高一数学人教A版必修1教学课件3.1.2用二分法求方程的近似解

人教A版必修一第三章

第1节函数与方程3.1.2用二分法求方程的近似解3.1函数与方程3.1.2用二分法求方程的近似解1.通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法.2.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点近似值.从而求得方程的近似解.学习目标、重点导复习思考：1.函数的零点2.零点存在的判定

对于方程（1），可以利用一元二次方程的求根公式求解,但对于方程(2)，我们却没有公式可用来求解.思考问题：

请同学们观察下面的两个方程，说一说你会用什么方法来求解方程.

1.二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且

的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间

，使区间的两个端点

，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求

.f(a)·f(b)<0一分为二逐步逼近零点方程的近似解思2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(1)确定区间[a，b]，验证

，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点

；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则

；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈

)；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈

).f(a)·f(b)<0c就是函数的零点c(a，c)(c，b)(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根.但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，而没有公式求根，如何求得方程的根？探究点一二分法的概念思考1上节课，我们已经知道f(x)＝lnx＋2x－6的零点在区间(2,3)内，如何缩小零点所在区间(2,3)的范围？

答

①取区间(2,3)的中点2.5.②计算f(2.5)的值，用计算器算得f(2.5)≈－0.084.因为f(2.5)·f(3)<0，所以零点在区间(2.5,3)内.思考2如何进一步的缩小零点所在的区间？答

再取区间(2.5,3)的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512.因为f(2.5)·f(2.75)＜0，所以零点在区间(2.5,2.75)内.这样一来，零点所在的范围越来越小了.思考3若给定精确度0.3，如何选取近似值？

答

当精确度为0.3时，由于|2.75－2.5|＝0.25＜0.3，所以可以将x＝2.5作为函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点近似值，当然区间[2.5,2.75]内的任意一个值都是函数零点的近似值，常取区间的端点作为零点的近似值.小结二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.探究点二二分法求函数零点近似值的步骤思考1

对下列图象中的函数，能否用二分法求函数零点的近似值？为什么？答不能.因为不存在一个区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0.不变号零点思考2通过对函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点近似值的探索过程，你能总结用二分法求一般函数f(x)零点近似值的步骤吗？答

用二分法求函数零点近似值的基本步骤：1.确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；2.求区间(a，b)的中点c；3.计算f(c)：(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))；4.判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4.周而复始怎么办?精确度上来判断.定区间，找中点，中值计算两边看.同号去，异号算，零点落在异号间.口诀探究点三用二分法求方程的近似解思考如何把求方程的近似解化归为求函数的零点？答对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求解.

例1借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解.(精确度0.1)解原方程即2x＋3x－7＝0，令f(x)＝2x＋3x－7，用计算器或计算机作出函数f(x)＝2x＋3x－7的对应值表与图象如下：议观察图或表可知f(1)·f(2)＜0，说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.取区间(1,2)的中点x1＝1.5，用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1,1.5).再取区间(1,1.5)的中点x2＝1.25，用计算器算得f(1.25)≈－0.87.因为f(1.25)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1.25,1.5).同理可得，x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375,1.4375).由于|1.375－1.4375|＝0.0625＜0.1，所以，原方程的近似解可取为1.4375.反思与感悟用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.跟踪训练1用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点.(精确度0.01)解经试算f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x0.取(1,1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0，因为f(1.5)·f(1.25)<0，所以x0∈(1.25,1.5).如果继续下去，如下表：因为|1.328125－1.3203125|＝0.0078125<0.01，所以函数f(x)＝x3－x－1精确度为0.01的一个近似零点可取为1.328125.例2求方程x2＝2x＋1的一个近似解.(精确度0.1)解设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有根，记为x0.取2与3的中点2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，∴2<x0<2.5；再取2与2.5的中点2.25，∵f(2.25)＝－0.4375<0，∴2.25<x0<2.5；如此继续下去，有f(2.375)<0，f(2.5)>0⇒x0∈(2.375,2.5)；f(2.375)<0，f(2.4375)>0⇒x0∈(2.375,2.4375)，∵|2.375－2.4375|＝0.0625<0.1，∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375.反思与感悟“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点.跟踪训练2借助计算器或计算机，用二分法求方程x＝3－lgx在区间(2,3)内的近似解.(精确度0.1)解原方程即x＋lgx－3＝0，令f(x)＝x＋lgx－3，用计算器可算得f(2)≈－0.70，f(3)≈0.48，于是f(2)·f(3)＜0，所以，这个方程在区间(2,3)内有一个解.下面用二分法求方程x＝3－lgx在区间(2,3)内的近似解.取区间(2,3)的中点x1＝2.5，用计算器可算得f(2.5)≈－0.10.因为f(2.5)·f(3)＜0，所以x0∈(2.5,3).再取区间(2.5,3)的中点x2＝2.75，用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)＜0，所以x0∈(2.5,2.75).同理可得x0∈(2.5,2.625)，x0∈(2.5625,2.625).由于|2.625－2.5625|＝0.0625＜0.1，所以原方程的近似解可取为2.5625.1.下面关于二分法的叙述，正确的是(

)A.用二分法可求所有函数零点的近似值B.用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C.二分法无规律可循D.只有在求函数零点时才用二分法展解析只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错；求方程的近似解也可以用二分法，故D错.答案B2.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(

)解析由图象可知A中零点左侧与右侧的函数符号不同，故可用二分法求零点.答案A3.设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间(

)A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)C.(1.5,2) D.不能确定解析∵f(1.5)·f(1.25)＜0，∴方程的根落在区间(1.25,1.5)内.B4.若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为________.(精确度0.1)解析因f(1.375)·f(1.4375)<0，且由表知|1.4375－1.375|＝0.0625<0.1，所以方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.4375.答案1.4375(不唯一)1.二分就是