江西省萍乡市2024-2025学年高一数学上学期期末考试试题含解析

Page17萍乡市2024-2025学年度高一数学上学期期末考试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟.留意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上.考生要仔细核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一样.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答题无效.3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据集合的交并补干脆运算即可求解.【详解】因，故，所以.故选：D.2.据统计，下午2点在某超市付款处排队的人数及其概率如下表，则下午2点至多有2人排队的概率为（）排队人数012345人及以上概率0.10.250.310.20.10.04A.0.31 B.0.34 C.0.35 D.0.66【答案】D【解析】【分析】至多有两人排队即没有人排队，一人排队和两人排队三种状况，利用互斥事务的概率公式求解即可．【详解】设下午2点没有人排队为事务，一人排队为事务，两人排队为事务，则彼此互斥，因此下午2点至多有2人排队的概率为故选：D3.已知幂函数的图像过点，则的值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】依据题意，得到幂函数的解析式，然后代入计算即可得到结果.【详解】依据题意，设幂函数为，则可得，所以，即故选:A4.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依据对数的真数大于0计算即可.【详解】由，可得，即，解得，所以函数的定义域为.故选：C.5.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的奇偶性结合选项逐一检验，得出答案．【详解】函数定义域为是奇函数，解除选项A和C又，解除选项D故选：B6.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依据幂函数的单调性比较，再由对数函数单调性确定的符号即可得解.【详解】，，而在上单调递增，，是上的减函数，，，故选：A7.声音的等级（单位：Db）与声音强度x（单位：）满意．火箭放射时，声音的等级约为；一般噪音时，声音的等级约为，那么火箭放射时的声音强度约为一般噪音时声音强度的（）A.倍 B.倍 C.倍 D.倍【答案】C【解析】【分析】依据声音的等级（单位：Db）与声音强度x（单位：）满意．分别求得火箭放射时和一般噪音时的声音强度求解.【详解】解：因为火箭放射时，声音的等级约为，所以，解得；因为一般噪音时，声音的等级约为，所以，解得，；所以火箭放射时的声音强度约为一般噪音时声音强度的倍，故选：C8.已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知，函数关于对称，结合题意作出函数的大致图象，利用数形结合即可求解.【详解】由函数为偶函数，可知函数关于对称，又函数在上单调递增，知函数在上单调递减，由，知，作出函数的大致图象，如下：由图可知，当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则；所以不等式的解集为.故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.与表示同一函数B.若，则C.函数的图象与直线的交点至多有1个D.关于的方程有一个正根和一个负根的充要条件是【答案】BCD【解析】【分析】依据相等函数的概念即可推断A；干脆计算即可推断B；依据函数的定义即可推断C；结合一元二次方程的性质，判别式和韦达定理即可推断D.【详解】对于A，定义域为，定义域为R，定义域不同，所以不同一函数，故A错误.对于B，因为，所以，所以，故B正确.对于C，依据函数的定义可知，当的定义域中含有时，函数的图象与直线有一个交点.综上所述：函数的图象与直线的交点至多有1个，故C正确.对于D，设方程的正根为，负根为，则关于的方程有一个正根，一个负根的充要条件为：，解得,故D正确.故选：BCD.10.下列说法正确的是（）A.用简洁随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体被抽到的概率是0.2B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17D.若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为16【答案】AD【解析】【分析】利用概率对于即可推断A；依据平均数求得的值，然后利用方差公式求解即可推断B；依据百分位数的求法即可推断C；利用方差公式求解即可推断D.【详解】对于A，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为，以简洁随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为，故A正确；对于B，数据1，2，，6，7的平均数是4，，这组数据的方差是，故B错误；对于C，8个数据50百分为，第50百分位数为，故C错误；对于D，依题意，，则，所以数据的标准差为16，D正确；故选：AD.11.下列说法正确的是（）A.若，则的最小值为2B.的最小值为4C.若，，且，则的最小值为2D.若，，且，则的最小值为【答案】BD【解析】分析】利用基本不等式求最值，逐项推断，即可得到本题答案.【详解】A选项，，，当且仅当时等号成立，所以A选项错误；B选项，，当且仅当时等号成立，所以B选项正确；C选项，，，当且仅当时等号成立，所以C选项错误；D选项，，，，当且仅当，时等号成立，所以D选项正确.故选：BD12.已知直线与直线相互垂直，若函数，，的零点分别为，，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】依据零点的存在性定理推断选项ACD，依据反函数的定义，结合图形推断B.【详解】A：∵单调递增，，，∴，∵单调递增，，，∴，则，故A错误；B：由，可得，由，可得，函数与互为反函数，图象关于对称，作出函数，及的图象，如图，又与垂直，由，可得，则，与直线的交点的横坐标分别为，，且，故B正确；C：∵单调递增，，，∴，又，∴，故C正确；D：∵，，∴，，故D错误.故选：BC.第Ⅱ卷留意事项：第Ⅱ卷3至4页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答题无效.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.一个盒子里装有标号为的张标签，随机选取张，这张的标号平均数是的概率为______.【答案】##0.2【解析】【分析】利用古典概型的概率公式求解即可．【详解】张的标签的标号平均数是，则这个标号之和为，有和两种状况，所以这张的标号平均数是的概率为故答案为：14.福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和其次行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字起先，由左到右依次选取两个数字作为所选球的编号，则选出来的第4个红色球的编号为______.49544354821737932328873520564384263491645724550688770474476721763350258392120676【答案】16【解析】【分析】由题意，结合随机数表读取的方法，即可得到结果.【详解】依据题意，解除超过33以及重复的编号，第一个编号为21，其次个编号为32，第三个编号为05，第四个编号为16.故答案为：1615.把满意，为整数的叫作“贺数”，则在区间内全部“贺数”的和是______.【答案】52【解析】【分析】利用换底公式计算可得，进而求解即可.【详解】因为，又，，，，，……，所以当，，，，即，，，时，为整数，所以在区间内全部“贺数”的和是．故答案为：16.函数，若实数a，b满意，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】令，可得到在上单调递增，且为奇函数，所以由可得或，然后分状况求解即可【详解】令，因为在定义域内单调递增，在定义域内单调递减，所以函数在上单调递增，∵，∴函数为上奇函数，∴随意，有，即，∵，∴或；当时，；当时，要取最大值，明显，所以，当且仅当，即，时取等号，∴的最大值为.故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，，全集.（1）当时，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化简集合A，依据补集运算、交集运算求解；（2）由题意转化为，列出不等式组求解即可.【小问1详解】当时，集合，或，故【小问2详解】由题知：，即且，当时，，解得，当时，，解得，由得，；综上所述：实数的取值范围为.18.已知函数（且），且.（1）求实数的值；（2）解关于的不等式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据题意，由对数的运算即可得到结果；（2）依据题意，令，不等式转化为，然后再由对数函数的单调性即可得到结果.【小问1详解】由题知，则，即，又，故【小问2详解】令，不等式转化为即，解得，即又，，且在上单调递增，则，即原不等式的解集为19.某中学为探讨本校高一学生市联考的语文成果，随机抽取了100位同学的语文成果作为样本，按分组，，，，，，整理后得到如下频率分布直方图.（1）求图中的值；（2）请用样本数据估计本次联考该校语文平均成果（同一组数据用该组区间的中点值代替）；（3）用分层随机抽样的方法，从样本内语文成果在，的两组学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人语文成果在的概率.【答案】（1）（2）107.4分（3）【解析】【分析】（1）依据频率分布直方图中小矩形面积和为1，求得x；（2）用每一组区间的中点值代替该组数据，计算平均数；（3）计算分层抽样每层抽取人数，列出全部选出2人的基本领件，求出概率.【小问1详解】由频率分布直方可知，，解得；【小问2详解】由图可知，语文成果在，，，，，，的频率分别为0.12，0.22，0.28，0.18，0.10，0.08，0.02，设样本数据中语文平均成果为，则故估计本次联考该校语文平均成果为107.4分；【小问3详解】由题知，样本内语文成果在，的学生分别有8名和2名，按分层随机抽样抽取的5名学生中，分数在的学生有4名，记为A，B，C，D，在的学生有1名，记为e，从这5名学生中随机选出2人，全部的状况有10种：AB，AC，AD，Ae，BC，BD，Be，CD，Ce，De，其中恰有一人语文成果在的有4种：Ae，Be，Ce，De，则这5名学生中随机选出2人，恰有一人语文成果在的概率为.20.已知二次函数满意，请从下列①和②两个条件中选一个作为已知条件，完成下面问题.①；②不等式的解集为.（1）求的解析式；（2）若在上的值域为，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若选择①，设，依据条件代入列出关系式，求解即可；若选择②，设，原题可转化为已知一元二次不等式的解集求系数，依据一元二次方程与不等式的关系即可得出答案.（2）由二次函数的性质求解即可.【小问1详解】设，由得，，即，若选择①：则，即，则，，解得，，即；若选择②：则不等式的解集为，即，且方程的两根为和4，则，，解得，，即；【小问2详解】由（1）知，函数开口向上，对称轴为直线，且，，若在上的值域为，则，令，解得或，依据二次函数的图象知，，综上所述：实数的取值范围为.21.某医院购入一种新型空气消毒剂，已知在肯定范围内，每喷洒1个单位的该消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随时间（单位：小时）的改变关系为：当时，；当时，.若多次喷洒（或一次喷洒多个单位），则某一时刻空气中该消毒剂的浓度为每次投放的消毒剂（或每个单位的消毒剂）在该时刻所释放的浓度之和.由试验知，当空气中该消毒剂浓度不低于4（毫克/立方米）时，才能起到有效杀毒的作用.（1）若一次喷洒2个单位的该消毒剂，则有效杀毒时间可达多久?（2）若第一次喷洒2个单位的该消毒剂，6小时后其次次喷洒个单位的该消毒剂，要使其次次喷洒后的4小时内能够持续有效杀毒，试求的最小值.（最终结果精确到0.1，参考数据：）【答案】（1）小时（2）1.6【解析】【分析】（1）依据喷洒2个单位的净化剂后浓度为，由求解；（2）分别求出第一次喷洒2个单位消毒剂和其次次喷洒个单位该消毒剂，接下来4个小时的浓度，则接下来4个小时内空气中该消毒剂的总浓度为，化简利用基本不等式求解.【小问1详解】一次喷洒2个单位的该消毒剂，其浓度为，当时，，即；当时，，即，则当时，能起到有效杀毒的作用，故若一次喷洒2个单位的该消毒剂，有效杀毒时间可达小时；【小问2详解】由题知，第一次喷洒的2个单位消毒剂，经6小时后，其浓度为4毫克/立方米，且接下来4个小时的浓度为，其次次喷洒个单位该消毒剂，接下来4个小时的浓度为，故接下来4个小时内空气中该消毒剂的总浓度为，令，则，因为，所以当时，接下来4个小时内空气中该消毒