初中数学动态题

一、选择题

1.如图，正方形ABC。的边长是4,ND4C的平分线交DC于点E,若点尸、Q分别是AD

和AE上的动点，则。Q+尸Q的最小值（）

A.2B.4C.272D.4&

考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质

专题：探究型

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键.

2.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，

点C的坐标为（4,0）,ZA0C=60°,垂直于x轴的

直线，从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长

度的速度向右平移，设直线/与菱形0ABC的两边分

别交于点M,N（点M在点N的上方），若AOMN

的面积为S,直线/的运动时间为t秒（0WtW4），则

能大致反映S与t的函数关系的图象是

度角的直角三角形;勾股定理;菱形的性质.

点评：本题主要考查对动点问题的函数图象，勾股定理，三角形的面积，二次函数的图象,

正比例函数的图象，含30度角的直角三角形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，

能根据这些性质进行计算是解此题的关键，用的数学思想是分类讨论思想.

3.（2011北京，8,4分）如图在中，ZACB=90°,NBAC=30°,AB=2,。是

AB边上的一个动点（不与点八、8重合），过点。作C。的垂线交射线CA于点E设

AD=x,CE=y,则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是（）

考点：动点问题的函数图象。

专题：数形结合。

4.如图，边长都是1的正方形和正三角形，其一边在同一水平线上，三角形沿该水平线

自左向右匀速穿过正方形.设穿过的时间为t,正方形与三角形重合部分的面积为S（空白

部分），那么S关于t的函数大致图象应为（）

【答案】D

【考点】动点问题的函数图象.

【点评】此题主要考查了函数图象中动点问题，根据移动路线以及图形边长即可得出空白面

积的函数关系式情况是解决问题的关键.

k

5.如图，已知4、B是反比例函数）=生错误!未找到引用源。（k>0,x>0）图象上的两

x

点，BC〃x轴，交y轴于点C.动点P从坐标原点0出发，沿O-ATBTC（图中“―”

所示路线）匀速运动，终点为C.过户作尸轴，轴，垂足分别为M、N.设

四边形OMPN的面积为S,P点运动时间为t则S关于f的函数图象大致为（）

考点：反比例函数综合题；动点问题的函数图象.

专题：综合题.

点评：本题考查了反比例函数的综合题和动点问题的函数图象，解题的关键是根据点的

移动确定函数的解析式，从而确定其图象.

6.如图，在平面直角坐标系中，长、宽分别为2和1的矩形ABCD的边上有一动点P,沿

ATB—C—DTA运动一周，则点P的纵坐标y与P所走过的路程S之间的函数关系用图

象表示大致是（）

考点：动点问题的函数图象。

点评：此题主要考查了动点问题的函数图象问题，解决问题的关键是分解函数得出不同位置

时的函数关系，进而得出图象.

7.（2011年山东省威海市，12,3分）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm,动点M自A点出发

沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD-DC-CB以每秒3cm的速度运动,

到达B点时运动同时停止.设AAMN的面积为y（cm2）.运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反

考点：动点问题的函数图象.

专题：动点型.

点评：考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关

键.

8.如图.在4ABC中,NB=90°,^A=30°,AC=4cm,^AABC绕顶点C顺时针方向旋转至

AA'B'C的位置，且4C、8'三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为（）

[68

A.4v3cwB.8cmC.—兀cmD.—ncm

33

【考点】旋转的性质；弧长的计算.

【点评】此题考查了性质的性质和弧长的计算，搞清楚点A的运动轨迹是关键.难度中等.

9.如图，直线y=+G与x轴、y轴分别相交于A,B两点，圆心P的坐标为（1,

0）,圆P与y轴相切于点O.若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐

标为整数的点P的个数是（）

考点：直线与圆的位置关系；一次函数综合题.

分析：根据直线与坐标轴的交点，得出A,B的坐标，再利用三角形相似得出圆与直线相切

时的坐标，进而得出相交时的坐标.

点评：此题主要考查了直线与坐标轴的求法，以及相似三角形的判定，题目综合性较强，注

意特殊点的求法是解决问题的关键.

10.如图，正方形ABC。的边长为4,尸为正方形边上一动点，运动路线

是AfOfC-B-A设尸点经过的路程为X,以点4、P、。为顶点的三

角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）

考点：动点问题的函数图象.

点评：本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x

的变化而变化的趋势.

11.将抛物线y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（）

A.y=-（x+2）2B.y=-x2+2C.y=-（x-2）2D.y=-x2-2

考点：二次函数图象与几何变换。

专题：动点型。

点评：考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系

数；左右平移只改变顶点的横坐标，左加右减.

二、填空题

1.如图,/XABC为等边三角形,AB=6,动点。在aABC的边上从点人出发沿着A-CTB-A

的路线匀速运动一周，速度为1个长度单位每秒，以。为圆心、力为半径的圆在运动过程

中与△ABC的边第二次相切时是出发后第秒.

考点：直线与圆的位置关系；等边三角形的性质。

专题：动点型。

点评：此题考查了直线和圆相切时数量之间的关系，能够正确分析出以0为圆心、G错误!

未找到引用源。为半径的圆在运动过程中与4ABC的边第二次相切时的位置.

2.抛物线y=x2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为v=x?+1.

考点：二次函数图象与几何变换。

专题：动点型。

点评：考查二次函数的平移问题；用到的知识点为：上下平移只改变顶点的纵坐标，上加下

减.

3.把抛物线y=（x-2）2-3向下平移2个单位，得到的抛物线与y轴交点坐标为（0,

-1）.

考点：二次函数图象与几何变换。

专题：动点型。

点评：考查二次函数的平移问题；得到平移前后的顶点是解决本题的关键；用到的知识

点为：二次函数的平移，看顶点的平移即可：二次函数的平移不改变二次项的系数.

4.如图，在梯形A8CD中，AD//BC,AD=6,BC=16,E是BC的中点.点尸以每秒1

个单位长度的速度从点A出发，沿A。向点。运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度

从点C出发，沿CB向点B运动.点尸停止运动时•,点Q也随之停止运动.当运动时间秒

时，以点尸，Q,E,。为顶点的四边形是平行四边形.

考点：梯形；平行四边形的性质。

专题：动点型。

点评：此题考查的知识点是梯形及平行四边形的性质，关键是由已知明确有两种情况，不能

漏解.

13.如图，在四边形ABCD中，ZA=90°,AD=4,连接8。，BD1CD,ZADB=ZC.若

P是BC边上一动点，则。尸长的最小值为4.

考点：角平分线的性质；垂线段最短

点评：本题主要考查了直线外一点到直线的距离垂线段最短、全等三角形的判定和性质、角

平分的性质，解题的关键在于确定好。尸处置于BC.

5.已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧

部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平

移50m,半圆的直径为4m,则圆心。所经过的路线长是m.（结果用n表示）

考点：弧长的计算。

分析：根据弧长的公式先求出半圆形的弧长，即半圆作无滑动翻转所经过的路线长，把

它与沿地面平移所经过的路线长相加即为所求.

点评：本题主要考查了弧长公式/=〃"n80,同时考查了平移的知识.解题关键是得出

半圆形的弧长=半圆作无滑动翻转所经过的路线长.

6.如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点

P为线段EF上一个动点，连接BP、GP,则4BPG的周长的最小值是3.

考点：轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质；平行线分线段成比例。

专题：计算题。

点评：本题主要考查对等边三角形的性质，轴对称-最短路线问题，平行线分线段成比例定

理等知识点的理解和掌握，能求出BP+PG的最小值是解此题的关键.

7.如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1,

1）,第2次接着运动到点（2,0）,第3次接着运动到点（3,2）,按这样的运动规律,

经过第2011次运动后，动点P的坐标是（2011,2）.

考点：点的坐标。

专题：规律型。

点评：此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻

求规律进行解题是解答本题的关键.

8.如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6cm,将4ABC绕点A逆时针旋转15°

后得到△AB'C',则图中阴影部分面积等于Bc

考点:旋转的性质；解直角三角形.

专题:计算题.

点评:此题考查了旋转的性质和解直角三角形的相关计算，找到图中的特殊角/BAD

是解题的关键.

9.菱形OCAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点。的坐标是（0,0）,点A在y轴

的正半轴上，点P是菱形对角线的交点，点C坐标是（J5,3）若把菱形。CA8绕点

A逆时针旋转90°,则点P的对应点尸'的坐标是.

考点：坐标与图形变化-旋转；菱形的性质

专题：计算题

点评：本题主要考考查对菱形的性质，坐标与图形变化-旋转等知识点的理解和掌握,

能根据题意确定P的位置是解此题的关键.

10.如图1所示，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停

止，设点P运动的路程为x,AABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示，那

么4ABC的面积是10.

图1图2

考点：动点问题的函数图象。

点评：本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出线段的长度

从而得出三角形的面积是本题的关键.

三、解答题

1.如图，在中，ZC=90°,AC=8,BC=6,点尸在AB上，A尸=2.点E,尸同时

从点尸出发，分别沿玄、尸B以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到

达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点尸运动到点B时停止，点E也随之停止.

在点E、尸运动过程中，以EF为边作正方形EFGH,使它与aABC在线段AB的同侧,

设E、尸运动的时间为f秒(f>0),正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S.

(1)当f=1时，正方形EFGH的边长是；当f=3时，正方形EFGH的边长

是；

(2)当OVfW2H寸，求S与f的函数关系式；

(3)直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？

考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质。

专题：计算题；几何动点问题；分类讨论。

点评：本题考查了动点函数问题，其中应用到了相似形、正方形及勾股定理的性质，锻炼了

学生运用综合知识解答题目的能力.

2.在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于。的常数）的正方形ABCD的对角线AC、

BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、

y轴的正半轴都不包含原点0）,顶点C、D都在第一象限.

（1）当NBAO=45。时，求点P的坐标；

（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在NAOB

的平分线上；

（3）设点P到x轴的距离为h,试确定h的取值范围，并说明理由.

考点：正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形。

专题：几何动点问题；几何综合题。

点评：本题考查里正方形的性质，四边相等，四角相等，对角线互相垂直平分，且平分每一

组对角，以及坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点.

3.如图①，在AABC中，AB=AC,BC=acm,ZB=30°.动点P以1cm/s的速度从点B出

发,沿折线B-A-C运动到点C时停止运动.设点P出发xsB-J-,APBC的面积为ycm?.已

知ly与x的函数图象如图②所示.请根据图中信息，解答下列问题：

(1)试判断ADOE的形状，并说明理由；

(2)当a为何值时，与AABC相似？

考点：相似三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形。

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及线段垂直平分线

的性质等知识.此题综合性较强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用.

4.如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2,腰长为3,一个底角为60。.正方形ABCD的边

长为1,它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合.现将正方形ABCD在梯形的外面沿

边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动.

(1)请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；

(2)求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ

所围成图形的面积S.

考点：扇形面积的计算；等腰梯形的性质；弧长的计算；解直角三角形。

专题：作图题；几何综合题。

点评：本题考查了扇形的面积的计算、等腰梯形的性质、弧长的计算，是一道不错的综合题,

解题的关键是正确的得到点A的翻转角度和半径.

5.如图，已知。(0,0)、A(4,0)、B(4,3).动点P从。点出发，以每秒3个单位的

速度，沿AOAB的边0A、AB、B0作匀速运动；动直线I从AB位置出发，以每秒1个单

位的速度向x轴负方向作匀速平移运动.若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动

到。时，它们都停止运动.

(1)当P在线段OA上运动时，求直线I与以P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范

围；

(2)当P在线段AB上运动时，设直线I分别与OA、OB交于C、D,试问：四边形CPBD

是否可能为菱形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线I的

出发时间，使得四边形CPBD会是菱形.

考点：直线与圆的位置关系；解一元一次方程；坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质。

专题：计算题；代数几何综合题；动点型。

点评：本题考查了直线与圆的关系，勾股定理的运用，菱形的性质.关键是根据菱形的性质,

对边平行，邻边相等，得出相似比及边相等的等式，运用代数方法，列方程求解.

3

6.在平面直角坐标系xoy中，一次函数错误!未找到引用源。y='x+3的图象是直线/1,

4

%与x轴.y轴分别相交于AB两点.直线勿过点C(a,0)且与直线/1垂直，其中a>0.点

P.Q同时从A点出发，其中点尸沿射线运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线A。

运动，速度为每秒5个单位.

(1)写出A点的坐标和AB的长；

(2)当点尸.Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，尸Q为半径的。Q与直线匕y轴都相

切，求此时a的值.

yM

ii

考点：一次函数综合题；切线的性质；相似三角形的判定与性质.

专题：几何动点问题；分类讨论.

点评：此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质，利用数形结合进行分析注

意分类讨论才能得出正确答案.

7.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，直线/经过0、C两点，点

A的坐标为(8,0),点B的坐标为(11,4),动点尸在线段OA上从点O出发以

每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A

BC的方向向点C运动，过点尸作尸M垂直于x轴，与折线O—C—B相交于点M,

当尸、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点尸、Q运动的时间为

t秒(f>0),△M/3Q的面积为S.

(1)点C的坐标为，直线/的解析式为；

(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围.

(3)试求题(2)中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值.

(4)随着尸、Q两点的运动，当点M在线段BC上运动时，设尸M的延长线与直线/

相交于点M试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值.

考点：二次函数，一次函数，三角形面积，最值，分类讨论

专题：压轴题

点评：根据题意合理分类，是学生解题中遇到的难点，也是易错点.用分类讨论的思想

来研究动态型题是解此类问题常用的方法.

8.(2011四川广安，30,12分)如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABC。是直角

梯形，BC//AD,ZBAD=90°,BC与y轴相交于点M,且M是8c的中点，4B、

。三点的坐标分别是A(-1,0),8(-1,2),D(3,0),连接。M,并把线段。M沿

DA方向平移到OM若抛物线/=2/2+6+(:经过点。、M、N.

(1)求抛物线的解析式.

(2)抛物线上是否存在点尸.使得E4=QC.若存在，求出点尸的坐标；若不存在.请

说明理由.

(3)设抛物线与x轴的另一个交点为E.点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点

Q在什么位置时有最大？并求出最大值.

点评：(1)待定系数法是确定函数解析式的常用方法，运用时要确定好图象上关键点

的坐标，本题中点N的坐标可以根据平面直角坐标系中点的坐标的平移规律来得到.

(2)求函数的交点坐标，通常是通过解由两个函数的解析式联立所得的方程组来求解.

本题综合性强，解答时需具备较强的数学基本功，若知识掌握欠缺，则不容易得分.

9,如图，在等腰梯形ABCD中，AD=4,BC=9,ZB=45°.动点P从点B出发沿BC向

点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点。运动，其中一个动点到达

端点时，另一个动点也随之停止运动.

(1)求人8的长;

(2)设BQ=x,问当x为何值时△尸CQ的面积最大，并求出最大值；

(3)探究：在A8边上是否存在点使得四边形PCQM为菱形？请说明理由.

考点：等腰梯形的性质；二次函数的最值；菱形的性质；解直角三角形.

点评：本题主要考查等腰梯形的性质、解直角三角形、二次函数的最值、内角和定理、菱

形的性质，关键在于根据图形画出相应的辅助线，熟练掌握相关的性质定理即可.

10.已知直线I经过A(6,0)和B(0,12)两点，且与直线y=x交于点C.

(1)求直线I的解析式；

(2)若点P(X,0)在线段OA上运动，过点P作I的平行线交直线y=x于D,求4PCD

的面积S与x的函数关系式；S有最大值吗？若有，求出当S最大时x的值；

(3)若点P(x,0)在x轴上运动，是否存在点P,使得4PCA成为等腰三角形？若存在,

请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

考点：一次函数综合题。

点评:此题主要考查了一次函数的综合应用以及三角形的相似的性质与判定和二次函数的最

值、勾股定理等知识，题目综合性较强，相似经常与函数综合出现，利用数形结合得出是解

决问题的关键.

11.如图，抛物线y=错误!未找到引用源。x?+bx-2与x轴交于A,B两点，与y轴交于C

点，且A(-1,0).

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)判断4ABC的形状，证明你的结论；

(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值.

考点：二次函数综合题。

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性

质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，做好辅助点，找对相似三角形.

12.如图，RtAABC中，ZA=30°,BC=10cm,点Q在线段BC上从B向C运动，点P

在线段BA上从B向A运动.Q、P两点同时出发，运动的