四川省泸州市泸县2024-2025学年高三数学下学期开学考试文试题含解析

Page1四川省泸州市泸县2024-2025学年高三数学下学期开学考试（文）试题留意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.本试卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解方程组可得集合.【详解】解方程组可得，因此，.故选：C.2.若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依据复数的三角形式的定义干脆推断.【详解】复数的模为1，辐角为，所以复数的三角形式为.故选：A3.已知向量，，若，则的值为（）A.2 B.-2 C.6 D.-6【答案】C【解析】【分析】依据向量的坐标运算，求得，结合向量垂直的条件和数量积的运算公式，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量，，可得，因为，则，解得.故选：C.4.“”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】由或此时；但当不确定得到，故“”是“”的充分而不必要条件选A5.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S5＝S4+S3，且a1＝1，则S10＝（）A.45 B.55 C.81 D.100【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的求和公式求出公差，再利用求和公式即可得出．【详解】设等差数列{an}公差d，∵S5＝S4+S3，且a1＝1，∴5+d＝4+d+3+d，解得d＝2．则S10＝10+×2＝100，故选：D．6.执行如图所示程序框图，则输出的（）A.501 B.642 C.645 D.896【答案】B【解析】【分析】依据框图，逐一写出各个循环的运算结果，直到s>500，跳出循环，得到输出值.【详解】s=0,m=1;s=0+1×21=2，m=1+1=2,s≤500；s=2+2×22=10，m=2+1=3,s≤500；s=10+3×23=34,m=3+1=4,s≤500；s=34+4×24=98,m=4+1=5,s≤500；s=98+5×25=258,m=5+1=6,s≤500；s=258+6×26=642，m=6+1=7,s>500；结束循环，输出s=642.故选:B.【点睛】本题考查程序框图的输入输出值的确定，涉及循环结构，依据程序逐行模拟运算即得.7.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐个推断可得答案.【详解】对于A，或与相交但不垂直或，故A不正确；对于B，因为，过作平面交平面于，所以，由，可得，所以，所以，故B正确；对于C，或、相交且垂直或、相交但不垂直或、异面且垂直或、异面但不垂直，故C不正确；对于D，或或与相交但不垂直或.故选：B8.若圆的半径为，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可设圆心坐标为，其中，利用圆心到直线的距离等于圆的半径可求得正数的值，由此可得出圆的方程.【详解】由题意可设圆心坐标为，其中，因为圆与直线相切，则，因为，解得，因此，圆的方程为.故选：A.9.在三棱柱中，为该棱柱的九条棱中某条棱的中点，若平面，则为（）．A.棱的中点 B.棱的中点 C.棱的中点 D.棱的中点【答案】B【解析】【分析】依据三棱柱及平面，可推断棱的中点为D时满意题意.【详解】如图，当为棱的中点时，取的中点，,平面平面，又平面则平面.故选：B10.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.的图象关于y轴对称C.的图象不关于对称D.的图象关于对称【答案】D【解析】【分析】A用周期性来推断，B用奇偶性来推断，CD选项利用对称性来推断.【详解】，A选项，和最小正周期都是，所以的最小正周期是，A选项错误.B选项，和都是奇函数，所以是奇函数，图象关于原点对称，B选项错误.C选项，，，所以的图象关于对称，C选项错误.D选项，，，所以的图象关于对称，D选项正确.故选：D.【点睛】推断函数图象关于点对称，则需推断.11.已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一个解，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用整体代换思想以及正弦函数的单调递增区间求出函数的单调递增区间，结合集合的包含关系求出的范围，然后再利用正弦函数取最大值的性质可再得一个的范围，两个范围取交集即可求解.【详解】令，解得，，而函数在区间上单调递增，所以，解得，当时，，因为在区间上有且仅有一个解，所以，解得.综上所述，的取值范围是.故选：D.【点睛】本题的核心是利用整体思想，首先依据正弦函数的单调性，以及已知单调性得的一个取值范围；然后依据取最值的个数，求得的另一个范围.这里要留意，说明，而依据题意，只有一个解，所以只能取一个值，而依据函数本身的图象可以发觉只能等于1.假如能够取到，那么依据自变量的范围，此时确定也可以取1，所以舍去.12.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把c用对数表示，依据式子结构，转化为比较的大小，分别与1和比较即可.【详解】，，由得，.因为，所以，，即.下面比较a、b的大小关系：（其中），，所以所以所以.故选：C.【点睛】指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；（2）结构不同的，找寻“中间桥梁”，通常与0、1比较.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.若实数x，y满意约束条件，则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】画出约束条件表示的可行域，将目标函数化为直线斜截式，截距最大时，.【详解】解：约束条件表示的可行域为如图所示阴影部分：将目标函数化为直线斜截式，由图可知当直线经过时在轴上截距最大，所以.故答案为：4.14.宋元时期是我国古代数学特别辉煌的时期，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中秦九韶､李冶､杨辉和朱世杰成就最为突出，被誉为“宋元数学四大家”.现从秦九韶的《数书九章》､李冶的《测圆海镜》《益古演段》､杨辉的《详解九章算法》､朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》这六部著作中任选2本研读，则必选《数书九章》的概率是___________.【答案】【解析】【分析】由题设，写出必选《数书九章》的选法、以及全部可能的选法，应用古典概型的概率求法求概率.【详解】由题意知：必选《数书九章》的选法有种，而全部可能的选法有种，∴必选《数书九章》的概率为.故答案为：.15.写出一个符合“对，当时，”的函数_______________________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】依据题意可知，满意条件的函数是定义域为的减函数，即可写出．【详解】设，，则，由单调性的定义可知，函数是定义域为的减函数，所以函数满意题意．故答案为：．16.定义两条曲线的“正交点”：曲线与曲线交于点，且在处的切线相互垂直．下列各组曲线存在“正交点”的是________（填序号）．①与；②与，；③与，【答案】③【解析】【分析】分别对各选项利用导数探讨函数的切线，即可得解；【详解】解：①联立得方程组解得或或，设，，则，，当时，，此时两切线不垂直，当时，，此时两切线不垂直，当时，，此时两切线不垂直，综上与不存在“正交点”；②与，，所以，因为直线的斜率为，所以解得，故切点坐标为，又因为，所以点不在直线上，故不存在“正交点”③与，，假设两曲线存在“正交点”，如图设为正交点，直线为圆的切线，直线为抛物线的切线，由题意，得直线需过原点，对求导，得，所以，解得（负值舍去），所以，将点坐标代入，得，因为方程在上有解，所以两曲线存在“正交点”；故答案为：③【点睛】本题以新定义“正交点”为载体，考查导数的运算及导数的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必需答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必做题：共60分.17.已知的内角所对的边分别为，若向量，，且（1）求角（2）若，求角【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由，得到,依据,求出B的值；（2）在中，利用正弦定理求出，依据,求出A的值.【详解】（1）∵向量，，且，∴,∵，∴,∵,∴.（2）在中，，，由正弦定理得：，∴∵,∴,∴或.【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思索：(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；(2)从式子结构来选择．18.随着互联网行业、传统行业和实体经济的融合不断加深，互联网对社会经济发展的推动效果日益显著，某大型超市安排在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到下列信息，如图所示（其中表示开设网店数量，表示这个分店的年销售额总和），现已知，求解下列问题；（1）经推断，可利用线性回来模型拟合与的关系，求解关于的回来方程；（2）依据阅历，超市每年在网上销售获得的总利润（单位：万元）满意，请依据（1）中的线性回来方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大．参考公式；线性回来方程，其中【答案】（1）；（2）开设8或9个分店时，才能使得总利润最大．【解析】【分析】（1）先求得，再依据供应的数据求得，，写出回来直线方程；（2）由（1）结合，得到，再利用二次函数的性质求解.【详解】（1）由题意得，所以．（2）由（1）知，，所以当或时能获得总利润最大．19.如图，在三棱锥中，，，．（1）证明：；（2）若直线AC与平面BCD所成的角为，，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）取BD中点O，连接OA，OC，利用等腰三角形性质证明，利用三角形全等证明，证得平面，即证；（2）先证明平面平面，确定直线AC与平面所成的角为，再利用余弦定理求证得，即知平面，利用体积公式计算即可.【详解】解：（1）证明：取BD中点O，连接OA，OC，则，又，，，所以，所以，所以．，平面，平面，所以平面．又平面，所以．（2）由（1）知平面，平面，所以平面平面，所以CA在平面上的射影是CO，所以为直线AC与平面所成的角，即．又因为，，在中，由余弦定理可知，所以，所以，且平面平面，所以平面．所以．【点睛】方法点睛：求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：干脆作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的确定值，即是线面成角的正弦值.20.已知抛物线的焦点到直线的距离为．（1）求抛物线的方程；（2）如图，若，直线与抛物线相交于两点，与直线相交于点，且，求面积的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）写出抛物线的焦点坐标，依据点到直线的距离公式列方程，解方程可得的值，即得抛物线的方程；（2）设，直线，.将直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可得.求出点到直线的距离，依据弦长公式求出，故的面积，可求面积的取值范围．【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，焦点到直线的距离为，.抛物线的方程为．（2）由题意可设，直线，将直线的方程代入抛物线的方程，消去，得．直线与抛物线相交于两点，．设，则.是线段的中点，，代入，解得．又，，，或．直线的方程为.点到直线的距离，又，，．令，则．或，，即．面积的取值范围为．【点睛】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查考生的逻辑推理实力和运算求解实力，属于较难的题目．21.已知函数.（1）求曲线在点处切线方程；（2）当时，求证：存在，使得对随意的，恒有.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）依据导数的几何意义进行求解即可；（2）对不等式进行变形，构造函数，利用导数推断所构造函数的单调性，依据构造函数的单调性，结合已知进行证明即可.【详解】（1）由，得，∴，故所求切线方程，即；（2）证明：由，得，考虑到，可得，设，则，当时，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减.由在区间内是减函数及，得当时，，①又，则存在即，使得.又在区间内是增函数，∴当时，.②由①②可知，存在，使恒成立，即存在，使得对随意的，恒有.【点睛】本题考查了利用导数求曲线的切线方程，考查了利用导数证明不等式恒成立问题，考查了数学运算实力.（二）选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.假如多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直