角.

24.己知°与石的模均为2,且|m五+同=B|方-m4其中m>0.

(1)用机表示q.g；(2)求内书的最小值及此时£与g的夹角.

25.平面向量a=(3,-4),b=(2,x)，c=(2,y),已知ale.

(1)求向量］和向量"；

(2)求族与J夹角和口+q.

26.在AABC中，CA=CB=2,记不=演，b=CB＞且%五+1|=方-小|(k为正实数),

(1)求证：(a+b)1(a-K);

(2)将五与石的数量积表示为关于k的函数/'(A);

(3)求函数f(k)的最小值及此时角c的大小.

27.已知向量苍、B满足|弓|=131=1,，且+b|=百|日—kb|,(fc>0)

(1)求方•至关于k的解析式/(k)并求出/(k)的最小值.

(2)若有〃方且方向相同，试求&的值.

28.在△ABC中，角4SC所对的边分别为a,瓦c,向量沆=(a,b),77(cos/l,cosB),

n1

-p=(2x/2sin^-^-,2sin.4),若沆〃记，|p\=3.

(1)求角48,C的值；

(2)若％E[0,^],求函数f(%)=sin/lsinx4-cosBcosx的最大值与最小值.

29.已知非零向量覆了满足2W—b=b-31且b=5|a|,求联与》的夹角.

30.已知|刈=3,|石|=4，且方与方的夹角为120

⑴求为小的值；（2）求|五++的值；（3）若（2五一石）J.（五+卜方），求实数4的值.

【答案与解析】

1.答案：解:⑴由题意荏=(3,5)，AC=(-1,1))

\AB+AC\=|(2,6)|=V22+62=2可，

\AB-AC\=|(4,4)|=V42+42=4&;

所以所求对角线长为2VTU和4鱼；

(2)设P(O,y),由BC1AP,得正•而=0，

所以(—2—2,—1—3)"(l,y+2)=0,

所以—4—4(y+2)=0,解得：y——3.

即P(0,-3),

则丽=(2,6)，PC=(-2,2)，

所以COSNBPC=昌=-二篮有=­.

|PB||PC|2V1OX2V25

解析：本题考查了向量的模，向量的数量积和平面向量的坐标运算，属于中档题.

(1)由题意得所求对角线长为|AB+AC|和|荏-AC\，由向量的坐标运算即可得出结果；

⑵由BC1AP,则数量积为零求出y=—3,得P(0,—3),求出丽，PC，即可求得cos/BPC.

2.答案：解：(1)由正方形的性质可知：JO=BF，JO=AE

(2)与正共线的向量是田，而，屁

(3)因为忸同=1,所以与前模相等的向量而，而，屁，同，前，前，丽.

解析：本题主要考查了相等向量，共线向量，向量的模的概念，正方形的性质，属于基础题.

(1)由方向相同且模相等的向量为相等向量求解；

(2)由方向相同或相反的向量为共线向量得出答案；

(3)由向量的模的概念以及正方形的性质求解.

3.答案：解：(1)设b-=(x,y)，

■•­|b"I=2,

・•・+y2=2,

・,・%2+y2=4,

又・・,aT,b"*的夹角为60°,

abx1

・•.cos如，纺=丽=5=于

AX=1.

解之得：y=+V3,

b~*=(1，遮)或I?-=(1,—>/3).

(2)•・・(a-+b-)1(a--tT),Ae/?,

・•・《+1)T)•①一。=0,

・・,a-2=欧2,

4

Alb"I=la"1=1,

|a~+ab->I={(aT+2b~*)?—Jaf?+2aafb_*+b」'=VA2+A4-1=+；)+1

当”一泄，X+XbfI有最小值今

解析：本题主要考查了向量垂直，向量的模，向量的夹角的坐标运算，涉及二次函数求最值，属于

中档题.

(1)设9=(x,y)，结合条件可得/+f=4,cos(a.b)==f=p从而可得求得的坐标；

(2)根据条件可得|凰=|初=1,从而可得।五+，方|=Jq+y+q,利用二次函数的性质即可求

得最值.

4.答案：解：(1)：同=1且@一方)-0+画=，

:.五2—石2=3,故|3|=茬

■.■a-b=~.

2

\a\\b\cos9=解得：cosd=—

N2

故向量乱石的夹角的余弦为立，

2

.••向量五，石的夹角为45°;

(2)"\a-b\2

2——

=a-2a-b+b

=1+]—2|3||6|cos0

=H-i-2xi=i,

222

[一

・・|Q-Hbl|=于&

解析：本题考查向量的数量积公式，考查向量夹角的计算，比较基础.

(1)先求出|司=多再利用向量的数量积公式，即可求向量落石的夹角；

(2)先求I五一方再求I五-1I的值.

5.答案：解：⑴根据题意，向量；=3+届工=扇一扇，

//b>设。=46

)

则有(ei+02=k伞2—tej=-kter+ke2,

则有｛:17cI解可得t=-l；

(2)根据题意，设向量五，石的夹角为仇

若£=2,则，=居一2^-

所以b=伞2-2eJ=e2—4•卜2kos60°+4e1=5-2=3，

所以忖=V3,

又Q=+a，则同=(q+e2)=e14-e2+2|et|•|e2|cos60°=1+1+1=3,

所以同=灰,

又之•%=&+动•(A-2动=二_2eJ-同国cos60。=1-2=一|，

所以COS。=用q=•2=

同.bV3xV32

又由0〈。＜兀，所以"拳

故向量;1的夹角为拳

解析：本题考查向量平行的判断以及向量夹角的求法，属于基础题.

⑴由向量平行得值+扇）=k（居一后）=一上以+kg，有｛;二｝'，解得f的值；

（2）若t=2,则；=g_23，求得W=V3,p|=V3,口.方=（瓦•+6.（石一2瓦）

由向量的夹角公式cos8=矗求得夹角.

6.答案：解：（1）设向量费+2旅与向量2亚+前的夹角为。

4_(AB+2^)(2AB+AC)

C°S"=\AB+2AC\-\2AB+AC\"

令|荏|=\AC\=a,

则cos。=生里=i

AJLUV5aV5a5

(2)VIABI=II=V2,IAMI=1.

设|3X|=x,贝iJ|两|=l-x,而赤+元=2两,

所以

I-1

OAOS+WOA=()A(Oi^OC)=2(H-OM=2\OA\■|Ol7|cos7T=2x2-2x=2(x--)--

当且仅当x=9时，用.（话+云）的最小值是一3

(3)设乙C4P=a所以-a,

■.■AP-AC=2>AP-AB=1>\AP\=2>

.・.2函|cosa=2,二函|=熹，

2|而|cos©-戊)=1=|画=肃

222

・•・|通+而+而产=通+前+而+2福•而+2•而+2通•通

11sin2a+cos2asin2a+cos2a

+4+4+2=

cos2a4sin2acos2a4sin2a

sin2a+cos2a49

cos2a4sin2a+善l+A4

当且仅当鬻=言息’即tana=^；j，|荏+旅+和lmm=(

解析：本题考查向量的夹角，向量的数量积，向量的模，考查运算化简的能力，属于中档题.

(1)向量荏+2万与向量2荏+前的夹角为仇则cos。=第第需缥，利用向量的数量积运算

求解即可；

(2)设|次|=%,贝lj|丽|=1—x，则有函•(话+元)=20A-0M=2\OA\-\OM\COSTT=-2x2-

2x=2(x-1)2-i,根据二次函数的性质求最小值;

(3)设N&4P=a所以MAP=T-a,则有2|AB|cos(^-a)=1=>\AB\=化简

I南+正+都|=汕警+空生衿+10=等+安+竺，利用基本不等式，当且仅当

11cosza4smzacos2a4smza4

121^=当时，函+刀+存/=4

7.答案：解：(1)设b=(x,y),贝！)2x+2y=—2①

又@=l：晨=1=J%?+y2②

|a|cos"-

联立解得修：/或《：嘴，

.••3=(-1,0)或3=(0,-1).

(2)由三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，

•・,B_L/,且/=(1,0),

b=(0,—1)-

.*.64-c=(cosA,2cos21-1)={cosA,cosC),

-|K+c|2=cos2A+cos2C=1+-{cos2A+cos2C)

=1+5kos2A+co«(T—271)]

=l-gsin(24-»,

No

♦.•0<A<学，

J

五,c4冗,77r

V——<2A——<—,

666

|<sin(2A—^)<1,

三MIb+c|V

解析：本题考查平面向量数量积的运算，等差中项概念，三角恒等变换，三角函数的图象性质，属

于中档题.

(1)设出向量石=(”)，由向量方与向量苍的夹角为牛及五7=-2得到关于小y的二元方程组，求解

后可得向量石的坐标；

(2)由三角形的三内角A、B、C依次成等差数列求出角B,再根据确定&运用向量加法的坐标

运算求出方+阳代入模的公式后利用同角三角函数的基本关系式化简，最后根据角的范围确定模的

范围.

8.答案：解：(1)五不=|初|B|cos〈五>=2xlx|=l.

(2)|五+2方产=0+2石产

=a2+4b+4a-b=4+4+4=12)

\a+2b\=-/12=2V3-

(3)若五+21与2五+41(4£R)垂直，

则0+2万)<2百+2石)=0)

^l2a2+2Ab2+4a-b+Aa-b=0，

8+2A+4+A=0BP12+3A=0,

**•A=-4.

解析：本题考查了向量数量积、模的运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题.

(1)直接根据平面向量数量积计算公式求解；

(2)先求出|1+2对2=(五+23)2,再开方即可得|五+2旬；

(3)根据向量垂直的充要条件得0+2石)•(2五+，石)=0-展开即得到关于；I的方程，解方程即可的

答案.

9.答案：解：(1)如图(1)利用向量加法的三角形法则可得图(1)中的同；

(2)如图(2)利用向量减法的三角形法则可得图(2)中的丽.

⑴

解析：本题考查向量几何表示的加法和减法运算，属于基础题，利用平行四边形法则和三角形法则

即可.

(1)将图中的向量而进行平移使起点C和向量南的B点重合，再连接A。即可.

(2)将图中的向量而进行平移使起点C和向量荏的4点重合，再连接OB即可.

10.答案：解：⑴因为(21-3»-(2丘+方)=61,所以4片一4日不一3石2=61，

因为同=4,同=3,所以4'42-4乂4*33。-3*32=61,解得cos0=-%

又。€[0°,180°],所以。=120°；

⑵由题意B+=a2+2a,-b+b=16+2x4x3cosl20°+9=13，

所以|五+=V13.

解析：本题考查平面向量的数量积与平面向量的模及夹角的计算，是中档题.

(1)代入条件直接计算即可.

(2)将忖+同两边平方代入数据计算即可.

11.答案：解:(1)a=(-1,-1)(p=(0,1)>

tG+°—(—t,1—t)»及+t/?=(-1,t—1)•

•••(出+田〃(/+冏，

A-t(t-l)-(-1)(1-0=0,

解得t=l或"-1.

(2)vc=-ya+(1-%)瓦

・•・(")=(y,y+1一％)，

解得

|c|=yjx24-y2=y/2-

解析：本题考查了向量的模、平面向量的坐标运算和平面向量共线的充要条件，是基础题.

(1)先得出1日+0江+七瓦的坐标，由平面向量共线的充要条件可得/的值；

(2)由芸=_丫左+(1-％)瓦则(居y)=(y,y+l—x),联立方程可得1、y的值，可得|中的值.

12.答案：解：(1)因为五〃石，I=(2,m),I=(胃一1,6).所以2x6=m(>n—l),

解得?n=4或—3;

(2)a+b=(m+1,m+6)，a—b=(3—m,m—6)，

又因为|五+B|=|a—b|

所以(m+l)2+(m+6)2=(3-m)2+(m-6)2,

1

化简得:32m=8,解得m

4

解析：本题主要考查两个向量共线的性质，向量的模，平面向量的坐标运算，属于基础题.

(1)由题意利用两个向量共线的性质，求出实数小的值.

(2)由向量的模可得关于m的方程，由此求得实数m的取值范围.

13.答案：解：延长直线AB,使得直线A8上一点8'满足AB=8夕，同理，延长直线A。，使得直线

AQ上一点。满足4D=DD',

如图所示，

则12=晶~a-b-c=a-(b+c^=a-BD'=BB'-BD'=D'B'，

则匕-口=J(2x4V3)2+(2x8)2=8位.

D'B'

解析：本题主要考查了向量的线性运算与向量的模，属于基础题.

延长直线AB,使得直线AB上一点B'满足=同理，延长直线AD,

使得直线AQ上一点。满足4。=CD',根据向量的加法，减法的定义作图再求解.

14.答案：解：(1)设向量荏+2彳?与向量2四+前的夹角为。

A_(AB+2AC)(2AB+AC)

cost/—,—.—>,,―—,

\AB+2AC\\2AB+AC\

令|4B|=|AC|=a>

lilil2a2+2a24

则“son=后扃=<

(2)v|AB|=11?|=V2,|AM|=1

设|"|=尤，贝iJ|两|=l-x，而而+万？=2两

I-1

所以?H•(初+OC)=2OA-OM=2\OA\\OM\cosir=2x2-2x=2(x--)--

当且仅当x=:时方.(OB+而)的最小值是一：

(3)设4c4P=a所以NB4P=1-a,

•­•AP-AC=2,AP-AB=4^|乔|=2

•••2\AC\cosa=2II=—

cosa

2|AB|cos(^-a)=4|A8|=

1111,1

,>>>—.......2■・■，->2.....>2".,一一>।■■>■,,।if”,一.'一■->,>

/.\AB+2AC+AP\2=AB+4ZC+4P+4AB-AC4AC-AP+2AB-AP

44_416

+8+8+4+20+20

sin2acos2asin2acos2asin22a

当且仅当sin22a=1时，|通+2而+9『＜36.

故|荏+2m+AP\的最小值为6；

解析：本题考查向量的模、向量的夹角、向量的数量积以及二倍角公式，属于较难的题;

(1)向量南+2》与向量2荏+前的夹角为仇则cos0=簪骞镖缥，利用向量的数量积运算

求解即可;

(2)设|市|=x则|丽|=1-X,则有就■(OB+0C)=20A0M=2\OA\-\OM\cosn=-2x2-

2x=2(x-1)2-p根据二次函数的性质求最小值；

(3)设NC4P=a所以NB4P=?-a,化简|荏+2AC+AP]2=.,,+20=+20,

、'2''sinzacoszasinz2a

sin22a=1时即可其最小值;

15.答案：解：(1);区方共线，二存在实数亿使得方=k区

即福1+4e2=fc(ex+Ae2),

・••A百+4司=/c百+kA弓

,：瓦,瓦是是不共线的非零向量，

•,.解得4=±2,

(2)•••C8=可+3前，CD=2瓦—瓦,

:,BD=CD-CB=(2—ej)—同+3ej)=冤—4名，

若4,B,。三点共线，则一定存在唯一实数人使荏=4前.

即2部+々石=2(瓦一4瓦)，

・•・(入—2)瓦>=(k+4A)ej,

•・•可，石是不共线的非零向量，

・•・4—2=k+44=0,解得入=2,k=—4A=-8.

・・・当上=一8时，A,B,D三点共线.

解析：(1)直接利用向量共线的条件列等式求解即可，

(2)利用向量共线的充要条件，列出方程组求解即可.

本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力，属于基础题目.

16.答案:解:⑴由|五一21|=3,得|五一2石『=9，

则五2—4胃•B+4,=9，

|五|=3,|石|=4，

.%9—4a-d+4x16=9>解得五•b=16»

则|NB|=J(五+犷=Ja2+2a-b+b2=V32+2x16+42=V57'

(2)假设4c=8,则CB=5,

①当点C在AB线段上时，AB=AC+CB=8+5=13,所以/1=*；

AC.B

ABC

②当点C在AB延长线上时，AB=AC-CB=8-5=3,所以；l=*

综上所述，4的值为融吟

解析：本题考查向量的数量积，向量的模，共线向量的应用，属于基础题.

⑴由|五-2石|=3，得|五一25『=9，解得益彳，再由|五+B|=J(8+K)2展开即可得解;

(2)对点C在AB线段上，点C在A8延长线上两种情况分类讨论，即可得解.

17.答案：解：由于五=(4,3),K=(-1,2),

则布=五一；13=(4+4,3-24)，

n=2a+b=(7,8)，

(1)由记1落则沅•元=0,

即为7(4+4)+8(3—22)=0,

解得，

(2)由沆〃元，则7(3-2Q=8(4+4),

解得，A=-1;

⑶由|沆|=|n|,

可得J(4+4)2+(3-24)2="2+82,

解得，a=

5

解析：本题考查向量垂直及共线的坐标表示，以及向量的模的公式的运用，考查运算能力，属于基

础题.

(1)分别求出向量记，元的坐标，再由向量垂直即为数量积为0,得出关于；I的方程，解之即可；

(2)利用向量平行的性质，即可得出关于2的方程，解之即可；

(3)利用向量模的公式即可解方程求出实数4的值.

18.答案：解：(1)设向量五与石的夹角为。，

因为(为一为1方，所以0—方)•五=0=>%•苍=片=1，

所以cos。=橘粉=号，又8€[0,兀],9],

方在五上的投影向量为同cos。五=方，

(2)|2a—b\=J4a2—4a-b+b-V4—4+2-y/2'

(3)因为不〃之，所以力=2鼠所以3五+5方=40日一33)，

因为日与方不共线，

所以已="解得

15=-3A5

解析：本题主要考查向量的数量积，投影向量，平行向量，向量垂直等基本概念，难度一般，属于

中档题。

(1)由(五一石),日求出两向量的夹角，再由投影向量的计算公式可得；

(2)利用公式片=同2可求得向量的模；

(3)利用向量共线定理得到方程组，求解即可.

19.答案：解：⑴根据题意，向量五=(3,2)3=(一1,2)1=(4,1).

则3为+另一2m=(0,6)，

故|31+另-2列=6;

(2)若方=m6+nc>

HP(3,2)=m(-l,2)+n(4,l),

则有｛行黑解可得［

故m=£n=|；

(3)根据题意,a+kc=(3+4/c,2+/c),2b-a=(-5,2).

若位+k?)1(2b-a).

则m+k2)-(2另一砂

=(-5)(3+4fc)+2(2+k)=0,

解可得上=一^，

io

11

故k18

解析：本题考查平面向量数量积的计算，涉及向量的坐标和向量模的计算，属于基础题.

(1)根据题意，求出3五+方一2表的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案；

(2)根据题意，由向量的坐标计算公式可得若往=+n3必有《二黑求出小〃的值，

即可得答案；

(3)根据题意，求出了+k不与23-五的坐标，由向量数量积的计算公式求出上的值，即可得答案.

20.答案：解：(1)设向量々与。的夹角为。，

••a-b=\a\-\b|cos0=6cos0>

.­.a-(b-a)=a-b--a

=6cos0—1=2,

得cos。=

•・,06[0,TT],

(2')"\2a-b\2=4a2-4a-b+b2

=4-12+36=28,

/.\2a-b\=2yH.

解析：本题考查向量的数量积运算及向量的夹角，同时考查向量的模的计算，属于基础题.

(1)由不•(石一初=五彳一五2=6COS0—1=2，即可求解。；；

«)

(2)将向量的模两边平方，将问题转化为数量积运算即可求解.

21.答案：解：(I)-/^AD=2SC.

:屈二与诟,

2

，，“，-1♦，，■，＞1，，■，

WljDC=DA-i-AB+BC-AD^-AB-^-AD=AB--AD.

22

(11)AC=AB+BC=AB+^AD.,

AP=AD+DP,

•.•荏=2而，DP=ADE，

.-.AP=AD+ADE=AD+A(AE-AD)=(1一/l)而+4荏=(1-4)而+|；l而,

若A,P,C三点共线时，

则"=g,得i_4=：xg=3

2

得3-34=九得4=三.

4

解析：（I）利用向量三角形法则进行分解即可.

（H）用而，而表示正和荏，利用三点关系转化为向量关系进行求解即可，

本题主要考查向量基本定理以及三点共线的应用，结合向量分解定理以及向量平行的关系是解决本

题的关键，是中档题.

22.答案:解:(l)m=(cosa,sina),n=(-1,2),

//n^2cosa=-sina,■■tana=-2.

sina—2CO«Qtann—2—4

—.=-'=—^―=4；

・sinn+cosctanc+1-1

(2)由|$—n|=V2,

得(cosa+l)2+(sina—2)2=2,

・•・2sina—cosa=2,

2sino—co«a=2

联立又ae（］兀）,

sura+cosn=1

sina=-

解得j51.

Icosa=—

[5

sina3

tana=-----=--

CO«Q

解析：本题考查三角函数的化筒求值，考查平面向量共线的坐标运算，属于中档题.

⑴由已知结合向量共线的坐标运算求得taw,然后化弦为切求解黑粉的值;

(2)ltl|m—n|=V2»得2sina—cosa=2,联立平方关系可得sbia,cosa的值，则答案可求.

23.答案:W：121=1,|&|=V2-

(1)若往〃方，则百花的夹角为0或九，

所以方-b=\a\•\b\•cosO=1xV2x1=V2,或

7?•b=|K|•|“•CO87T=1X>/2X(-1)=-\；

(2)向量五与9的夹角是60°,则五-K=|a|-\b\-cos60°=lxV2x|=^y

贝11弓+9|=Ja2+b2+2a-b=Jl+2+&=J3+或；

(3)若(Z-,则0-B).五=0，

所以片一大五=0，即方•莅=1.

所以同.同.cos(b,a)=V2x1xcos(b,a)=1,

解得cos(瓦可=争

所以向量为与石的夹角为：.

4

解析：本题考查向量的夹角，向量的模，向量的数量积，属基础题.

(1)由题意方范的夹角为0或兀，利用向量的数量积公式计算；

⑵由题意利用向量的数量积公式可得五7=¥，则及+3|=］片+片+2苍•百求解即可；

⑶由题意可得(五一3)•五=0,即有方•弓=1，利用向量的数量积公式解得cos(瓦团=今可得向量

日与方的夹角为:.

4

24.答案：解：(1)因为五与B的模均为2,\ma+b\=V3|a—mK|，

所以〃JTT~+b+2///a•b=3^2+3m2b2—6ma-bf

即87n五•b=8+8m2，

vm>0

-a•b=m+—m.

(2)a-b=m+^>2,当且仅当m=1时，

a11最小值为2,

设有与石的夹角为。，96[0,7T],

此时方•石=|a||h|cos0=2,

・

••COS0=2

由。G[0,71],

0=-.

A3

解析：本题考查向量的数量积与向量的模的计算，考查计算能力，是基础题.

(1)通过加2+石|=百|百一馆风，两边同时平方，利用不与方的模均为2,即可求出五.3;

(2)结合(1)利用基本不等式，求工.石的最小值，通过数量积公式直接求出五与B的夹角.

25.答案：解：(1)因为方〃至，所以3x—2x(―4)=0,得工=一*

所以石=(2,-§,

又因为五所以云々=6-4y=0,得y=|，

所以笠=(2,|);

(2)因为cos仍,寸=布=需=0,

又(工他母，所以年无)=90。，

因为五+3=(5,—g),

所以|日+囚=心+(一聿2=卷

解析：本题主要考查的是向量的坐标运算及向量共线与垂直问题，属于基础题.

(1)结合向量共线的坐标表示及垂直的坐标关系求解即可；

(2)结合向量夹角公式求百与e夹角，先求出五+加=(5,-弓)，再求模即可.

26.答案：解:(1)证明:因为|五|=|b|.

所以(五+b')-(a-b')=a2

=\a\2-\b\2=4-4=0,

所以(五+B)1(a-K).

(2)因为％五+石|=V3\a-kb\<

则|k五+3|2=3|a-/ch|2,

即Ua2+2ka-b+b2=3(a2-2ka-b+k2b2)'

8ka-b=(3-fc2)a2+(3fc2-1)：

=4(3-k2)+4(3/c2-l)=8+8/c2,

所以/(k)=^b=k+Xk>0).

(3)/(k)=a-b=k+^.

显然当且仅当k=1时，f(k)的最小值为2,

此时cosC=

|研网42

V0<C<7T,=p

又CA=CB,所以△ABC为等边三角形,

所以4=全

解析：本题考查向量的应用，向量的数量积以及对勾函数性质的应用，考查计算能力，属于中档题.

(1)利用已知条件，结合向量的数量积转化证明：(a+K)l(a-K);

(2)通过向量的数量积的运算法则，化简向量的模关系，即可将力与方的数量积表示为关于％的函数/(k)；

(3)利用对勾函数性质求函数f(k)的最小值及此时角A的大小.

27.答案:解:(1),•,|a|=|6|=1>且五+b|=遍|有一&b|,(k>0)

两边同时平方可得：

fc2|a|2+2fca-K+|K|2=3(|a|2-2ka-b+k2\b\2')>

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