高中数学人教A版 习题课时提升作业 八 2

课时提升作业八

反证法与放缩法

回25分钟练/

分值：60分

一、选择题（每小题6分，共18分）

1.（2016•泰安高二检测）证明命题"a,b£N,如果ab可被5整除，那么a,b至少有

一个能被5整除"，则假设的内容是（）

A.a,b都能被5整除

B.a,b都不能被5整除

C.a不能被5整除

D.a,b有一个不能被5整除

【解析】选B."a,b至少有一个能被5整除"包括"a,b中有且只有一个能被5

整除或a,b都能被5整除"，其反面为"a,b都不能被5整除".

【补偿训练】用反证法证明命题"三角形的内角中至多有一个钝角"时,反设正

确的是（）

A.三个内角中至少有一个钝角

B.三个内角中至少有两个钝角

C.三个内角都不是钝角

D.三个内角都不是钝角或至少有两个钝角

【解析】选B."至多有一个"即要么一个都没有，要么有一个，故反设为"至少有

两个".

2.已知a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0,用反证法求证a>0,b>0,c>0时的假设

为

（）

A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b>0,c>0

C.a,b,c不全是正数D.abc<0

【解析】选C.a>0,b>0,c>0的反面是a,b,c不全是正数.

3.已知a>0,b>0,设P=2+言;,，则P与Q的大小关系是（）

JL+aJL+DJL+d+u

A.P>QB.P<Q

C.P=QD.无法确定

【解析】选A.因为a>O,b>。,所以P喘+盘>高+嬴二黑所以

P>Q.

【补偿训练】已知等比数列｛an｝的各项均为正数，公比qwl,设

P=四#,不，则P与Q的大小关系是（）

A.P>QB.P<Q

C.P=QD.无法确定

【解析】选A.由等比数列知识得焉,

又「二学驾且

a3>0,33^39,

所以的,9>,内•aq=1,a7,故P>Q.

二、填空题（每小题6分，共12分）

4.（2016•泰安高二检测）用反证法证明"一个三角形不能有两个直角"有三个步

骤:①NA+NB+NC=90°+90°+NC>180。,这与三角形的内角和为180°矛盾，故结

论错误；

②所以一个三角形不可能有两个直角；

③假设^ABC有两个直角,不妨设NA=NB=90°;

上述步骤的正确M页序是.

【解析】由反证法的证题步骤可知，正确W页序应该是③①②.

答案:③①②

5.已知a£R+厕，，焉，小工从大到小的顺序为______.

27a2Va+lVa+va+1-------

【解析】因为府+孤+l>V^+7i=2V^,

Va+Va+1<Va+1+Va+1=2Va+1,

所以2VaVa+Va+1<2Va+1,

所以「L>>_l—

11、1

1=1Va+Va+1>2Va+l

【补偿训练】log23与log34的大小关系是.

【解析】国3-嗨4嘿普噜磬

Ig23-g(lg2+lg4)]2

>152153

2

^Ig23-(|lg8)

__1521^3-

2

2

>ig3-(M_Q

lg21g3'

所以Iog23-log34>0,所以Iog23>log34.

答案：log23>log34

三、解答题(每小题10分，共30分)

6.已知a>0,b>0,Sa+b>2.求证:出，当中至少有一个小于2.

ab

【证明】假设出，牛都不小于2,

ab

贝壮乎之2,皆22.

因为a>0,b>0,

所以l+bN2a,l+a22b.

所以2+a+bN2(a+b),即2之a+b,

这与a+b>2矛盾.

故假设不成立.即出，胃中至少有一个小于2.

ab

7.设n是正整数求证:/-7+t+…+}<1.

2n+ln+22n

【证明】由2nNn+k>n(k=L2,...,n),

得；

2nn+kn

当k=l时4去4

当匕2时务焉4；

当k=n时,；4工<乙

2nn+nn

所以…+去<』.

22nn+1n+22nn

即原不等式成立.

8.已知a2-1,求证以下三个方程：

x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-l)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实数解.

【证明】假设三个方程都没有实根,则三个方程的判别式都小于0,即：

((4a)2-4(-4a+3)<0

](a-I)2-4a2<0,

l(2a)2+4x2a<0,

「|va<|,

所以ja>g或avT

V-2<a<0,

所以-|<a<-L这与已知a>-l矛盾，所以假设不成立,故三个方程中至少有一个方

程有实数解.

簸理®)20分钟练/

分值：40分

一、选择题（每小题5分，共10分）

1.（2016锦州高二检测）（1）已知p3+q3=2,求证p+q42,用反证法证明时,可假设

p+q>2.

（2）已知a,b£R,|a|+|b|<l,求证方程x2+ax+b=O的两根的绝对值都小于1.用

反证法证明时可假设至少有一根的绝对值大于等于1.以下结论正确的是（）

A.Q）与⑵的假设都错误

B.Q）与⑵的假设都正确

C.Q）的假设正确,（2）的假设错误

D.（l）的假设错误,⑵的假设正确

【解析】选D.⑴的假设应为p+q>2,⑵的假设正确.

2.设x,y,z都是正实数,a=x+；b=y+；c=z+；贝!]a,b,c三个数（）

V2K

A.至少有一个不大于2B.都小于2

C.至少有一个不小于2D.都大于2

【解析】选C.因为a+b+c=x+」+y+L+z+工22+2+2=6,当且仅当x=y=z=l时

xyz

等号成立，

所以a,b,c三者中至少有一个不小于2.

二、填空题（每小题5分，共10分）

1111

3.设M=-^+J-+J-+…+[-厕M与1的大小关系为_____.

2卬2U+12u+22X-1-------------

101010101110

【解析】因为2+1>2,2+2>2,.../2-1>2,

所以M=-JQ+^:----—+...+-JY—

21021U+121U+2211-1

111_-

〈建+源+…+建=L

答案:M<1

4.(2016•石家庄高二检测)某同学准备用反证法证明如下一个问题：

函数f(x)在［0,1］上有意义且f(0)=f(l).如果对于不同的Xi,X2£［0,l］都有|f(xi)-

f(X2)|<|X1-X2|.求证：|f(Xl)-f(X2)|<g,那么他的反设应该是.

【解析】对任意*1双2日0,1］仅1-2)都有|仅)-仅)层的反面是存在*1水2司0口

且X1WX2有|f(Xl)-f(X2)|斗

答案:存在X1,X2£［0,1］且乂1"2使|1：的)-1：a2)|弓

三、解答题(每小题10分，共20分)

5.已知0<a<3,0<b<3,0<c<3.

Q

求证:a(3-b),b(3-c),c(3-a)不可能都大于去

【证明】假设a(3-b)>|,b(3-c)>|,c(3-a)>|.

因为a,b,c均为小于3的正数.

所以Ja(3—b)>—c)>屏(3—a)>

从而有Ja(3-b)+Jb(3-c)+Jc(3-a)>|V2.®

但是Ja(3-b)+Jb(3-c)+Jc(3-a)

a+(3—b)b+(3—c)c+(3-a)

一-2--2--2~

_9+(a+b+c)-(a+b+c)_9„

=2=5•②

显然②与①相矛盾，假设不成立，故命题得证.

【补偿训练】已知f(x)=ax+富(a>l),证明方程f(x)=O没有负数根.

X।X

【证明】假设X0是f(x)=0的负数根，

贝”。<0且xoAl且aXo=H，

XO+1

由09。<1=0<-叼<L解得｝<XO<2,这与XO<0矛盾,所以假设不成立.

XO+1乙

故方程f(x)=O没有负数根.

6.设各项均为正数的数列｛an｝的前n项和为Sn,且Sn满足

Sn-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,neN*.

⑴求ai的值.

(2)求数列&｝的通项公式.

⑶证明:对一切正整数项^^石+一^+…+房昌.

al(al+1)a2(a2+1)AnSn+l)3

【解析】⑴令n=l得:S”(-1)SL3X2=O,

即S：+SI-6=0,所以(SI+3)(SI-2)=0,

因为Si>0,所以Si=2,即ai=2.

(2)由S>(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=(X得：

2

(Sn+3)[Sn-(n+ri)]=0z

因为an>0(neN*),Sn>0,

2

从而Sn+3>0,所以Sn=n+n,

所以当n>2时,

an=Sn-Sn-i=n2+n-[(n-l)2+(n